具冪零鞍點(diǎn)的Hamilton系統(tǒng)的周期環(huán)域的環(huán)性

李慧敏, 張二麗

(鄭州財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息工程學(xué)院, 河南 鄭州 450001)

1 主要結(jié)果

1900年,德國(guó)數(shù)學(xué)家Hilbert在第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出了著名的23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,其中第16個(gè)問(wèn)題的后半部分是:對(duì)于平面n次實(shí)多項(xiàng)式系統(tǒng)

其中Fn(x,y)和Gn(x,y)是n次實(shí)多項(xiàng)式.它可能具有的極限環(huán)個(gè)數(shù)的最小上界是多少?這些極限環(huán)的相對(duì)位置如何?最近幾十年,數(shù)學(xué)工作者對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了廣泛的研究[1-5].1977年,前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Arnold提出:對(duì)平面Hamilton系統(tǒng)的擾動(dòng)系統(tǒng)

(1)

其中,0<|ε|?1,H(x,y)是關(guān)于x和y的m次實(shí)多項(xiàng)式,f(x,y)和g(x,y)是關(guān)于x和y的n次實(shí)多項(xiàng)式.假設(shè)系統(tǒng)(1)的未擾動(dòng)系統(tǒng)(1)ε=0有連續(xù)閉軌線族{Γh},Σ為h的最大存在開(kāi)區(qū)間,即Γh={(x,y)∈R2|H(x,y)=h,h∈Σ}.系統(tǒng)(1)的一階Melnikov函數(shù)為

M(h)=∮Γhg(x,y)dx-f(x,y)dy,

h∈Σ,

(2)

問(wèn)M(h)的孤立零點(diǎn)的最大個(gè)數(shù)是多少(計(jì)重?cái)?shù))?該問(wèn)題稱為弱Hilbert 16問(wèn)題[6].相關(guān)的研究很多,詳見(jiàn)文獻(xiàn)[7-13].由Poincaré-Pontryagin定理[14]可知,當(dāng)M(h)≠0時(shí),系統(tǒng)(1)在未擾動(dòng)系統(tǒng)(1)ε=0的閉軌線族{Γh}形成的緊致區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生的極限環(huán)個(gè)數(shù)(計(jì)重?cái)?shù))不超過(guò)M(h)的孤立零點(diǎn)的最大個(gè)數(shù)(計(jì)重?cái)?shù)).

本文研究Hamilton函數(shù)

2x2y2-x4+y4

(3)

相應(yīng)的向量場(chǎng)

(4)

(5)

圖 1 系統(tǒng)(4)的相圖

定理 1.1對(duì)任意0<|ε|?1和n次實(shí)多項(xiàng)式f(x,y)與g(x,y),當(dāng)n≥5時(shí),擾動(dòng)系統(tǒng)(5)至多存在4n+10個(gè)極限環(huán);當(dāng)n=3,4時(shí),擾動(dòng)系統(tǒng)(5)至多存在9個(gè)極限環(huán);當(dāng)n=1,2時(shí),擾動(dòng)系統(tǒng)(5)不存在極限環(huán).

2 一階Melnikov函數(shù)M(h)和Picard-Fuchs方程

M(h)=α(h)I0,1+β(h)I0,3+

γ(h)I2,1+δ(h)I2,3,

(6)

證明因?yàn)棣關(guān)于x-軸和y-軸對(duì)稱,所以Ii,2j=I2i+1,2j+1≡0.由Green公式可得

所以

其中τij是常數(shù).

對(duì)H(x,y)=h兩端同時(shí)關(guān)于x求導(dǎo)可得

(7)

其中H(x,y)由(3)式定義.(7)式兩端同乘以xi-3yjdx并沿著Γh積分可得

(8)

(3)式兩端同時(shí)乘以xiyj-4dx,并沿著Γh積分可得

(9)

由(8)和(9)式可得

(10)

(11)

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立.當(dāng)n=5,7時(shí),由(10)和(11)式可得

所以當(dāng)n=5時(shí)結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)i+j≤2k-1(k≥3)時(shí)結(jié)論成立.當(dāng)i+j=2k+1(k≥2)時(shí),在(10)式中取(i,j)=(0,2k+1),(1,2k),(2,2k-1),…,(2k-3,4),在(11)式中取(i,j)=(2k-2,3),(2k-1,2),(2k,1)可得

其中

是k+1階方陣.計(jì)算可得detA=2,所以

因此

同理可得

證畢.

引理 2.2記V=(I0,1,I0,3,I2,1,I2,3)T,則V滿足Picard-Fuchs方程

(Bh+C)V′=V,

(13)

其中

證明對(duì)H(x,y)=h兩端同時(shí)關(guān)于h求導(dǎo)可得

其中H(x,y)由(3)式定義,所以

(14)

進(jìn)而可得

(15)

(14)式兩端同乘以h并注意到(3)式可得

(16)

(17)

由(15)～(17)式可得

(18)

在(18)式中分別取(i,j)=(0,1),(0,3),(2,1)和(2,3)可得

注意到(10)和(11)式可得結(jié)論成立.證畢.

引理 2.3令

(19)

則I01、I03、I21和Z滿足

(20)

其中

證明對(duì)(13)式兩端關(guān)于h求導(dǎo)得

(Bh+C)V″=(I-B)V′,

其中I是4×4階單位矩陣.假設(shè)

本文是在南陽(yáng)理工學(xué)院軟件學(xué)院《軟件工程》課程基礎(chǔ)上，實(shí)施OBE工程教育模式的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)?；贠BE教學(xué)模式定義軟件工程課程目標(biāo)，學(xué)生學(xué)習(xí)軟件項(xiàng)目開(kāi)發(fā)過(guò)程，掌握軟件開(kāi)發(fā)的主流方法，了解軟件開(kāi)發(fā)過(guò)程中應(yīng)遵循的原則、標(biāo)準(zhǔn)、規(guī)范和流程，在項(xiàng)目開(kāi)發(fā)過(guò)程中，培養(yǎng)科學(xué)的思維方法，靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，養(yǎng)成良好的編程習(xí)慣，積累軟件項(xiàng)目開(kāi)發(fā)經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生職業(yè)能力培養(yǎng)和職業(yè)綜合素質(zhì)培養(yǎng)起重要支撐作用。

G(h)V″=(Bh+C)*(I-B)V′=

(21)

其中G(h)=det(Bh+C),(Bh+C)*表示矩陣Bh+的伴隨矩陣.由(21)式可得(20)式成立.證畢.

由(3)和(4)式可得

G(h)ω′(h)=-σ12(h)ω2(h)+

(σ42(h)-σ11(h))ω(h)+σ41(h).

(22)

證明由(20)式的第一個(gè)和第四個(gè)方程即可得(22)式成立.引理得證.

3 定理1.1的證明

(i) 由(6)、(13)和(19)式可得

(23)

其中,αs(h)、βs(h)、γs(h)和δs(h)是關(guān)于h的多項(xiàng)式,且滿足:

γ1(h)M′(h)=γ2(h)M(h)+F1(h),

由文獻(xiàn)[15]中引理5.1可得

#{M(h)=0}≤#{γ1(h)=0}+

#{F1(h)=0}+1≤

其中

(24)

其中

(25)

所以

由文獻(xiàn)[9]中引理4.2可得

{#F1(h)=0}≤#{β3(h)=0}+

#{F2(h)=0}+1≤

(26)

其中

由文獻(xiàn)[9]中引理4.4可得

{#R0(h)=0}+{#δ4(h)=0}+1≤

綜合(i)～(iii)可得

#{M(h)=0}≤

再由Poincaré-Pontryagin定理可知,當(dāng)n≥5時(shí),系統(tǒng)(5)至多有4n+10個(gè)極限環(huán).

當(dāng)n=1,2時(shí),M(h)=λ0I01(h),其中λ0是非零常數(shù).因?yàn)?/p>

I01(h)=∮Γhydx=-?Ddxdy≠0,

當(dāng)n=3,4時(shí),M(h)=λ1I01+λ2I03+λ3I21,其中λ1、λ2和λ3是常數(shù).由(19)和(20)式可知

其中

G(h)λ5(h)ν′(h)=-σ12(h)ν2(h)+

λ6(h)ν(h)+λ7(h),

#{M″(h)=0}=#{χ(h)=0}=#{ν=0}≤

#{λ5(h)=0}+#{λ7(h)=0}+1≤8.

又I(0)=0,所以#{M(h)=0}≤9.定理1.1證畢.