一類二階微分方程的幾個振動準則

覃桂茳, 冀占江*, 盧振坤

(1. 梧州學院 信息與電子工程學院, 廣西 梧州 543002; 2. 梧州學院 廣西高校圖像處理與智能信息系統(tǒng)重點實驗室, 廣西 梧州 543002;3. 廣西民族大學 信息科學與工程學院, 廣西 南寧 530006)

1 預備知識

近來,中立型泛函方程的振動性引起了國內(nèi)外學者的極大興趣和廣泛關(guān)注[1-17].筆者研究具有擬線性中立項的二階微分方程

{a(t)|[x(t)+p(t)xα(τ(t))]′|β-1[x(t)+

p(t)xα(τ(t))]′}′+q(t)f(|x(δ(t))|γ-1x(δ(t)))=

0,t≥t0

(1)

的振動性.為了敘述的方便，做如下假設(shè):

(A1) 實常數(shù)0<α≤1為2個正奇數(shù)的商,而β>0和γ>0為任意實常數(shù)；函數(shù)a∈C1([t0,+),(0,+))且a-1/ β(t)dt=+；p,q∈C([t0,+),R)且0≤p(t)<1，q(t)>0.

(A2)τ,δ:[t0,+)→(0,+)為時滯函數(shù),并且滿足：τ(t)≤t且；且δ′(t)>0.

(A3)f∈C(R,R),且當u≠0時，uf(u)>0,f(u)/u≤L,其中L>0為常數(shù).

關(guān)于方程(1)的解及其振動性的定義,可參見文獻[1-14].對于方程(1)的特殊情形的振動性,最近出現(xiàn)了一些研究成果.如文獻[10]研究了一類二階廣義的Emden-Fowler型微分方程(即方程(1)在α=1且f(u)=u時的特殊情形)振動性,得到了相應方程振動的若干充分條件，其中1個主要定理為定理A.

則方程

{a(t)|z′(t)|β-1z′(t)}′+

q(t)|x(δ(t))|γ-1x(δ(t))=0,t≥t0

是振動的,其中k>0為常數(shù),函數(shù)Q(t)=q(t)[1-p(δ(t))]γ,z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t)).

這是文獻[10]中的定理2.2,也是其主要結(jié)果,由此定理及其證明的基本思路就可以得到該方程的各種類型的振動準則.但注意到,文獻[10]定理A中的條件“a′(t)≥0”是較為嚴格的,而且當β<γ時,作者沒有得到方程(3)的振動性判別準則.

對具有非線性中立項的情形,最近,文獻[11]研究了方程(1)當γ=1時的振動性,得到如下結(jié)果.

定理 B[11]設(shè)條件(A2) 成立,β>0為2個正奇數(shù)的商,如果存在函數(shù)φ∈C1([t0,+),(0,+)),使得當0<β≤1時有

當β>1時有

{a(t)[(x(t)+p(t)xα(τ(t)))′]β}′+

q(t)f(x(δ(t)))=0,t≥t0

(2)

是振動的.

2 方程振動的判別定理

引理 1設(shè)X、Y為非負實數(shù)，則當0<λ≤1時,Xλ+Yλ≤21- λ(X+Y)λ.

證明由函數(shù)f(x)=xλ(0<λ≤1)的凹凸性容易得到.

下面的引理2～4是眾所周知的，故略去其證明.

引理 2(Bernoulli不等式) 對任意實數(shù)x>-1，當0≤r≤1時，(1+x)r≤1+rx，當r≤0或r≥1時，(1+x)r≥1+rx.

令

z(t):=x(t)+p(t)xα(τ(t)),

定理 1設(shè)(A1)～(A3)成立，若存在函數(shù)φ∈C1([t0,+),(0,+))及常數(shù)ω≥0，使得

(3)

Q(t)=

函數(shù)

而t2≥t0，k>0及m>0都是常數(shù)，則方程(1)是振動的.

證明反證法.設(shè)方程(1)存在一個非振動解x(t).首先，若x(t)最終為正，則?t1≥t0，使得當t≥t1時，x(t)>0，x(τ(t))>0，x(δ(t))>0.方程(1)中p(t)>0，可得z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t))≥x(t)>0(t≥t1)，且利用(A3)條件，則有

[a(t)|z′(t)|β-1z′(t)]′≤

-Lq(t)xγ(δ(t))<0,

(4)

利用條件(A1)，由(4)式容易得到

z′(t)>0,t≥t1.

利用條件(A2)以及[a(t)(z′(t))β]′≤0,得

a(t)(z′(t))β≤a(δ(t))(z′(δ(t)))β,

(5)

分別利用引理1及引理2可得

x(t)=z(t)-p(t)xα(τ(t))=

z(t)-p(t)[1+xα(τ(t))]+p(t)≥

z(t)-21-αp(t)[1+x(τ(t))]α+p(t)≥

z(t)-21-αp(t)[1+αx(τ(t))]+p(t)=

z(t)-21-ααp(t)x(τ(t))+(1-21-α)p(t)≥

z(t)-21-ααp(t)z(τ(t))+(1-21-α)p(t)≥

(1-21-ααp(t))z(t)-(21-α-1)p(t).

(6)

定義函數(shù)w(t)為：

(7)

則w(t)>0(t≥t1).利用(4)～(6)式，由(7)式可推得

(8)

由于z(t)>0,z′(t)>0(t≥t1)，所以

z(δ(t))≥z(δ(t1))=k,t≥t1,

(9)

其中常數(shù)k>0.于是，利用(7)、(9)式和函數(shù)Q(t)的定義，由(8)式可得

(10)

(i) 若β=γ，則z(γ-β)/β(δ(t))=1.

(ii) 若β<γ，則由(9)式知

z(γ-β)/β(δ(t))≥k(γ-β)/β.

于是存在常數(shù)m>0，當t2≥t1充分大時，有

即z(γ-β)/β(δ(t))≥[mΘ(δ(t))](γ-β)/β.綜上所述，并注意到函數(shù)θ(t)的定義，由(9)式得

(11)

現(xiàn)將(10)式中的t改成s，兩邊同乘以hω(t,s)，再從t2到t(t≥t2)積分得

(12)

為消去w(s)，分別取

利用引理3得

經(jīng)整理得

將上式代入(12)式得

從而得到

hω(t,t2)w(t2)≤hω(t,t0)w(t2),

進而有

(13)

這與(3)式矛盾.

其次，若x(t)為方程(1)的最終負解，則令y(t)=-x(t)，于是方程(1)就化為

{a(t)|[y(t)+p(t)yα(τ(t))]′|β-1[y(t)+

p(t)yα(τ(t))]′}′+

q(t)f*(|y(δ(t))|γ-1y(δ(t)))=0,

t≥t0，

(14)

其中f*(u)=-f(-u)，顯然f*(u)與f(u)具有相同性質(zhì)，由于y(t)為方程(14)的最終正解，同理可得到與(3)式矛盾.定理證畢.

推論 1設(shè)(A1)～(A3)成立，若存在函數(shù)φ∈C1([t0,+),(0,+))，使得

其中常數(shù)t2、k、m及函數(shù)Q(t)和θ(t)的定義都如定理1，則方程(1)是振動的.

證明在定理1中取ω=0即得.

推論 2設(shè)(A1)～(A3)成立，如果

其中常數(shù)t2、k、m及函數(shù)Q(t)和θ(t)的定義都如定理1，則方程(1)是振動的.

證明在定理1中取v(t)=1即得.

推論 3設(shè)(A1)～(A3)成立，如果

其中常數(shù)t2、k、m及函數(shù)Q(t)和θ(t)的定義都如定理1，則方程(1)是振動的.

推論 4設(shè)(A1)～(A3)成立，如果

則方程

[a(t)|x′(t)|β-1x′(t)]′+

q(t)|x(δ(t)|β-1x(δ(t)=0,t≥t0(15)

是振動的，其中常數(shù)t2、k、m及函數(shù)Q(t)和θ(t)的定義都如定理1.

證明在方程(1)中令f(t)=t,β=γ且p(t)≡0，并在推論1中取φ(t)=Θβ(δ(t))即得.

若定理1中條件(3)式不成立，則方程(1)的振動準則如下.

定理 2設(shè)(A1)～(A3)成立，若?φ(t)∈C1([t0,+),(0,+))及函數(shù)ζ(t)∈C([t0,+),(0,+))，使得對?u≥t2≥t0有

(16)

(17)

且ζ(t)滿足

(18)

其中函數(shù)Q(t)及θ(t)的定義同定理1，則方程(1)是振動的.

證明證明過程的前面部分同定理1，同樣得到(12)和(13)兩式.首先，根據(jù)(13)式，當t≥u≥t2≥t0時，則有

考慮到(17)式，得到

ζ(u)≤w(u)，

(19)

且有

現(xiàn)將(12)式的移項變形得

利用(20)式可得

其中M0=w(t2)-ζ(t2)是常數(shù)，至此可以斷定：

(21)

于是

故對充分大的正整數(shù)n有

對ε∈(0,1)和充分大的正整數(shù)n，進一步得到

1-ε>0.

(22)

同時，應用引理4中的H?lder不等式獲得

(23)

利用(22)和(23)式可得

這與

矛盾,所以(21)式成立.于是，注意到(19)和(20)式，得

這與(17)式矛盾.定理證畢.

注 1在定理1和定理2中,選取適當?shù)牟煌暮瘮?shù)φ(t)和h(t,s),就可得到含非線性中立項的方程(1)的種種不同的振動準則.

3 應用舉例

給出下面的例子來說明主要結(jié)果.

例 1考慮二階時滯微分方程

所以當λ>1.071 43時,方程(24)是振動的.這說明，當α=1時,本文的結(jié)果要比文獻[7]中的有關(guān)結(jié)論要“精細”得多.

例 2考慮下列微分方程

(25)

根據(jù)推論1，方程(25)是振動的.

注 3因為微分方程(25)是具有非線性中立項的，并且β≠γ，δ(t)<τ(t),所以文獻[1-16]中定理的有關(guān)結(jié)論對方程(25)都不適用.

4 結(jié)論

從研究的結(jié)果可以看出，本文的定理不僅比現(xiàn)有部分參考文獻的結(jié)論做得更精細了，還在定理推廣、改進中豐富了現(xiàn)有文獻中的結(jié)果.

致謝梧州學院校級科研項目(2017C001)對本文給予了資助,謹致謝意.