閾值自適應(yīng)選取的小波包降噪研究

摘?要：基于信號(hào)和噪聲的不同特征，提出一種閾值自適應(yīng)選取的小波包降噪方法。該方法首先對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波包變換，利用噪聲剩余率確定分解層數(shù)，采用對(duì)數(shù)能量熵選擇最優(yōu)基，然后采用閾值自適應(yīng)選取的方法對(duì)高頻系數(shù)進(jìn)行分析。利用該方法進(jìn)行降噪，不僅能夠提高系統(tǒng)的信噪比，而且能夠降低系統(tǒng)的重構(gòu)誤差。

關(guān)鍵詞：小波包變換;閾值自適應(yīng)選取;信號(hào)降噪

實(shí)際中的測(cè)量信號(hào)，不可避免的含有一定的噪聲。噪聲的幅值和頻率達(dá)到一定程度，就有可能會(huì)淹沒(méi)有用信號(hào)，使得后續(xù)的研究無(wú)法進(jìn)行。因此，對(duì)實(shí)際觀測(cè)的信號(hào)進(jìn)行有效的降噪具有重要的實(shí)際意義。[1?3]

在時(shí)頻域，小波多分辨率分析具有良好地表征信號(hào)局部特征的能力，但其只對(duì)信號(hào)的低頻系數(shù)進(jìn)行分解，高頻段的頻率分辨率較差，降噪效果不理想。小波包變換是小波變換的進(jìn)一步擴(kuò)展，不僅能對(duì)高頻系數(shù)進(jìn)一步分解，而且能根據(jù)信號(hào)特征自適應(yīng)選擇頻段，因此在信號(hào)降噪領(lǐng)域獲得了廣泛地應(yīng)用。在小波包信號(hào)降噪的過(guò)程中，分解層數(shù)、最優(yōu)基及閾值的確定比較關(guān)鍵，本文根據(jù)信號(hào)和噪聲的不同表現(xiàn)特征，分別給出了對(duì)應(yīng)的計(jì)算公式和選擇規(guī)則，具有一定的實(shí)用性能。

1 小波包變換原理

假設(shè)用u0（t）=φ（t）表示正交小波函數(shù)，u1（t）=ψ（t）表示尺度函數(shù)，那么其關(guān)系可用雙尺度方程表示，如下公式：

u?2n?（t）=2∑k∈Z?hkun（2t-k）

u?2n+1?（t）=2∑k∈Z?gkun（2t-k）（1）

其中，hk，gk表示正交小波多分辨分析的濾波器系數(shù)。式（1）所定義的函數(shù)集合un（t），n=0，1，2，......即為u0（t）所確定的小波包。

小波包分解是小波分析的進(jìn)一步擴(kuò)展，可以對(duì)高頻部分精細(xì)劃分，從而提高信號(hào)的時(shí)頻分辨率，對(duì)信號(hào)的時(shí)頻特征進(jìn)行有效的顯示。

假設(shè)實(shí)際觀測(cè)的信號(hào)為：

f（t）=s（t）+η（t）（2）

其中，s（t）為原始信號(hào)，η（t）為高斯白噪聲。

令P10=f（t），那么經(jīng)過(guò)小波包分解變換后的近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)可以表示為：

近似系數(shù)：p?2i-1?j（t）=Hpi?j-1?（t）

細(xì)節(jié)系數(shù)：p?2i?j（t）=Gpi?j-1?（t）（3）

其中，H和G分別表示低通濾波器和高通濾波器，pij表示第j層小波包分解得到的第i個(gè)小波包。

小波包分解能夠?yàn)樾盘?hào)分析提供更詳細(xì)的信息，若要得到某一層的小波信號(hào)，需要對(duì)小波包進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)公式如下：

pij（t）=H*p?2i-1j+1?（t）+G*p?2ij+1?（t）（4）

其中，H*和G*分別為H和G對(duì)偶算子。

通過(guò)以上分析可以看出，小波包分解能夠保留信號(hào)不同頻率段的成分，并對(duì)高頻信號(hào)進(jìn)一步分解，在提高高頻部分頻域分辨率的同時(shí)，保證了信息的完整。

2 閾值自適應(yīng)選取的小波包信號(hào)降噪

小波包能夠?qū)ψ儞Q后每一層的低頻和高頻部分進(jìn)行細(xì)分，局部刻畫(huà)能力更加精確，因此可以對(duì)觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行有效的降噪。利用小波包分析對(duì)信號(hào)進(jìn)行降噪，可以分為四步：

Step1：選擇正交小波包，對(duì)觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行 J層分解。

Step2：基于給定的熵標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算最佳樹(shù)。

Step3：選擇合適的閾值對(duì)每一層的小波分解系數(shù)進(jìn)行量化。

Step4：根據(jù)小波包分解近似系數(shù)和閾值量化分析后的高頻系數(shù)重構(gòu)降噪信號(hào)。

在以上降噪過(guò)程中，小波分解層數(shù)的確定、小波基的選擇、閾值函數(shù)的選取都能不同程度的影響降噪效果。針對(duì)每一個(gè)環(huán)節(jié)，本文進(jìn)行了具體的分析。

首先，根據(jù)小波包變換后各個(gè)分解層重構(gòu)近似信號(hào)的噪聲剩余率確定最佳分解層數(shù)。

設(shè)第j層小波包分解近似信號(hào)為p0j，j=1，2，3，……，J，各層分解近似信號(hào)的平均值為AvgP=∑p0j/J，那么各個(gè)分解層的噪聲剩余率可以表示為：

ηj=p0j-AvgPf-Avgp×100%（5）

通過(guò)分析，當(dāng)噪聲剩余率最小時(shí)，分解層數(shù)達(dá)到最佳，降噪效果最好。

其次，最優(yōu)小波包基的選擇。最優(yōu)小波包基能夠利用少量的數(shù)據(jù)表征盡可能多的信息，一般通過(guò)定義使得相應(yīng)的信息代價(jià)函數(shù)最小進(jìn)行選擇。由于信號(hào)和噪聲的能量差別較大，本文以對(duì)數(shù)能量熵作為代價(jià)函數(shù)，其定義如下：

E（pi?jk?）=log（pi?jk?）?2（6）

其中，E（0）=0，E（pij）=∑pij。熵值反映了狀態(tài)的均勻程度，值越小，狀態(tài)越不均勻。最優(yōu)基的選擇能夠保證信息損失最少。

在小波包降噪的過(guò)程中，最重要的環(huán)節(jié)是閾值的選取和量化。如果采用同一閾值對(duì)系數(shù)進(jìn)行選取，當(dāng)分解層數(shù)較小時(shí)，包含的噪聲較多，當(dāng)分解層數(shù)較大時(shí)，會(huì)將有用的低頻信息去掉。為了克服上述弊端，本文采用閾值自適應(yīng)選取的方法對(duì)各個(gè)分解層的高頻細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)行分析。自適應(yīng)閾值選取公式如下：

wj=σj2log（N）/j（7）

其中，N為信號(hào)的長(zhǎng)度，σj為信號(hào)在各個(gè)尺度上的方差。

觀測(cè)信號(hào)經(jīng)過(guò)小波包變換后，高頻系數(shù)的能量隨著分解層數(shù)的增加逐漸減小，和自適應(yīng)選取的閾值變化趨勢(shì)相同，因此自適應(yīng)選取的閾值能夠很好的對(duì)高頻系數(shù)中的有用信息進(jìn)行提取，在保證信息完整的同時(shí)，提高降噪的性能。

3 結(jié)論

為了提高實(shí)際觀測(cè)信號(hào)的降噪效果，本文提出了一種基于小波包的信號(hào)降噪方法。該方法以信號(hào)和噪聲不同表現(xiàn)特征為依據(jù)，對(duì)小波包的降噪過(guò)程進(jìn)行了具體的分析，不僅給出了最佳分解層數(shù)和最優(yōu)小波包基的選擇方法，而且給出了自適應(yīng)閾值選取的改進(jìn)公式。該方法具有一定的實(shí)用性，能夠?qū)?shí)際觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行有效的降噪。

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