等腰三角形解題策略：基本圖形++“兩頭湊”

文陳亞楠

等腰三角形性質(zhì)與判定是《軸對(duì)稱圖形》這一章的難點(diǎn)，也是?？嫉闹R(shí)點(diǎn)。隨著幾何學(xué)習(xí)的深入，部分同學(xué)出現(xiàn)了面對(duì)復(fù)雜問題不會(huì)分析，面對(duì)復(fù)雜圖形無從下手的情況。有時(shí)候題目中并沒有直接給出等腰三角形的條件，而是需要大家根據(jù)已知推理得到。那么，要構(gòu)成一個(gè)等腰三角形就必須要有相等的邊或相等的角。從相等的邊來看，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可構(gòu)造等腰三角形（如圖1）；從相等的角來看，“平行平分得等腰”是常見的基本圖形（如圖2）。

圖1

圖2

例1如圖3，已知在△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，AD=BD。求證：CD⊥AC。

【分析】讀完題之后我們要思考三方面問題：①已知什么？能得到什么？②求證什么？需要什么？③怎么解決？

首先，由AB=2AC，AD=BD可聯(lián)想到基本圖形圖1，取AB的中點(diǎn)E，連接DE，由“三線合一”得DE⊥AB；其次，要證明CD⊥AC，可證明∠ACD=∠AED=90°；最后，由 AD平分∠BAC，證明△AED≌△ACD即可。

圖3

證明：取AB的中點(diǎn)E，連接DE。

∵AD=BD，

∴AB=2AE，DE⊥AB，

∴∠AED=90°。

∵AB=2AC，

∴AE=AC。

∵AD平分∠BAC

∴∠EAD=∠CAD。

在△AED和△ACD中，

∴△AED≌△ACD。

∴∠ACD=∠AED=90°。

∴CD⊥AC。

例2如圖4，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，MN過點(diǎn)O，與AB、AC相交于點(diǎn)M、N，且MN∥BC，求證：△AMN的周長(zhǎng)等于AB+AC。

圖4

【分析】首先，已知平行、平分，由基本圖形圖2可得△BMO和△CNO是等腰三角形；其次，求證C△AMN=AB+AC，需證MN=MB+NC；最后，由腰相等進(jìn)行等量代換即可。

證明：∵BO平分∠ABC，

∴∠ABO=∠CBO。

∵M(jìn)N∥BC，

∴∠MOB=∠CBO，

∴∠ABO=∠MOB，

∴BM=MO。

同理，CN=NO。

∴C△AMN=AM+MN+AN=AM+MO+NO+AN=AM+MB+NC+AN=AB+AC。

以上兩道例題涉及了之前提到的兩個(gè)基本圖形，它能夠幫助我們快速地將復(fù)雜圖形分解成熟悉的簡(jiǎn)單圖形。當(dāng)然，基本圖形也不能幫助我們完全解決復(fù)雜幾何題，還需要我們學(xué)會(huì)分析問題。在上面兩道題的分析中，陳老師要同學(xué)們思考三個(gè)方面的問題：①已知什么？能得到什么？②求證什么？需要什么？③怎么解決？其實(shí)這就是結(jié)合條件和所要證明的結(jié)論一起考慮，即“兩頭湊”，做到這些，遇到新題就不會(huì)束手無策了。