交換半環(huán)上矩陣I+XY的正行列式|I+XY|+與負行列式|I+XY|-關系的一個注記

劉一瑾, 吳 莉, 王學平*

(1. 四川師范大學 數學科學學院, 四川 成都 610066; 2. 阿壩師范大學 數學與計算機科學學院, 四川 成都 623002)

行列式在域和環(huán)上線性代數的求解及工程技術中有著極其重要的作用[1-2].半環(huán)上矩陣的行列式也同樣重要,Tan[3-4]在系數矩陣可逆的條件下用行列式給出了一些特殊半環(huán)上求解線性方程惟一解的Cramer法則.由于半環(huán)的元關于加法一般無負元,所以不能像在域和環(huán)上那樣去定義半環(huán)上矩陣的行列式.為此,1972年,Kuntzman[5]在半環(huán)上引入了矩陣的雙行列式的概念.2010年,Perfilieva等[6]用雙行列式給出了矩陣秩的概念,并由此給出了半環(huán)上線性方程有解的一個必要條件.特別地,Wang等[7]和Shu等[8]不但給出了矩陣雙行列式不為零的充要條件,還在系數矩陣的雙行列不為零的條件下給出了求解半環(huán)上線性方程惟一解的Cramer法則.Poplin等[9]就交換半環(huán)上矩陣行列式等式做了詳細的研究,包括Cauchy-Binet和Laplace定理以及矩陣乘積的行列式等式和伴隨矩陣等,并在論文最后提出了開問題:I+XY的正行列式|I+XY|+與負行列式|I+XY|-具有怎樣的關系?本文探討了在交換半環(huán)上矩陣I+XY的正負行列式的展開形式以及其關系,回答了這一問題.

1 預備知識

定義 1.1[10]一個半環(huán)是帶有2個二元運算的代數系統(tǒng)(R,+,·,0,1)且滿足下列條件：

1) (R,+,0)是一個交換幺半群;

2) (R,·,1)是幺半群;

3) ?a,b,c∈L,a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca;

4) ?r∈L,0·r=r·0=0;

5) 0≠1.

如果任意的r,r′∈R,都有r·r′=r′·r,則稱半環(huán)R是交換的.如果任意的a,b∈R,由a+c=b+c可推出a=b,則稱元c是加法可消的.如果R的所有元都是加法可消的,那么稱半環(huán)R是可消的.

其中，Sn為n階對稱群，An為n階交錯群.

引理 1.1[9]設A=[a1,…,an]∈Mn(R)且ak=bk+ck,則

|A|±=|a1,…,ak-1,bk,ak+1,…,an|±+

|a1,…,ak-1,ck,ak+1,…,an|±.

引理 1.2[9]設A∈Mn(R),則

(列q+)|A|+=a1qAπ(q+1)1q+

a2qAπ(q+2)2q+…+anqAπ(q+n)nq,

(列q-)|A|-=a1qAπ(q)1q+

a2qAπ(q+1)2q+…+anqAπ(q+n-1)nq.

引理 1.3[9]若A∈Mm×n(R),B∈Mn×m(R),并且C=AB∈Mm(R),則

|Cα

|Cα

其中γ=(i1,…,ik)(1≤ir≤n,1≤r≤k).

引理 1.4[9]設A,B∈Mn(R),則

|AB|++|A|+|B|-+|A|-|B|+=

|AB|-+|A|+|B|++|A|-|B|-.

2 |I+XY|+與|I+XY|-的關系

本節(jié)主要探討I+XY的正負行列式的展開形式,以及|I+XY|+與|I+XY|-在交換半環(huán)上的關系.

定理 2.1若X∈Mm×n(R),Y∈Mn×m(R),則|I+XY|+與|I+XY|-有如下關系：

其中γ=(i1,…,ik)(1≤ir≤n,1≤r≤k).

證明令XY=[z1,…,zm],I=[e1,…,em],則

I+XY=[e1+z1,…,em+zm].

由引理1.1有

|I+XY|+=|e1+z1,…,ek-1+zk-1,

ek+zk,ek+1+zk+1,…,em+zm|+=

|e1+z1,…,ek-1+zk-1,ek,

ek+1+zk+1,…,em+zm|++

|e1+z1,…,ek-1+zk-1,zk,

ek+1+zk+1,…,em+zm|+.

每個行列式均可按第k列的ek+zk拆成2個矩陣的行列式(k=1,2,…,m),這2個矩陣的第k列分別為ek和zk,由此遞推可知|I+XY|+最終可分為2m個行列式之和,即

|I+XY|+=|e1,…,em|++|z1,e2,…,em|++

|e1,z2,e3…,em|++…+

|e1,…,em-1,zm|++

|z1,z2,e3,…,em|++|z1,e2,z3,e4,…,em|++

…+|e1,…,em-2,zm-1,zm|++…+

|e1,z2,…,zm|++|z1,e2,z3,…,zm|++

…+|z1,…,zm-1,em|++|z1,…,zm|+.

(1)

又由引理1.2知每個行列式可看作是去掉r行和r列的余子陣的正行列式,如

|e1,…,er,zr+1,…,zm|+=

|(XY)(1,2,…,r|1,2,…,r)|+.

故

|I+XY|+=1+|(XY)(2,…,m|2,…,m)|++

|(XY)(1,3,…,m|1,3,…,m)|++…+

|(XY)(1,…,m-1|1,…,m-1)|++

|(XY)(3,…,m|3,…,m)|++

|(XY)(2,4,…,m|2,4,…,m)|++…+

|(XY)(1,…,m-2|1,…,m-2)|++…+

|(XY)(1|1)|++|(XY)(2|2)|++…+

|(XY)(m|m)|++|XY|+=

(2)

同理可得

|I+XY|-=|e1,…,em|-+|z1,e2,…,em|-+

|e1,z2,e3…,em|-+…+|e1,…,em-1,zm|-+

|z1,z2,e3,…,em|-+|z1,e2,z3,e4,…,em|-+

…+|e1,…,em-2,zm-1,zm|-+…+

|e1,z2,…,zm|-+|z1,e2,z3,…,zm|-+

…+|z1,…,zm-1,em|-+|z1,…,zm|-=

0+|(XY)(2,…,m|2,…,m)|-+

|(XY)(1,3,…,m|1,3,…,m)|-+…+

|(XY)(1,…,m-1|1,…,m-1)|-+

|(XY)(3,…,m|3,…,m)|-+

|(XY)(2,4,…,m|2,4,…,m)|-+…+

|(XY)(1,…,m-2|1,…,m-2)|-+…+

|(XY)(1|1)|-+|(XY)(2|2)|-+

…+|(XY)(m|m)|-+|XY|-=

(3)

為了書寫方便,可記

|(XY)(i1,…,ik|i1,…,ik)|=|(XY)αα|,

其中α=(i1,…,ik)1.因此由(2)和(3)式可得

(4)

又由引理1.3有

|(XY)α

|(XY)α

再由(4)式可得

以下以二階矩陣為例加以驗證.設

則

由正負行列式公式知

|I+XY|+=(1+ae+bg)(1+cf+dh)=

1+acef+bdgh+adeh+

bcgf+ae+bg+cf+dh,

|I+XY|-=(af+bh)(ce+dg)=

acef+bdgh+adgf+bceh,

則有

|I+XY|++adgf+bceh=

|I+XY|-+1+

adeh+bcgf+ae+bg+cf+dh.

又由于

|X|+=ad, |X|-=cb,

|Y|+=eh, |Y|-=gf,

trXY=ae+bg+cf+dh,

從而

|I+XY|++|X|+|Y|-+|X|-|Y|+=

1+|I+XY|-+|X|+|Y|++

|X|-|Y|-+trXY,

(5)

即為

其中γ=(i1,i2)(1≤ir≤2,1≤r≤2).符合定理2.1中的等式.

推論 1設R是交換可消半環(huán),若A是R上的二階矩陣,則

|I+A|++|A|-=

1+|I+A|-+|A|++trA.

(6)

證明設X、Y是R的二階矩陣,將|XY|++|XY|-加在(5)式兩邊可得

|I+XY|++|X|+|Y|-+|X|-|Y|++

|XY|++|XY|-=

1+|I+XY|-+|X|+|Y|++|X|-|Y|-+

|XY|++|XY|-+trXY,

由引理1.4知

|XY|++|X|+|Y|-+|X|-|Y|+=

|XY|-+|X|+|Y|++|X|-|Y|-,

則

|I+XY|++|XY|-=

1+|I+XY|-+|XY|++trXY.

令A=XY,則

|I+A|++|A|-=1+|I+A|-+|A|++trA.