一類具有常數(shù)輸入和馬氏轉(zhuǎn)換的SIQRS模型

趙曉靜, 張 龍, 張德婷

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 新疆 烏魯木齊 830046)

0 引言及模型建立

近年來(lái),傳染病動(dòng)力學(xué)發(fā)展迅速,人們建立了大量的流行病模型,如SIS、SIRS、 SIER和SIQR等,并取得了很多重要結(jié)果[1].在傳染病模型中,發(fā)病率函數(shù)對(duì)于環(huán)境波動(dòng)的影響最為敏感,因此它扮演著1個(gè)關(guān)鍵性的角色,確保模型能合理地描述疾病流行的動(dòng)態(tài)[2].一般地,都假設(shè)疾病傳播的發(fā)生率為雙線型,即βSI，如文獻(xiàn)[3]建立了具有隔離項(xiàng)和雙線性疾病發(fā)生率的SIQR模型

(1)

但事實(shí)上,1個(gè)人的傳染力是有限的,所以考慮飽和發(fā)生率更符合實(shí)際,也更有意義.此外,上述模型并沒有考慮外界環(huán)境的隨機(jī)影響.在實(shí)際生活中,疾病所處的環(huán)境因素并不是一成不變的,不同環(huán)境中疾病的表現(xiàn)也不同.比如說(shuō),在比較潮濕的紫外線較低的環(huán)境中,疾病的存活性和傳染性更強(qiáng),而在紫外線較高的干燥環(huán)境中,存活性和傳染性較差[4-6].種群的增長(zhǎng)率和環(huán)境的容納量會(huì)隨食物資源的豐度變化而有所不同,因?yàn)槭澄镔Y源的豐度在很大程度上依賴于不可預(yù)知的降水等問(wèn)題[7],因此,很多研究學(xué)家開始關(guān)注這一現(xiàn)象.Gray等[8]首先提出用帶有馬氏轉(zhuǎn)換的傳染病模型來(lái)進(jìn)行刻畫,并得到了一些很好的結(jié)論.關(guān)于馬爾克夫轉(zhuǎn)換的傳染病模型,Li等[9]已經(jīng)做出了很好的總結(jié).國(guó)內(nèi)外學(xué)者雖然對(duì)隨機(jī)傳染病模型的研究有了一定的成就,但對(duì)于帶有馬氏轉(zhuǎn)換的SIQRS模型研究卻較少.因此研究帶有馬氏轉(zhuǎn)換且疾病發(fā)生率為飽和的SIQRS傳染病模型是很有實(shí)際意義的.

由此,建立了SIQRS傳染病模型

(2)

其中,S(t)代表易感者類,I(t)代表普通染病者類,Q(t)代表染病隔離者類,R(t)代表移除者類,總?cè)丝跀?shù)為N(t)=S(t)+I(t)+Q(t)+R(t).Λ代表新增易感者人數(shù),μ代表人均自然死亡率系數(shù),α代表因病死亡率系數(shù),δ代表隔離率系數(shù),γ和ε代表普通染病者和染病隔離者的恢復(fù)率系數(shù),λ表示免疫消失率系數(shù).疾病傳播率系數(shù)β由時(shí)齊馬氏鏈{r(t),t≥0}表示,r(t)在有限的狀態(tài)空間Μ={1,2,…,E}中取值,表示不同的環(huán)境.

1 預(yù)備知識(shí)

在本文中,做如下假設(shè):

(H)g(x)在[0,Λ/μ]滿足Lipschitz性質(zhì),即存在常數(shù)θ>0,使得對(duì)任意x1,x2∈[0,Λ/μ],滿足

|g(x1)-g(x2)|≤θ|x1-x2|,

為研究系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué),需要引入下面的引理.

引理 1若x*∈R4是系統(tǒng)

的1個(gè)全局漸進(jìn)穩(wěn)定的平衡點(diǎn),則對(duì)x*的任意鄰域U和任意緊集C?R4,存在T>0,使得對(duì)所有t≥T和x0∈C有x(t,x0)∈U成立.

2 主要結(jié)果

下證此解具有全局性,則只需證明τe=∞a.s.,令k0≥1充分大使得S(0),I(0),Q(0),R(0)∈[1/k0,k0].記inf ?=∞(?代表空集).對(duì)任意k≥k0,定義停時(shí)

τk={t∈[0,τe) :min{S(t),I(t),Q(t),R(t)}≤

Ρ{τ∞≤T}>ε.

故存在整數(shù)k1≥k0,使得

Ρ{τk≤T}≥ε,k≥k1.

(3)

(I-1-lnI)+(Q-1-lnQ)+(R-1-lnR).

Λ-μ(S+I+Q+R)+4μ+

其中K為正常數(shù),且與S、I、Q、R、e無(wú)關(guān),因此有

(4)

對(duì)(4)式從0到τk∧T積分并取期望得

(5)

則有

其中,IΩk表示Ωk的示性函數(shù).令k→∞,則有

矛盾,所以τ∞=∞ a.s..故τe=∞ a.s..

令N=S+I+Q+R,則

(μ+γ+δ+α)I+δI-(μ+η+α)Q+γI+ηQ-

(μ+λ)R=Λ-μ(S+I+Q+R)-α(I+Q),

所以

由常數(shù)變易公式計(jì)算得

命題 3對(duì)R0值的以下替代條件成立:

由于這個(gè)定理的證明可以直接得出,故這里省略.

(6)

(7)

(8)

(9)

證明第一步,證明(7)式成立.由系統(tǒng)(2)的第二個(gè)方程知

則

由命題3的(i)知

故

即(7)式成立.

第二步,證明(8)式成立.

由比較原理知

第三步,證明(9)式成立.

由比較原理知

同理第二步可得

即(9)式成立.

第四步,證明(6)式成立.

令N(t)=S(t)+I(t)+Q(t)+R(t),由系統(tǒng)(2)可知

解得

所以

由ε3的任意性知

另一方面,由引理2知

所以

故得

證明由系統(tǒng)(2)的第二個(gè)方程知

則

對(duì)上式兩邊積分得

(10)

又因?yàn)?/p>

所以

將上式代入到(10)式得

由系統(tǒng)的第一個(gè)方程知

對(duì)上述不等式兩邊積分得

故

(12)

將(12)式代入到(11)式得

所以

證畢.

推論 6對(duì)任意初值(Z0,r(0))∈X,系統(tǒng)的解(S(t),I(t),Q(t),R(t)),滿足:

(i) 若R0<1,則系統(tǒng)(2)的染病者的數(shù)目將幾乎確定指數(shù)收斂于0的概率為1;

(ii) 若R0>1,則疾病幾乎確定持久.

3 數(shù)值模擬

在本節(jié)中，對(duì)系統(tǒng)(2)進(jìn)行數(shù)值模擬，令M={1,2},Λ=1.3,μ=0.046,λ=0.027,a=0.001 3,γ=0.004 6,δ=0.452 0,α=0.003 5,η=0.008,且這些參數(shù)保持不變.為方便對(duì)比,設(shè)S(0)、I(0)、Q(0)和R(0)在狀態(tài)1和狀態(tài)2的初始值相同,即S(0)=40,I(0)=10,Q(0)=5,R(0)=5.在狀態(tài)1,β1=0.038,相對(duì)應(yīng)的基本再生數(shù)R1=2.122 0>1,此時(shí),S(t)、I(t)、Q(t)和R(t)隨時(shí)間t的變化如圖1所示,疾病持久.在狀態(tài)2,β2=0.012,相對(duì)應(yīng)的基本再生數(shù)R2=0.670 1<1,此時(shí),S(t)、I(t)、Q(t)和R(t)隨時(shí)間t的變化如圖2所示,疾病消失.

圖 1 S(t)、I(t)、Q(t)和R(t)在β1=0.038時(shí)的時(shí)間序列圖

圖 2S(t)、I(t)、Q(t)和R(t)在β2=0.012時(shí)的時(shí)間序列圖

Fig.2ThetimeseriesdiagramofS(t),I(t),Q(t),R(t)atβ2=0.012

若取Π=(π1,π2)=(0.5,0.5),對(duì)應(yīng)的R0=1.396 1>1,S(t),I(t),Q(t),R(t)在狀態(tài)1和狀態(tài)2之間隨時(shí)間t的變化如圖3所示,疾病隨機(jī)持久.若取Π=(π1,π2)=(0.2,0.8),則對(duì)應(yīng)的R0=0.960 5<1,S(t),I(t),Q(t),R(t)在狀態(tài)1和狀態(tài)2之間隨時(shí)間t的變化如圖4所示,疾病隨機(jī)消除.

圖 3 S(t)、I(t)、Q(t)和R(t)在β1=0.038和β2=0.012之間隨機(jī)切換下的時(shí)間序列圖

圖 4 S(t)、I(t)、Q(t)和R(t)在β1=0.038和β2=0.012之間隨機(jī)切換下的時(shí)間序列圖

致謝新疆大學(xué)博士科研啟動(dòng)基金(BS160204)、新疆大學(xué)博士創(chuàng)新項(xiàng)目(XJUBSCX-2017005) 和自治區(qū)普通高等學(xué)?？蒲杏?jì)劃項(xiàng)目(XJEDU2017T001)對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.