以數(shù)思形 活動探究
——以“反比例函數(shù)的圖像和性質1”為例

■曹 焱

反比例函數(shù)是初中階段的三個重要函數(shù)之一。之前學生已經(jīng)學習了函數(shù)的相關概念，經(jīng)歷了一次函數(shù)的圖像與性質的探索過程，大致了解了函數(shù)學習以“定義→圖像→性質→應用”為主要研究脈絡。本節(jié)課主要引導學生，用描點法畫反比例函數(shù)的圖像；通過對反比例函數(shù)圖像的分析，探索并歸納反比例函數(shù)圖像的性質，體驗從特殊到一般的數(shù)學思想；理解反比例函數(shù)的性質，并能初步運用。

一、問題引入

1.前面我們學習了一次函數(shù)，主要研究了哪些內(nèi)容？

2.猜想一下，我們將會沿著什么樣的知識脈絡學習反比例函數(shù)？

3.反比例函數(shù)的解析式是______；自變量x的取值范圍為_____。

設計意圖：本環(huán)節(jié)設計了三個問題，回顧函數(shù)學習的主要脈絡，以舊知引入。學生類比一次函數(shù)的學習經(jīng)驗，可以猜想反比例函數(shù)的研究脈絡，借此溫故而知新。

二、新知探究

1.初探——猜想、驗證。

設計意圖：該板塊旨在“以數(shù)思形”，讓學生根據(jù)函數(shù)表達式中x、y的取值范圍和數(shù)量關系，初步估計圖像的基本概貌，如位置、趨勢及對稱性等，初步感知反比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)圖像不同（可能是兩條不連續(xù)的曲線），為后面畫圖像做準備，同時也引導學生在將來自主探究未知函數(shù)的圖像與性質時采用類似方法。

2.再探——列表、交流。

活動1：列表。恰當?shù)剡x取自變量x的值，計算函數(shù)y對應的值，填入表內(nèi)。___________

思考1：根據(jù)解析式，說說這樣取x值的理由或取x值時的注意點。

設計意圖：在本環(huán)節(jié)，教師投影展示學生填寫的幾種不同列表。師生共同提煉取自變量x值時的注意點，為后續(xù)描點、連線做準備。同時，引導學生觀察函數(shù)的表達形式之一——表格中的各組數(shù)據(jù)，初步感知反比例函數(shù)圖像的位置、不連續(xù)性、增減性、對稱性等性質。

3.三探——操作、展示。

活動2：描點、連線。以表中各組x、y的值為點的坐標，在網(wǎng)格坐標圖中描出相應的點并連線，畫出圖像。

思考2：觀察活動1中的表格，表格左右兩端還能取x的值嗎？若能，該怎么表示？在圖像中如何體現(xiàn)？

學生以小組為單位交流畫圖過程中的典型錯誤，提煉畫圖的注意點。

設計意圖：該環(huán)節(jié)由學生自主畫圖、小組交流、投影展示典型錯誤、師生共同提煉畫圖的注意點四部分組成。學生在剖析解析式特征的基礎上自主探究畫圖。教師利用投影展示學生的錯誤，通過合理引導，幫助學生討論、思辨以及掌握反比例函數(shù)圖像的畫法。最后，教師利用幾何畫板跟蹤點的軌跡，產(chǎn)生反比例函數(shù)的圖像，引導學生發(fā)現(xiàn)，當取盡可能多的點時，反比例函數(shù)圖像就是分布在第一、三象限的兩支曲線，故也稱為雙曲線。

4.演示——分析、歸納。

歸納：當k＞0時，反比例函數(shù)的圖像性質。

思考3：當k＞0時，反比例函數(shù)圖像性質能作為一般反比例函數(shù)圖像的性質嗎？歸納：當k＜0時，反比例函數(shù)的圖像性質。設計意圖：該環(huán)節(jié)通過一系列問題不斷引導學生深入探究反比例函數(shù)性質（位置、增減性、對稱性）。教師用幾何畫板，先演示k取不同正整數(shù)時（k＞0）圖像的變化，幫助學生從特殊到一般理解k＞0時反比例函數(shù)圖像的性質，再演示k取不同負整數(shù)時（k＜0）圖像的變化。整個環(huán)節(jié)，教師運用幾何畫板，能讓學生直觀地感受反比例函數(shù)圖像性質的變化，逐步深入理解反比例函數(shù)圖像性質。

三、知識應用

2.上述選項B中的圖像，對應的解析式可能是下列哪一個？

（1）求k的值。（2）請你補全圖中反比例函數(shù)圖像的另一支。（3）y隨x的增大怎樣變化？（4）點，-16）、C（-3，5）在這個圖像上嗎？

設計意圖：函數(shù)的表達形式有解析式、表格、圖像三種。問題1、2考查學生能否在函數(shù)解析式與圖像之間熟練轉化，其中，要引導學生注意第2題（1）、（3）中x的取值范圍，其圖像是雙曲線的一個分支；問題3是教材例題的變式，考查學生對反比例函數(shù)圖像性質的理解和運用。

四、小結

提問：反比例函數(shù)的圖像是什么樣的？它有什么性質？反比例函數(shù)性質的探索過程體現(xiàn)了什么數(shù)學思想？

設計意圖：教師教學不僅要授之以魚，更要授之以漁。反比例函數(shù)章節(jié)不僅是一次函數(shù)的深化，也是日后學習曲線型函數(shù)必要的經(jīng)驗積累。所以，在課堂小結環(huán)節(jié)，教師繼續(xù)追問：如果后續(xù)我們要學習一個未知函數(shù)，結合前面學習函數(shù)的經(jīng)驗，我們將怎樣研究這個未知函數(shù)？學生的回答精彩紛呈，為整節(jié)課畫上了一個圓滿的句號。