基于ALIFD模糊熵和GK聚類的滾動軸承故障診斷

葛紅平 ， 劉曉波

（南昌航空大學(xué) 航空制造工程學(xué)院，南昌 330063）

0 引言

滾動軸承作為旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備不可缺少的重要部件，其運(yùn)行狀況的好壞直接影響到整臺設(shè)備的使用[1]。當(dāng)滾動軸承發(fā)生故障時，其振動信號通常呈現(xiàn)出非平穩(wěn)及非線性特性，因此如何從滾動軸承復(fù)雜的振動信號中提取有效的特征信息是故障診斷的關(guān)鍵[2]。

對于此類復(fù)雜的振動信號，由于時頻分析方法可實(shí)現(xiàn)時域和頻域的同時局部化，因而在軸承故障診斷領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用。常用的時頻分析方法有短時傅立葉變換[3]、小波變換[4]、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Empirical Mode Decomposition, EMD）[5]及局部均值分解（Local Mean Decomposition, LMD）[6]等，但這些時頻分析方法均存在一定的弊端。例如：短時傅立葉變換的時間－頻率窗口是固定不變的；小波變換中小波基函數(shù)的選取不具有自適應(yīng)性；EMD雖可將復(fù)雜的原始信號自適應(yīng)分解為若干個本征模態(tài)函數(shù)（Intrinsic Mode Function,IMF），但存在端點(diǎn)效應(yīng)和模態(tài)混疊等問題；相比于EMD，LMD在迭代次數(shù)與運(yùn)算速度上得到了改善，但仍未從根本上解決模態(tài)混疊問題。為此，Cicone等[7]提出了一種自適應(yīng)局部迭代濾波分解（Adaptive Local Iterative Filter Decomposition,ALIFD）的信號分析方法，該算法利用自適應(yīng)濾波函數(shù)來代替EMD和LMD的包絡(luò)求取過程，有效地克服了EMD和LMD算法中的模態(tài)混疊問題。

熵是一種衡量信號復(fù)雜度的指標(biāo)，能夠充分體現(xiàn)信號的特征信息。熵主要包括排列熵（Permutation Entropy, PE）[8]、樣本熵（Sample Entropy,SE）[9]、近似熵（Approximate Entropy，ApEn）[9]和模糊熵（Fuzzy Entropy, FE）[10]等。模糊熵是在樣本熵和近似熵的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)的一種復(fù)雜度指標(biāo)，利用隸屬函數(shù)來取代樣本熵和近似熵中硬閾值判據(jù)準(zhǔn)則，顯著提升了數(shù)據(jù)統(tǒng)計結(jié)果的穩(wěn)定性和統(tǒng)一性，已用于醫(yī)學(xué)肌電信號分析和滾動軸承故障診斷中[10-11]。

采用ALIFD方法將軸承振動信號分解得到各模態(tài)分量，然后對各模態(tài)分量計算模糊熵值，這能夠在一定程度上反映軸承的故障特征信息。但是滾動軸承故障的演變通常是一個由輕微到嚴(yán)重的漸變過程，所提取的故障特征通常具有模糊性，因此，直接通過故障特征值進(jìn)行故障診斷存在一定的難度，而聚類分析方法為這類問題提供了一條有效的解決途徑。常用的聚類方法包括K-means聚類、模糊C均值（Fuzzy C-Mean, FCM）聚類、GK（Gustafson-Kessel）聚類等。其中，F(xiàn)CM聚類[12]算法是利用歐式距離來度量樣本之間的相似性，并且該算法僅適用于球形分布的數(shù)據(jù)。作為FCM聚類算法的改進(jìn)方法，GK聚類算法[13]是距離自適應(yīng)動態(tài)聚類算法的模糊推廣，它依據(jù)協(xié)方差矩陣來獲取目標(biāo)函數(shù)，適合于變量間存在相關(guān)性的數(shù)據(jù)集的聚類分析，并且該算法也適用于任意分布的數(shù)據(jù)。

基于上述分析，本研究提出將ALIFD模糊熵和GK聚類算法相結(jié)合的方法運(yùn)用于滾動軸承故障診斷中。首先利用ALIFD對軸承故障振動信號進(jìn)行分解，然后提取蘊(yùn)含主要特征信息的前3個IMF分量計算模糊熵作為故障特征向量，最后利用GK聚類算法進(jìn)行故障識別，并通過實(shí)際的故障信號證明該方法的有效性。

1 ALIFD基本原理

ALIFD是在迭代濾波分解（Iterative Filter Decomposition, IFD）方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)的一種算法，該算法中Fokker-Planck方程實(shí)現(xiàn)了對濾波函數(shù)的自適應(yīng)選取。

1.1 IFD基本原理

與EMD算法相似，IFD算法同樣也是利用迭代篩選的方法來獲取每個IMF分量。IFD算法主要包含內(nèi)循環(huán)和外循環(huán)兩層嵌套循環(huán)過程[14]。

1）內(nèi)循環(huán)過程。

然后，通過將原信號與滑動算子相減獲得波動算子：

②利用式（1）求解滑動算子。

③根據(jù)式（3）計算波動算子，每次篩選的波動算子的計算表達(dá)式為：

2）外循環(huán)過程。

外循環(huán)是用于終止內(nèi)循環(huán)中IMF分量的提取過程，內(nèi)循環(huán)完成IMF分量提取后的殘余信號記作。

1.2 ALIFD基本原理

為了在IFD過程中實(shí)現(xiàn)對濾波函數(shù)的自適應(yīng)選擇，Cicone等[7]通過不同濾波區(qū)間上的Fokker-Planck方程的基礎(chǔ)解系構(gòu)造了具有自適應(yīng)特點(diǎn)的濾波函數(shù)。

則Fokker-Planck方程為：

2 模糊熵

模糊熵的一般定義為：

4）定義函數(shù)：

5）定義模糊熵為：

在計算模糊熵時，需要考慮的參數(shù)主要包括嵌入維數(shù)m、模糊函數(shù)邊界的寬度r、梯度n、序列的長度N。由文獻(xiàn)[11]可知，當(dāng)嵌入維數(shù)m為1 或 2、r = （0.10～0.25）SD（SD 表示原序列的標(biāo)準(zhǔn)差）時，求解到的模糊熵具有比較合理的統(tǒng)計特征；由文獻(xiàn)[10]可知，梯度n通常取較小的整數(shù)值，如2或3，而序列的長度N在模糊熵的計算過程中影響較小。綜上分析，本研究中取m=2，r=0.2SD，n=2，N=2 048。

3 GK聚類算法

GK聚類算法是依據(jù)協(xié)方差矩陣的自適應(yīng)距離來進(jìn)行度量，通過求目標(biāo)函數(shù)來獲取隸屬度矩陣和聚類中心向量，其中，c為聚類數(shù)目，n為樣本總數(shù)，為第j個樣本屬于第i類的隸屬度，并且滿足，，。

采用Lagrange乘數(shù)法對式（17）進(jìn)行優(yōu)化，使目標(biāo)函數(shù)取得極小值的必要條件分別為：

GK聚類算法的具體過程如下：

1）設(shè)置聚類數(shù)目c、模糊指數(shù)m，給予隸屬矩陣U初值，使其滿足約束條件，迭代次數(shù)。依據(jù)式（20）更新聚類中心。

采用分類系數(shù)（式22）和平均模糊熵（式23）對GK聚類算法的聚類效果進(jìn)行評價。分類系數(shù)越接近1，平均模糊熵越接近0，其聚類效果越好。

4 實(shí)驗(yàn)方法及驗(yàn)證

4.1 滾動軸承故障診斷方法

針對滾動軸承故障振動信號非線性、非平穩(wěn)性的特點(diǎn)，提出一種基于ALIFD模糊熵和GK聚類的滾動軸承故障診斷方法，其流程圖如圖1所示，具體步驟如下：

1）選取滾動軸承正常、滾動體故障、外圈故障和內(nèi)圈故障4種振動狀態(tài)的數(shù)據(jù)各40組，并對每一組數(shù)據(jù)進(jìn)行ALIFD分解，得到若干個IMF分量。

2）由于故障信息主要集中在同原始信號相關(guān)性較大的幾個分量上，計算分解后得到的各個分量同原始信號的互相關(guān)系數(shù)，篩選出相關(guān)系數(shù)較大的前3個分量。

3）分別計算各種軸承故障信號所篩選的IMF分量的模糊熵值，將其組成特征向量矩陣。

4）將特征向量矩陣輸入到GK聚類中，以實(shí)現(xiàn)滾動軸承不同故障形式的分類識別，并通過聚類評價指標(biāo)判定其聚類效果。

4.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本研究所提出的方法在滾動軸承故障診斷中的有效性，采用美國Case Western Reserve University軸承數(shù)據(jù)中心的滾動軸承實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作為研究對象，用來檢測的軸承型號為SKF6205深溝球軸承，并與基于EMD模糊熵與GK聚類的故障診斷方法進(jìn)行對比分析。

4.2.1 不同類型故障診斷

選取電機(jī)轉(zhuǎn)速為1 750 r/min，采樣頻率為12 kHz，采用電火花加工技術(shù)在滾動軸承上布置單點(diǎn)故障，故障點(diǎn)的直徑為0.177 8 mm，采集滾動軸承正常（Normal, NR）、滾動體故障（Ball Fault, BF）、內(nèi)圈故障（Inner Race Fault, IRF）和外圈故障（Outer Race Fault, ORF）4種狀態(tài)的振動信號進(jìn)行分析。每種狀態(tài)各選取40組樣本，樣本長度N=2 048，軸承不同狀態(tài)的原始信號時域波形如圖2所示。

以O(shè)RF的振動信號為例，將信號分別進(jìn)行ALIFD和EMD分解，信號經(jīng)分解后得到若干個IMF分量，限于篇幅，這里只給出前5個含主要特征信息的IMF分量的時域圖，如圖3所示。

圖 1 滾動軸承故障診斷流程圖Fig.1 Flow chart of fault diagnosis for rolling bearing

為了說明ALIFD方法在抑制模態(tài)混疊問題中的優(yōu)越性，分別求取經(jīng)ALIFD和EMD分解后IMF分量的頻譜圖，以IMF4分量為例，圖4為ALIFD和EMD分解后IMF4分量的頻譜圖。從圖4中可以看出：ALIFD分解后IMF4分量頻譜中主要含有720 Hz的頻率成分；EMD分解后IMF4分量的頻譜中以720 Hz的頻率成分為主，但夾雜了大量的其他頻率成分，明顯存在模態(tài)混疊現(xiàn)象。由此說明了ALIFD方法能夠有效地抑制模態(tài)混疊現(xiàn)象。

圖 2 軸承不同狀態(tài)的原始信號時域波形圖Fig.2 Time domain waveform diagrams of original signal in different states of bearings

圖 3 ALIFD和EMD分解前5個IMF分量時域波形圖Fig.3 The first five IMF components of time domain waveform diagram of ALIFD and EMD decomposition

外圈故障的振動信號經(jīng)ALIFD分解后的IMF分量按照從高頻到低頻排列，通常前幾個IMF分量包含了原始信號主要的特征信息。為了篩選包含主要故障特征信息的IMF分量，通過計算原始信號和各IMF分量的互相關(guān)系數(shù)來判斷，前5個IMF分量與對應(yīng)原始信號的互相關(guān)系數(shù)如表1所示。由表可知，ALIFD分解后的前3個IMF分量與對應(yīng)原始信號的互相關(guān)系數(shù)均大于0.1，后2個IMF分量與對應(yīng)原始信號的互相關(guān)系數(shù)均小于0.1，說明前3個IMF分量包含了原始故障信號大量的特征信息，因此，選取前3個IMF分量進(jìn)行分析。

將滾動軸承4種狀態(tài)的數(shù)據(jù)樣本分別進(jìn)行ALIFD分解，依據(jù)上述分析計算所有樣本前3個IMF分量的模糊熵值，得到4組的模糊熵，其平均值如表2所示。由表可知，軸承不同狀態(tài)的IMF分量的模糊熵存在一定的差別，即表明不同狀態(tài)信號的復(fù)雜度不同。因此，可以選取模糊熵作為4種狀態(tài)信號的特征信息，為聚類分析提供良好的依據(jù)。

圖 4 ALIFD和EMD分解IMF4分量的頻譜圖Fig.4 Spectrogram of the IMF4 component of ALIFD and EMDdecomposed

表 1 對應(yīng)原始信號與前5個IMF分量的互相關(guān)系數(shù)Table 1 Cross-correlation coefficients between the original signal and the first five IMF components

表 2 軸承4種狀態(tài)前3個IMF分量的模糊熵值Table 2 Fuzzy entropy of the first three IMF components of four states of bearings

圖 5 不同故障類型的ALIFD-FE-GK聚類三維空間圖和二維等高線圖Fig.5 Three-dimensional space diagram and two-dimensional contour map of ALIFD-FE-GK clustering with different fault types

依據(jù)同樣的原理，利用EMD模糊熵和GK聚類相結(jié)合的方法對滾動軸承的160組數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行處理分析，即對軸承4種狀態(tài)的信號進(jìn)行EMD分解，計算前3個IMF分量的模糊熵作為特征向量并進(jìn)行GK聚類，聚類結(jié)果如圖6所示。從圖6可以看出，EMD模糊熵經(jīng)過GK聚類后，各種故障類型的樣本分布較為分散，無法明顯地區(qū)分不同的故障類型。

為了更好地說明本研究方法用于滾動軸承不同故障類型診斷中的優(yōu)越性，分別計算ALIFDFE和EMD-FE經(jīng)GK聚類后的分類系數(shù)PC和平均模糊熵CE，結(jié)果見表3。按照上述理論可知，分類系數(shù)PC越接近于1，平均模糊熵CE越接近于0，其聚類效果越好。從表3可以看出，與基于EMD模糊熵和GK聚類的故障診斷方法相比，本研究所提出方法的分類系數(shù)PC更接近于1，平均模糊熵CE也更接近于0，故而說明該方法在滾動軸承不同故障類型的診斷中具有一定的優(yōu)越性。

4.2.2 不同損傷程度的故障診斷

為進(jìn)一步驗(yàn)證本研究所提出的方法在滾動軸承故障診斷中的有效性，采用不同損傷程度的內(nèi)圈信號進(jìn)行驗(yàn)證。選擇電機(jī)轉(zhuǎn)速為1 750 r/min時軸承正常、內(nèi)圈輕度損傷（損傷直徑為0.177 8 mm）、內(nèi)圈中度損傷（損傷直徑為0.533 4 mm）及內(nèi)圈嚴(yán)重?fù)p傷（損傷直徑為0.711 2 mm）4種振動信號進(jìn)行分析。

同樣地，每種狀態(tài)各取40組樣本，樣本長度N=2 048，分別計算經(jīng)ALIFD和EMD分解后前3個IMF分量的模糊熵值，以模糊熵值為特征向量進(jìn)行GK聚類，聚類結(jié)果如圖7、圖8所示。從圖7可以明顯看出，不同損傷程度的數(shù)據(jù)樣本能夠較好地分離，同種損傷程度的數(shù)據(jù)樣本緊密地聚集在一起。從圖8可以看出，各種損傷程度的數(shù)據(jù)樣本分布較松散，圖8a中的正常狀態(tài)的樣本和內(nèi)圈中度損傷的樣本出現(xiàn)了交叉混疊的現(xiàn)象，無法明顯地判別出不同的故障狀態(tài)。

圖 6 不同故障類型的EMD-FE-GK聚類三維空間圖和二維等高線圖Fig.6 Three-dimensional space diagram and two-dimensional contour map of EMD-FE-GK clustering with different fault types

表 3 不同故障類型的聚類指標(biāo)Table 3 Clustering indicators of different fault types

圖 7 不同損傷程度的ALIFD-FE-GK聚類三維空間圖和二維等高線圖Fig.7 Three-dimensional space diagram and two-dimensional contour map of ALIFD-FE-GK clustering with different damage levels

同樣使用分類系數(shù)PC和平均模糊熵CE來說明在不同損傷程度下2種方法的聚類效果，其結(jié)果如表4所示。從表中數(shù)據(jù)可以看出，與基于EMD模糊熵和GK聚類的故障診斷方法相比，本研究所提出的方法的分類系數(shù)PC為0.956 4，更接近于1，而平均模糊熵CE為0.108 9，更接近于0，從而說明該方法在軸承不同損傷程度的故障診斷中仍具有一定的優(yōu)越性。

圖 8 不同損傷程度的EMD-FE-GK聚類三維空間圖和二維等高線圖Fig.8 Three-dimensional space diagram and two-dimensional contour map of EMD-FE-GK clustering with different damage levels

表 4 不同損傷程度的聚類指標(biāo)Table 4 Clustering indicators of different damage levels

5 結(jié)論

1）ALIFD通過Fokker-Planck方程實(shí)現(xiàn)了濾波函數(shù)的自適應(yīng)選取，能夠?qū)L動軸承故障振動信號自適應(yīng)地分解為若干個無模態(tài)混疊的IMF分量，利用相關(guān)性分析選擇的有效IMF分量的模糊熵能夠充分表達(dá)信號的不規(guī)則性和復(fù)雜度等故障特征，可為聚類識別提供有效的特征向量。

2）將基于ALIFD模糊熵和GK聚類的方法應(yīng)用到滾動軸承故障診斷中，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法在軸承不同故障類型和不同損傷程度的故障診斷中具有較好的分類效果。

3）與基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解模糊熵和GK聚類的故障診斷方法進(jìn)行比較，通過聚類指標(biāo)證明了本研究所提出的方法具有更好的分類性能，是一種有效的故障診斷方法。