基于Logistic混沌Bernoulli測(cè)量矩陣的壓縮感知研究

孫中廷

摘要：壓縮感知中測(cè)量矩陣是數(shù)據(jù)采樣和信號(hào)重構(gòu)的關(guān)鍵，傳統(tǒng)測(cè)量矩陣存在重構(gòu)計(jì)算復(fù)雜度高、內(nèi)存耗用大和隨機(jī)不可控等問題。利用Logistic混沌序列優(yōu)良的隨機(jī)特性，對(duì)Bernoulli測(cè)量矩陣進(jìn)行改進(jìn)，提出一種復(fù)雜度較低的混沌Bernoulli測(cè)量矩陣。首先通過Logistic混沌系統(tǒng)產(chǎn)生混沌序列，然后運(yùn)用符號(hào)函數(shù)進(jìn)行映射生成Bernoulli分布的隨機(jī)序列，最后將其構(gòu)造為測(cè)量矩陣并在一維信號(hào)和二維圖像的采樣、重構(gòu)中應(yīng)用。仿真結(jié)果表明，基于Logistic混沌Bernoulli測(cè)量矩陣在大幅降低存儲(chǔ)容量與計(jì)算復(fù)雜度的情況下，提高了精確性與魯棒性。

關(guān)鍵詞：壓縮感知;測(cè)量矩陣;混沌序列;Logistic系統(tǒng);稀疏采樣

中圖分類號(hào)：TP305? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2019）27-0250-03

Abstract： Based on the traditional measurement matrix are the shortcoming of poor stability， this paper uses stochastic properties of chaotic sequences of the Logistic is excellent， the Bernoulli measurement matrix is improved， presents a very low complexity of chaotic Bernoulli measurement matrix. Chaotic sequence is generated by Logistic chaotic system， then use the sign function of stochastic matrix mapping to generate the Bernoulli distribution， the sequence is used to construct the measurement matrix. The one-dimensional signal and two-dimensional image reconstruction results show that one-dimensional signal and image reconstruction for signal-to-noise ratio based on the chaotic Bernoulli measurement matrix are better than Bernoulli matrix and Gaussion matrix， which proves the reliability and effectiveness of the algorithm.

Key words： Compressed Sensing; Measurement Matrix; Chaotic Sequence; Logistic System; Sparse Sampling

在采樣理論的研究中，壓縮感知受到越來越多的關(guān)注，該理論是由[Donoho][1]和[Cande][2]等人率先提出的，它突破原采樣理論中采樣頻率的理解，將信息的壓縮處理與靈敏據(jù)采集處理同時(shí)進(jìn)行，這樣采集信息的數(shù)量會(huì)有極大減少，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)空間和時(shí)間的節(jié)省。

LeiYu[3]對(duì)從計(jì)算時(shí)間的角度分析混沌序列并構(gòu)建測(cè)量矩陣，通過多角度對(duì)比，證明該矩陣滿足有限等距性并對(duì)該矩陣的可行性進(jìn)行了驗(yàn)證。顧國(guó)生等人[4]利用符號(hào)混沌系統(tǒng)的偽隨機(jī)序列對(duì)壓縮感知的測(cè)量矩陣進(jìn)行構(gòu)建，通過實(shí)驗(yàn)，證明該方法的可行性和有效性。但以上兩種方法均具有復(fù)雜度偏高和計(jì)算量過大的缺點(diǎn)。將兩種異同隨機(jī)矩陣應(yīng)用于一維與二維兩種不同的信息中進(jìn)行仿真比對(duì)，實(shí)驗(yàn)證明，此種測(cè)量矩陣對(duì)執(zhí)行效率和魯棒性有明顯提高。

1 壓縮感知

假設(shè)一維信號(hào)[X∈RN×1]，[X]可通過一組[N×N]正交基[ψ={ψ1，ψ2，...，ψN}]進(jìn)行表達(dá)，其表達(dá)式如公式（1）所示[5-6]：

公式（1）中，[θk=]，[X，θ]均為[N×1]維向量。當(dāng)信號(hào)[X]在某個(gè)正交基[ψ]上有[K<

信息[X]通過在測(cè)量矩陣[?]映射得到結(jié)果的[Y]可以用（2）式表示：

由公式（1）（2）可得：

在重構(gòu)信號(hào)的過程中，如果測(cè)量矩陣選取不當(dāng)會(huì)現(xiàn)出“病態(tài)”問題。可以轉(zhuǎn)化成求解[l0]范數(shù)最小化來解決[7]，如式（4）所示：

為了求解公式（4），研究學(xué)者提出了很多計(jì)算方法，比較經(jīng)典的有正交匹配追蹤法、迭代硬閾值法法、公段正交匹配追蹤法、基追蹤法等。

2 基于混沌矩陣的[Bernoulli]測(cè)量矩陣的構(gòu)造

混沌現(xiàn)象廣泛地存在于非線性系統(tǒng)之中，其是一種非周期性運(yùn)動(dòng)形式。由于混沌系統(tǒng)所產(chǎn)生的序列具有良好的偽隨機(jī)性質(zhì)，所以混沌序列被廣泛地應(yīng)用于信號(hào)處理、非線性控制以及圖像加密等相關(guān)領(lǐng)域。

已知[Logistic]混沌系統(tǒng)的表達(dá)式如公式（5）所示[8]：

公式（5）中，[xn∈[-1，1]]，[μ∈[1.872，2.0]]，當(dāng)公式（5）的初始值[x0=0.23，0.37或0.7]時(shí)，生成混沌序列。

運(yùn)用[Logistic]混沌序列[xn]，運(yùn)用公式（6）將其轉(zhuǎn)換為一種新型映射序列[an]。

通過參考文獻(xiàn)[9]得出，當(dāng)[μ=2.0]時(shí)，利用[Logistic]混沌系統(tǒng)生成的混沌序列[xn]符合[Bernoulli]分布，并且滿足有限等距性，因此將選取[an]當(dāng)作測(cè)量矩陣。

混沌矩陣的[Bernoulli]測(cè)量矩陣的構(gòu)造步驟如下：

（1）運(yùn)用公式（5）生成混沌序列[xn]，[xn]的長(zhǎng)度是[n=M×N-1]。通過不斷實(shí)驗(yàn)得出，當(dāng)[μ=2.0]時(shí)，初始值[x0=0.23，0.37或0.7]時(shí)，重構(gòu)的誤差分別為[0.098，0.083，0.090，]為此，本文進(jìn)行初始操作為[x0=0.37]，[μ=2.0]。

（2）將步驟（1）生成的[Logistic]混沌序列運(yùn)用公式（6）進(jìn)行符號(hào)函數(shù)映射，構(gòu)建序列[an]。

（3）選取截?cái)嚅L(zhǎng)[N]，對(duì)映射序列[an]進(jìn)行截?cái)嗖僮?，?gòu)造[M×N]的矩陣[?]作為測(cè)量矩陣。

參考文獻(xiàn)[5]的算法有一定的優(yōu)點(diǎn)，但算法復(fù)雜度較高，遠(yuǎn)超過[ο（N2）]，為此本文提出了改進(jìn)的算法，通過實(shí)驗(yàn)得出其復(fù)雜度為[ο（M×N）（M<

由[Logistic_Bernoulli]和[Bernoulli]隨機(jī)序列對(duì)比圖和直方圖對(duì)比圖得出，[Logistic_Bernoulli]隨機(jī)序列中[1和-1]的數(shù)量相近，比值均與1相距很小，這表示[Logistic_Bernoulli]隨機(jī)序列有較好的魯棒性和平均性，優(yōu)于原始的[Bernoulli]隨機(jī)序列。

3 運(yùn)用正交匹配追蹤算法及[Logistic_Bernoulli]測(cè)量矩陣對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)

3.1正交匹配追蹤算法

正交匹配追蹤算法算法是運(yùn)用Gram-Schmidt正交化方法對(duì)所選原子進(jìn)行正交處理，通過正交化之后，將信號(hào)投影在正交原子的空間中，得到信號(hào)在原子投影空間中的信號(hào)分量和信號(hào)余量，然后運(yùn)用相同的方法繼續(xù)分解信號(hào)余量。在信號(hào)分解過程中，原子的選定都要符合相應(yīng)的條件，因此信號(hào)余量在分解的過程中迅速減小。通過遞歸方法實(shí)現(xiàn)原子集合的正交化處理不僅保證了最優(yōu)的迭代性，同時(shí)實(shí)現(xiàn)迭代次數(shù)的最小化。

匹配追蹤相關(guān)算法的系數(shù)[u]，大多使用信號(hào)余量[r]和感知矩陣[Φ]，通過計(jì)算各個(gè)原子之間內(nèi)積的絕對(duì)值獲得[11-12]：

同時(shí)運(yùn)用最小二乘法實(shí)現(xiàn)信號(hào)逼近和余量更新：

基于[Logistic_Bernoulli]測(cè)量矩陣的OMP算法的算法流程如下：

輸入：維度大小為[M×N]的[Logistic_Bernoulli]測(cè)量矩陣[?]

輸出：信號(hào)[X]的[K]稀疏的逼近[X]

Step1：初始余量[r0=Y]，迭代次數(shù)[n=1]，索引值集合[Λ=?]，[J=?];

Step2：計(jì)算相關(guān)系數(shù)[u] ，并將[u]中最大值對(duì)應(yīng)的索引值存入[J]中;

Step3：更新[ΦΛ]，其中[Λ=Λ?J0];

Step4：運(yùn)用最小二乘法計(jì)算得到[X]，同時(shí)運(yùn)用式（9）對(duì)余量進(jìn)行更新;

Step5：若[rnew-r≥ε2]，令[r=rnew]，[n=n+1]，轉(zhuǎn)步驟Step2;否則，停止迭代。

3.2 評(píng)價(jià)指標(biāo)

假設(shè)原始信號(hào)為[X]，重構(gòu)信號(hào)為[X]，以信噪比、重構(gòu)誤差以及匹配度三個(gè)指標(biāo)來評(píng)價(jià)壓縮感知重構(gòu)的效果。

信噪比：[PSNR=10lg|X|2|X-X|2]? ? ? ? ?（10）

重構(gòu)誤差：[MSE=X-X2X2]? ? ? ? ? ? ?（11）

匹配度：[α=1-X2-X2X2+X2]? ? ? ? ? ? ? （12）

二維圖像的信噪比：

[PSNR=10lg255×255×W×H（I-I）2]? ? ? ? ? ? ? ?（13）

其中，[W，H]分別表示圖像的寬度和高度，[I，I]分別表示原始圖像和重構(gòu)圖像。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為了對(duì)相關(guān)算法有效性和魯棒性進(jìn)行驗(yàn)證，本文以兩個(gè)仿真實(shí)例為研究對(duì)象，研究本文算法對(duì)一維信號(hào)和二維圖像進(jìn)行壓縮感知重構(gòu)的效果。

4.1 一維信號(hào)重構(gòu)

假設(shè)原始信號(hào)[x（t）=3cos（2*pi*f*Ts*ts）]，信號(hào)頻率[f=50Hz]，采樣頻率[fs=800Hz]，采樣間隔[ts=1/fs]，采樣序列長(zhǎng)度[TS]，文中采樣序列長(zhǎng)度[TS=256]，測(cè)量數(shù)[M=64]，稀疏度[K=7]，原始信號(hào)波形圖如圖2所示：

由圖2基于[Logistic_Bernoulli]測(cè)量矩陣一維信號(hào)重構(gòu)結(jié)果圖可知，本文算法幾乎完全實(shí)現(xiàn)原始信號(hào)的重構(gòu)，重構(gòu)效果很好，其與不同測(cè)量矩陣的對(duì)比結(jié)果如表1所示。

由表1可知，基于[Logistic_Bernoulli]測(cè)量矩陣的信號(hào)重構(gòu)，其信噪比[PSNR]可以得到3分貝的提高，與此同時(shí)其匹配度和重構(gòu)誤差都有一定程度的提高和降低，實(shí)驗(yàn)表明本算法能夠較大幅度提高有效性。

5 結(jié)論

針對(duì)傳統(tǒng)測(cè)量矩陣具有隨機(jī)性和平均性差的缺點(diǎn)，將[Logistic]混沌序列引入壓縮感知理論，構(gòu)造出新的[Logistic_Bernoulli]測(cè)量矩陣并將其應(yīng)用于壓縮感知代替?zhèn)鹘y(tǒng)的測(cè)量矩陣，構(gòu)造出基于[Logistic_Bernoulli]測(cè)量矩陣的OMP信號(hào)重構(gòu)算法。一維信號(hào)和二維圖像重構(gòu)結(jié)果表明，基于[Logistic_Bernoulli]測(cè)量矩陣一維信號(hào)和圖像重構(gòu)的信噪比優(yōu)于[Bernoulli]矩陣和[Gaussion]矩陣，進(jìn)而可以驗(yàn)證本文算法的魯棒性和有效性。

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