基于Matlab的飛機(jī)機(jī)翼結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

王飛 張晶輝

摘 ?要： 為達(dá)到飛機(jī)機(jī)翼結(jié)構(gòu)的最優(yōu)設(shè)計(jì)要求，文中提出一種智能化的飛機(jī)機(jī)翼結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化改進(jìn)設(shè)計(jì)方法。該設(shè)計(jì)方法在經(jīng)典的變密度法的基礎(chǔ)上，選用RAMP模型作為材料插值模型，改進(jìn)了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，最終提出了對(duì)飛機(jī)機(jī)翼結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化的設(shè)計(jì)方法。文中使用Matlab語言對(duì)該設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，仿真結(jié)果證明了該設(shè)計(jì)方法的可行性和正確性。

關(guān)鍵詞： 拓?fù)鋬?yōu)化; 飛機(jī)機(jī)翼; 數(shù)學(xué)模型改進(jìn); RAMP模型; 設(shè)計(jì)方法; 仿真驗(yàn)證

中圖分類號(hào)： TN03?34; TP391 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)： 1004?373X（2019）20?0119?04

Matlab?based topological optimization design of aircraft wing structure

WANG Fei， ZHANG Jinghui

（Xian Aeronautical University， Xian 710077， China）

Abstract： An intelligentized topology optimization design method of aircraft wing structure is proposed to meet the optimal design requirements of aircraft wing structure. On the basis of the classical variable density method， the RAMP model is selected in the design method as the material interpolation model， and the corresponding mathematical model is improved. Finally， the optimization design method of aircraft wing structure is proposed. The simulation verification for this design method is carried out with Matlab. ?The simulation results prove the feasibility and correctness of the design method.

Keywords： topology optimization; aircraft wing; mathematical model refinement; RAMP model; design method; simulation verification

在現(xiàn)代科技發(fā)展中，一個(gè)國(guó)家的飛機(jī)設(shè)計(jì)制造水平，既是科研與創(chuàng)造能力的重要體現(xiàn)，也是國(guó)防和軍隊(duì)現(xiàn)代化水平的重要指標(biāo)。所以，大多數(shù)國(guó)家均對(duì)飛機(jī)設(shè)計(jì)進(jìn)行著深入的研究與改進(jìn)，不斷地推出性能更加全面和先進(jìn)的飛機(jī)。機(jī)翼是飛機(jī)的關(guān)鍵部件，負(fù)責(zé)為飛機(jī)提供大部分的升力，所以機(jī)翼的結(jié)構(gòu)和質(zhì)量直接關(guān)系到飛機(jī)的多種飛行性能指標(biāo)。而如何設(shè)計(jì)出同時(shí)具有較輕的質(zhì)量、較強(qiáng)的強(qiáng)度與剛度的機(jī)翼，成為了所有飛機(jī)設(shè)計(jì)師共同面臨的問題[1?3]。

在傳統(tǒng)的飛機(jī)設(shè)計(jì)過程中，飛機(jī)設(shè)計(jì)師通常是基于經(jīng)驗(yàn)確定飛機(jī)機(jī)翼的原始設(shè)計(jì)。隨后通過具體的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，來驗(yàn)證該設(shè)計(jì)是否達(dá)到了相應(yīng)的性能要求，若不能達(dá)到要求，則設(shè)計(jì)師需要反復(fù)修改其設(shè)計(jì)方案，重復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。由此造成設(shè)計(jì)工作繁瑣、復(fù)雜，缺少設(shè)計(jì)的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，嚴(yán)重依賴飛機(jī)設(shè)計(jì)師的判斷能力和經(jīng)驗(yàn)水平。為實(shí)現(xiàn)飛機(jī)模塊的優(yōu)化設(shè)計(jì)與快速裝配，研究者們提出了飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)[4?6]，利用力學(xué)的基本原理和計(jì)算機(jī)程序語言，在計(jì)算機(jī)上建立數(shù)學(xué)分析模型，從而完成飛機(jī)機(jī)翼結(jié)構(gòu)布局設(shè)計(jì)和具體分析[7?8]。本文使用該設(shè)計(jì)方法，在連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化算法的基礎(chǔ)上，選用變密度法和RAMP（Rational Approximation of Material Properties）材料插值模型。并通過引入約束因子對(duì)原有的優(yōu)化方法進(jìn)行必要的改進(jìn)，最終提出了智能化的飛機(jī)機(jī)翼結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化改進(jìn)設(shè)計(jì)方法。仿真結(jié)果表明，該設(shè)計(jì)方法性能良好。

1 ?拓?fù)鋬?yōu)化方法

在數(shù)學(xué)上，結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題是一種特殊的0?1規(guī)劃問題。因?yàn)轱w機(jī)機(jī)翼是連續(xù)體結(jié)構(gòu)，所以本文研究的問題可以歸納為一個(gè)連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問題，即在確定范圍內(nèi)尋找飛機(jī)機(jī)翼結(jié)構(gòu)的最優(yōu)布局。連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法可分為均勻化法、獨(dú)立連續(xù)映射法、漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法、變厚度法和變密度法等。本文選用變密度法，主要是因?yàn)椋?/p>

1） 均勻化法是一種基于嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)的優(yōu)化方法，在拓?fù)鋬?yōu)化理論領(lǐng)域具有無可替代的作用。然而，該種算法也存在變量繁多和計(jì)算復(fù)雜的缺點(diǎn)，實(shí)用性較差。

2） 獨(dú)立連續(xù)映射法是一種將離散變量映射到連續(xù)變量，且求解速度較快的優(yōu)化方法。然而，該方法的計(jì)算結(jié)果數(shù)值通常均不穩(wěn)定，限制了該方法的應(yīng)用。

3） 漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法是一種通過刪除低效結(jié)構(gòu)單元來實(shí)現(xiàn)拓?fù)鋬?yōu)化的方法。因該方法回避了多變量規(guī)劃問題的求解，所以該方法具有簡(jiǎn)單、實(shí)用的特點(diǎn)。然而，此方法的迭代次數(shù)較少，導(dǎo)致其計(jì)算效率偏低，同時(shí)該方法的收斂性仍未被證明。

4） 變厚度法是將單元的幾何尺寸設(shè)為變量的優(yōu)化方法，回避了組成微結(jié)構(gòu)的計(jì)算過程，在解決二維平面的優(yōu)化問題中具有良好的性能。然而，該優(yōu)化方法難以求解三維平面的優(yōu)化問題。

5） 變密度法充分利用了偽密度和懲罰因子的概念，與其他方法相比，其具有原理清晰和實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單等多重優(yōu)點(diǎn)，卻沒有明顯的缺點(diǎn)。所以，本文選用了該方法作為拓?fù)鋬?yōu)化的基本方法。

2 ?變密度法

變密度法是一種引入偽密度和懲罰因子概念的優(yōu)化方法。假設(shè)自然界中存在一種密度可變的材料，其彈性模量、允許用應(yīng)力與密度成非線性關(guān)系。然后建立材料插值模型，根據(jù)密度的大小確定材料的分布情況，由此便可將0?1離散取舍問題轉(zhuǎn)化為取值在[0，1]之間的連續(xù)變量?jī)?yōu)化問題。同時(shí)使用懲罰因子衡量材料的中間密度值，從而逼近傳統(tǒng)的拓?fù)鋬?yōu)化模型，具體為：

3 ?RAMP模型

在確定變密度法為基本優(yōu)化方法之后，還需要選取相應(yīng)的材料插值模型。一般而言，適用于變密度法的模型主要有SIMP模型和RAMP模型兩種。其中，SIMP（Solid Isotropic Microstructures with Penalization）模型的基本原理為：假定有限元單元中的材料密度是常數(shù)，設(shè)定這一常數(shù)為設(shè)計(jì)變量。然后使用有限元法，利用材料屬性隨單元密度變化的指數(shù)函數(shù)，建立材料屬性的總體剛度矩陣及其相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。該模型的計(jì)算效率較高，且不會(huì)出現(xiàn)較大的計(jì)算誤差。其基本原理與RAMP 模型類似，但由于RAMP模型加入了一個(gè)懲罰因子，這導(dǎo)致材料的柔度函數(shù)由凸函數(shù)變成了凹函數(shù)，從而使RAMP模型具有更加優(yōu)良的穩(wěn)定性。此外，其計(jì)算結(jié)果也趨向于收斂，所以本文選用RAMP模型作為材料插值模型[9?10]。RAMP模型的基本優(yōu)化原理與SIMP模型類似，其模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

3.2 ?模型求解

為了保持模型求解的穩(wěn)定性，本文在模型的求解過程中添加了一個(gè)設(shè)計(jì)變量改變常數(shù)m，其取值范圍為[0.1，0.3]。保證設(shè)計(jì)變量的下降速度不會(huì)過快，則優(yōu)化模型的數(shù)學(xué)求解迭代過程如下：

4 ?仿真與分析

為驗(yàn)證優(yōu)化模型的可行性，本文使用Matlab對(duì)該模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證。在仿真中，將飛機(jī)機(jī)翼的肋板大小設(shè)為500 mm×200 mm，其單元數(shù)量n=50×20，其彈性模量[E=2.5×109]，泊松比常數(shù)[υ=0.33]，體積因子[f=0.5]，同時(shí)，假設(shè)該機(jī)翼僅受山字載荷影響。使用這些參數(shù)，本文對(duì)該模型進(jìn)行了多次仿真，得到相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果，如圖1和圖2所示。

圖1 ?Matlab的模型優(yōu)化結(jié)果

圖2 ?優(yōu)化效果與迭代次數(shù)關(guān)系

圖1展示了本文模型的優(yōu)化結(jié)果。從圖中可以看出，其結(jié)果的孔洞布局隨機(jī)翼結(jié)構(gòu)類似，即其孔洞分布符合機(jī)翼結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)要求，飛機(jī)設(shè)計(jì)師在設(shè)計(jì)過程中可以參考這些優(yōu)化結(jié)果完善飛機(jī)機(jī)翼的設(shè)計(jì)。圖2展示了該模型的優(yōu)化效果隨迭代次數(shù)的變化規(guī)律。由圖可知，本文的優(yōu)化效果隨著迭代次數(shù)的增加而逐漸趨于穩(wěn)定，且具有較好的穩(wěn)定性。同時(shí)，模型的迭代次數(shù)處于可以接受的范圍內(nèi)。

5 ?結(jié) ?論

基于經(jīng)典的變密度法和RAMP材料插值模型，本文通過引入懲罰因子和約束因子，提出了一種飛機(jī)機(jī)翼結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的改進(jìn)設(shè)計(jì)模型及其求解方法。同時(shí)，還進(jìn)行了必要的仿真和分析，結(jié)果表明，該設(shè)計(jì)方法性能良好。然而，該模型的收斂速度仍有提升的空間，這也是下一步的主要研究方向。

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