基于分?jǐn)?shù)信號(hào)處理的變步長(zhǎng)自適應(yīng)振動(dòng)主動(dòng)控制方法研究

楊曉京，胡俊文

(昆明理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,昆明 650500)

0 引 言

隨著超精密加工和檢測(cè)技術(shù)的快速發(fā)展，精密儀器和超精密加工設(shè)備的應(yīng)用越來越廣泛。由于精密儀器和超精密加工設(shè)備對(duì)于振動(dòng)非常敏感，任何微弱的振動(dòng)干擾都可能會(huì)對(duì)加工和檢測(cè)結(jié)果產(chǎn)生嚴(yán)重的影響，因此，解決精密儀器和超精密加工設(shè)備的隔振問題是超精密加工領(lǐng)域亟待解決的關(guān)鍵難題[1]。

振動(dòng)主動(dòng)控制由于能有效抑制振動(dòng)，彌補(bǔ)被動(dòng)隔振對(duì)于低頻振動(dòng)隔離效果不佳等優(yōu)點(diǎn)，而被廣泛應(yīng)用于超精密加工設(shè)備的振動(dòng)控制中。其中，濾波-x最小均方(filtered-x least mean square，F(xiàn)XLMS)算法具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、減振效果好和自適應(yīng)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)成為了振動(dòng)主動(dòng)控制系統(tǒng)中的主要控制算法。但FXLMS算法存在次級(jí)通道(控制輸出信號(hào)到誤差檢測(cè)傳感器之間的物理通道)，在控制系統(tǒng)中，次級(jí)通道的辨識(shí)精度將直接影響FXLMS算法的收斂性和穩(wěn)定性，是影響控制系統(tǒng)控制效果的重要因素，當(dāng)實(shí)際次級(jí)通道與辨識(shí)模型之間的相位誤差大于±90°，系統(tǒng)無法保持穩(wěn)定[2]。目前次級(jí)通道的辨識(shí)方法主要有離線辨識(shí)和在線辨識(shí)。離線辨識(shí)是在主動(dòng)控制進(jìn)程開始前，用系統(tǒng)辨識(shí)的方法得到次級(jí)通道傳遞函數(shù)的相關(guān)參數(shù)，原理簡(jiǎn)單，模型辨識(shí)準(zhǔn)確性好，適合次級(jí)通道幾乎不變或者變化緩慢的情況。然而，在實(shí)際工程應(yīng)用中，由于設(shè)備磨損等問題，次級(jí)通道特性經(jīng)常會(huì)發(fā)生突變，離線辨識(shí)會(huì)導(dǎo)致控制性能下降和系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，為了確保振動(dòng)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制精度的要求，采用次級(jí)通道在線辨識(shí)具有實(shí)際意義[3-8]。

1 基于次級(jí)通道在線辨識(shí)的自適應(yīng)振動(dòng)主動(dòng)控制系統(tǒng)

Eriksson等[9]首先提出將隨機(jī)白噪聲信號(hào)作為訓(xùn)練信號(hào)的次級(jí)通道在線辨識(shí)方法，其方法框圖見圖1。圖1中，x(n)為初始振動(dòng)參考信號(hào)，e(n)為控制后的殘余誤差，P(n)是由初始振動(dòng)源到最終振動(dòng)控制誤差傳感器之間的初級(jí)通道傳遞函數(shù)，S(n)為次級(jí)通道是由作動(dòng)器到誤差檢測(cè)傳感器之間的次級(jí)通道傳遞函數(shù)，是次級(jí)通道在線辨識(shí)濾波器的系數(shù)，v(n)為隨機(jī)白噪聲信號(hào)，S′(n)為次級(jí)通道在線辨識(shí)濾波器。

主動(dòng)控制濾波器權(quán)系數(shù)和次級(jí)通道在線辨識(shí)濾波器的權(quán)系數(shù)更新可通過FXLMS和LMS算法迭代計(jì)算得出

W(n+1)=W(n)+μwX′(n)e(n)

(1)

S′(n+1)=S′(n)+μsV(n)f(n)

(2)

(1)—(2)式中，μw，μs為收斂步長(zhǎng)。

(3)

y(n)=WT(n)XL(n)

(4)

主動(dòng)控制濾波器的誤差信號(hào)為

e(n)=d(n)-y′(n)+v′(n)

(5)

對(duì)(5)式進(jìn)行進(jìn)一步分析，有

e(n)=[d(n)-S(n)Y(n)]+S(n)V(n)

(6)

(6)式中，S(n)V(n)為次級(jí)通道辨識(shí)的白噪聲信號(hào)經(jīng)次級(jí)通道出現(xiàn)在控制濾波器的殘余誤差信號(hào)，影響控制環(huán)節(jié)的控制效果。

圖1 Eriksson方法Fig.1 Block diagram of Eriksson’s method

次級(jí)通道在線辨識(shí)濾波器的誤差信號(hào)為

(7)

對(duì)(7)式進(jìn)行進(jìn)一步分析，有

(8)

(8)式中，d(n)-y′(n)為主動(dòng)控制環(huán)節(jié)對(duì)辨識(shí)濾波器影響。由上述分析可知：Eriksson的方法中，控制環(huán)節(jié)和辨識(shí)環(huán)節(jié)之間相互影響，并且這種額外的影響一直存在于整個(gè)次級(jí)通道辨識(shí)環(huán)節(jié)中。

針對(duì)Eriksson方法中辨識(shí)環(huán)節(jié)的激勵(lì)信號(hào)與控制信號(hào)相互干擾，嚴(yán)重影響控制系統(tǒng)的整體性能的問題。張明等[10-11]在控制濾波器和次級(jí)通道在線建模濾波器的基礎(chǔ)上新增了第3個(gè)輔助濾波器的次級(jí)通道辨識(shí)方法，該方法能有效消除主動(dòng)控制環(huán)節(jié)和次級(jí)通道辨識(shí)環(huán)節(jié)之間的相互影響，但由于引入的第3個(gè)濾波器加大了計(jì)算量，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)也較復(fù)雜。Akhtar等[12]為了避免引入第3個(gè)濾波器，提出了一種變步長(zhǎng)的LMS算法用于次級(jí)通道在線辨識(shí)，并將(次級(jí)通道在線辨識(shí)濾波器的誤差信號(hào))f(n)作為控制濾波器的反饋誤差，在不增加結(jié)構(gòu)復(fù)雜度的情況下，通過變步長(zhǎng)的次級(jí)通道辨識(shí)方法降低了主動(dòng)控制環(huán)節(jié)和次級(jí)通道在線辨識(shí)環(huán)節(jié)之間的相互影響，但其次級(jí)通道辨識(shí)環(huán)節(jié)采用傳統(tǒng)的整數(shù)階LMS算法，收斂速度緩慢，并且在辨識(shí)環(huán)節(jié)收斂以后仍采用較大的步長(zhǎng)進(jìn)行辨識(shí)，無法進(jìn)一步提高次級(jí)通道的辨識(shí)精度，系統(tǒng)收斂后辨識(shí)環(huán)節(jié)波動(dòng)較大，影響辨識(shí)效果和系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2 基于分?jǐn)?shù)階LMS算法的改進(jìn)型變步長(zhǎng)次級(jí)通道辨識(shí)算法

綜合各種次級(jí)通道在線建模方法的特點(diǎn)，本文基于簡(jiǎn)單的FXLMS振動(dòng)主動(dòng)控制算法，針對(duì)上述突出問題進(jìn)行改進(jìn)：①提出一種基于分?jǐn)?shù)信號(hào)處理的新型自適應(yīng)算法作為次級(jí)通道的辨識(shí)算法，辨識(shí)環(huán)節(jié)收斂速度較傳統(tǒng)LMS算法有明顯的提升；②提出一種雙步長(zhǎng)的兩階段變步長(zhǎng)策略，與現(xiàn)有方法相比，顯著避免了系統(tǒng)收斂后的波動(dòng)，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和次級(jí)通道辨識(shí)精度。算法框圖如圖2。

圖2 本文所提出的次級(jí)通道在線建模方法框圖Fig.2 Proposed method with online secondary path modelling

2.1 基于分?jǐn)?shù)階LMS算法的次級(jí)通道在線辨識(shí)算法

分?jǐn)?shù)LMS算法是分?jǐn)?shù)階微積分在LMS算法中應(yīng)用的進(jìn)一步發(fā)展。與整數(shù)階LMS算法相比，分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)算法具有較快的收斂速度，收斂性能明顯優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)的整數(shù)階LMS算法。目前廣泛應(yīng)用于工程的多種領(lǐng)域中，例如，圖像處理和系統(tǒng)辨識(shí)等[13-15]。

分?jǐn)?shù)階LMS算法是基于LMS算法在分?jǐn)?shù)階上的發(fā)展得出，同樣通過最小下降法來最小化目標(biāo)函數(shù)得出濾波器參數(shù)，系統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù)如下

J(n)=E[|f(n)|2]

(9)

(9)式中：E[·]表示期望；f(n)是誤差信號(hào)。

分?jǐn)?shù)階LMS算法權(quán)系數(shù)迭代更新如下

(10)

對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)一步分析有

(11)

將(8)式代入(11)式中，(11)式可簡(jiǎn)化如下

(12)

根據(jù)Caputo和Riemann-Liouville定義[15]，函數(shù)g(t)=tn的分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)被定義為

(13)

(13)式中，Γ(n)為伽馬函數(shù)，定義如下

Γ(n)=(n-1)!

(14)

通過分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義，上式中的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)如下

(15)

通過(13)式和(14)式，(15)式更新為

(16)

Γ(2)=1,將(16)式代入(10)式中可得到標(biāo)準(zhǔn)的分?jǐn)?shù)階LMS算法權(quán)系數(shù)迭代更新為

f(n)V(n)

(17)

2.2 兩階段的變步長(zhǎng)控制策略

從圖1中可以看出，次級(jí)通道的建模誤差由(8)式所示，其中，[d(n)-y′(n)]為控制環(huán)節(jié)誤差對(duì)建模環(huán)節(jié)的影響。在系統(tǒng)初始階段，控制環(huán)節(jié)還未開始收斂，控制環(huán)節(jié)誤差值很大，為了辨識(shí)環(huán)節(jié)的穩(wěn)定，辨識(shí)環(huán)節(jié)只能采用較小的步長(zhǎng)進(jìn)行辨識(shí)，但在控制系統(tǒng)開始收斂后，控制環(huán)節(jié)誤差對(duì)辨識(shí)環(huán)節(jié)的影響會(huì)急劇縮小，此時(shí)辨識(shí)環(huán)節(jié)可以采用較大的步長(zhǎng)進(jìn)行快速收斂。但傳統(tǒng)的Akhtar[12]方法及其改進(jìn)方法在次級(jí)通道辨識(shí)環(huán)節(jié)收斂以后仍保持較大的步長(zhǎng)進(jìn)行辨識(shí)，無法進(jìn)一步提高辨識(shí)精度且容易造成系統(tǒng)收斂后的波動(dòng)，增大了辨識(shí)誤差和系統(tǒng)的不穩(wěn)定性[16-17]。

根據(jù)以上分析，本文給出了兩階段的次級(jí)通道在線辨識(shí)變步長(zhǎng)策略，具體步驟如下。

第一階段：在辨識(shí)開始的初級(jí)階段采用較小步長(zhǎng)，隨著控制系統(tǒng)的收斂逐漸增大步長(zhǎng)，從而加快辨識(shí)環(huán)節(jié)的收斂速度。

μa(n)=ρ(n)μamin+[1-ρ(n)]μamax

(18)

(18)式中：μamin和μamax為設(shè)置辨識(shí)步長(zhǎng)的上下限；ρ(n)設(shè)置如下

(19)

(19)式中，Px(n)，Pv(n)，Pe(n)和Pf(n)分別為初始參考信號(hào)x(n)、附加辨識(shí)噪聲信號(hào)v(n)、誤差信號(hào)e(n)和f(n)的功率估計(jì)函數(shù)，采用指數(shù)平滑預(yù)測(cè)方法計(jì)算如下

(20)

(20)式中，γxv和γef為遺忘因子(0.9 <γxv,γef<1)。

當(dāng)辨識(shí)環(huán)節(jié)收斂以后，ρ(n)→0，μa(n)會(huì)逐漸趨近于μsmax并保持較大的值，但此時(shí)由于系統(tǒng)的辨識(shí)誤差較小繼續(xù)保持較大的辨識(shí)步長(zhǎng)會(huì)使辨識(shí)環(huán)節(jié)產(chǎn)生較大波動(dòng)，影響辨識(shí)效果和系統(tǒng)穩(wěn)定性，基于此，給出第二階段的變步長(zhǎng)策略，適用于辨識(shí)環(huán)節(jié)收斂以后將步長(zhǎng)逐漸調(diào)整到較小的值進(jìn)行微調(diào)，避免辨識(shí)環(huán)節(jié)異常波動(dòng)和提高次級(jí)通道的建模精度。

第二階段：當(dāng)辨識(shí)環(huán)節(jié)收斂后將長(zhǎng)步逐漸調(diào)整到較小的值進(jìn)行微調(diào)，避免系統(tǒng)異常波動(dòng)，提高次級(jí)通道的辨識(shí)精度。

定義一基于誤差信號(hào)f(n)的功率函數(shù)的變化參數(shù)為

(21)

當(dāng)系統(tǒng)初始時(shí)，ePf(n)>>1，fP(n)→1；當(dāng)系統(tǒng)收斂后ePf(n)→1，fP(n)→0。

基于上述期望設(shè)置基于誤差信號(hào)f(n)功率的兩階段步長(zhǎng)變化規(guī)律，當(dāng)μa(n)>φμamax時(shí)觸發(fā)第二階段步長(zhǎng)變化規(guī)律，且第二階段的步長(zhǎng)μa2(n)的初始值設(shè)置為μa2(n)=φμamax，其變步長(zhǎng)策略設(shè)置如下

μa2(n)=αμa2(n-1)+β(1-fP(n))f3(n)

(22)

(22)式中，α為遺忘因子(0.9<α<1),β為誤差微調(diào)參數(shù)。

綜合上述兩階段，給出如下步長(zhǎng)的兩階段變步長(zhǎng)策略

(23)

(24)

(23)—(24)式中，μSmax和μfmax分別為二階段收斂步長(zhǎng)μS2和μf2的觸發(fā)閥值和初始值。

2.3 算法計(jì)算復(fù)雜度分析

本文所提算法的計(jì)算復(fù)雜度由表1分析給出。算法單次迭代計(jì)算量的比較由表2給出。其中，M和N分別為主動(dòng)控制濾波器和次級(jí)通道辨識(shí)濾波器的階數(shù)，H為文獻(xiàn)[10]中第3個(gè)濾波器的階數(shù)；算例計(jì)算量中，M=32，N=32，H=64。

表1 本文算法計(jì)算復(fù)雜度分析

由表2可以看出，本文所提出的算法計(jì)算量遠(yuǎn)小于文獻(xiàn)[10]，同時(shí)較Akhtar算法也有計(jì)算量上的優(yōu)勢(shì)。計(jì)算量?jī)H大于Eriksson算法，這是由于本文提出的算法引入了分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)算法和兩階段的變步長(zhǎng)策略，能有效提高次級(jí)通道的辨識(shí)效率和精度以及更好的振動(dòng)控制效果。

表2 單次迭代計(jì)算量

3 仿真結(jié)果與對(duì)比分析

為了驗(yàn)證本文所提出算法的有效性，將Eriksson算法、Akhtar算法和本文所提出的改進(jìn)算法進(jìn)行振動(dòng)主動(dòng)控制的仿真實(shí)驗(yàn)。仿真參數(shù)如表3。為了準(zhǔn)確描述算法辨識(shí)次級(jí)通道的性能，歸一化的次級(jí)通道辨識(shí)誤差評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)定義如下

(25)

為了表示算法的減振性能，系統(tǒng)的降噪量是一個(gè)關(guān)鍵的性能表現(xiàn)，歸一化的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)定義如下

(26)

R(n)值越大，表示系統(tǒng)的降噪量越大。

仿真中，初級(jí)通道、次級(jí)通道和突變后次級(jí)通道的傳遞函數(shù)采用文獻(xiàn)[8]的數(shù)據(jù)。其中，仿真采樣頻率設(shè)置為2 kHz?？刂茷V波器和次級(jí)通道在線建模的濾波器均設(shè)置為32位的FIR濾波器。其中，建模濾波器通過離線辨識(shí)得到-5 dB的次級(jí)通道濾波器系數(shù)作為在線建模濾波器的初始參數(shù)。

3.1 定頻振動(dòng)信號(hào)控制仿真

仿真中的參考輸入信號(hào)設(shè)置為幅值為2、頻率為50 Hz的正弦信號(hào)和標(biāo)準(zhǔn)差為0.05的高斯白噪聲信號(hào)的合成信號(hào)，信噪比設(shè)置為30 dB。另外，以上3種算法均取零均值方差為0.1的高斯白噪聲信號(hào)作為次級(jí)通道在線辨識(shí)的輸入信號(hào)。仿真結(jié)果如圖3。

表3 仿真參數(shù)

圖3a為本文算法和Eriksson算法、Akhtar算法次級(jí)通道辨識(shí)能力的比較，從圖3中可以看出，本文算法的次級(jí)通道辨識(shí)能力具有明顯優(yōu)勢(shì)，在T=9 200左右時(shí)，Akhtar算法能達(dá)到最好的辨識(shí)效果，次級(jí)通道辨識(shí)誤差ΔS(n)下降到-34 dB左右隨后上下大幅波動(dòng)，而本文算法達(dá)到同樣的ΔS(n)僅在T=5 000左右時(shí)，次級(jí)通道的辨識(shí)速度提升了45%；并且持續(xù)收斂最終次級(jí)通道辨識(shí)誤差穩(wěn)定在-43 dB左右，較Akhtar算法辨識(shí)效果提升了21%左右。圖3b為本文算法與上述2種算法降噪性能的對(duì)比?？梢园l(fā)現(xiàn)，通過使用新型的次級(jí)通道辨識(shí)算法提升了次級(jí)通道的辨識(shí)速度，控制系統(tǒng)的降噪能力也得到了顯著的提升。

圖3c和圖3d為本文算法次級(jí)通道在線辨識(shí)步長(zhǎng)μs和μf的變化情況，在系統(tǒng)工作初期，誤差較大，辨識(shí)步長(zhǎng)取較小值，當(dāng)控制環(huán)節(jié)收斂后步長(zhǎng)逐漸增大以加快辨識(shí)環(huán)節(jié)收斂速度，得出當(dāng)辨識(shí)環(huán)節(jié)收斂后，為了避免系統(tǒng)的波動(dòng)，收斂步長(zhǎng)根據(jù)第二階段的變步長(zhǎng)策略重新調(diào)節(jié)回歸到較小的步長(zhǎng)進(jìn)行微調(diào)，這樣的次級(jí)通道變步長(zhǎng)策略在提高辨識(shí)環(huán)節(jié)收斂速度的同時(shí)，能有效避免辨識(shí)環(huán)節(jié)的波動(dòng)，提高了辨識(shí)精度。

3.2 次級(jí)通道突變控制仿真

在實(shí)際情況中，初級(jí)通道和次級(jí)通道由于各種原因往往會(huì)發(fā)生突變。此時(shí)，設(shè)置仿真系統(tǒng)中初級(jí)通道和次級(jí)通道的傳遞函數(shù)在系統(tǒng)迭代20 000次時(shí)發(fā)生突變。仿真結(jié)果如圖4。

圖4a和4b分別為次級(jí)通道發(fā)生突變時(shí)，3種算法的建模誤差和降噪性能，可看出本文算法在次級(jí)通道建模的收斂速度、建模精度以及控制環(huán)節(jié)的減振效果均優(yōu)于前2種方法，在次級(jí)通道發(fā)生突變的情況下，仍能快速跟蹤次級(jí)通道的變化并快速收斂。從圖4c和4d中可以看出，次級(jí)通道在線辨識(shí)濾波器的收斂步長(zhǎng)能快速跟蹤次級(jí)通道的變化。

圖4 次級(jí)通道突變仿真效果Fig.4 Simulation results of secondary path change

4 結(jié) 論

本文基于簡(jiǎn)單的前饋式FXLMS控制算法，提出一種基于分?jǐn)?shù)信號(hào)處理的雙步長(zhǎng)兩階段的變步長(zhǎng)策略的次級(jí)通道在線辨識(shí)方法。該方法使用分?jǐn)?shù)信號(hào)處理的自適應(yīng)算法，較傳統(tǒng)的最小均方算法(LMS)辨識(shí)環(huán)節(jié)的收斂速度得到明顯提升。得到一種雙步長(zhǎng)兩階段的變步長(zhǎng)策略，可以提高算法收斂速度和系統(tǒng)辨識(shí)精度，顯著避免系統(tǒng)收斂后的波動(dòng)，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，且在保障辨識(shí)效果的前提下，有效降低了辨識(shí)噪聲對(duì)控制環(huán)節(jié)的影響, 相比于傳統(tǒng)的在線辨識(shí)算法，次級(jí)通道的辨識(shí)速度提升了45%，辨識(shí)效果提升了21%左右。通過計(jì)算機(jī)仿真分析驗(yàn)證了所提方法的有效性。