有關(guān)圓錐曲線衍生出的三個(gè)探究

徐季然　朱紅光

摘 要：該篇文章主要探究了在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中有關(guān)圓錐曲線切線問(wèn)題衍生出來(lái)的三個(gè)不同角度的探究。探究一：切線方程的推導(dǎo)與證明;探究二：曲線的“半代入”;探究三：圓錐曲線方程與切線方程的復(fù)數(shù)形式及其初步應(yīng)用。文章從切線的角度挖掘了圓錐曲線中幾何與復(fù)數(shù)的統(tǒng)一，思路新穎，角度獨(dú)特，以供參考。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線;切線方程;不等式;復(fù)數(shù)

中圖分類號(hào)：O182

文章編號(hào)：2095-624X（2019）19-0079-03

一、探究一：切線方程的推導(dǎo)與證明

我們知道對(duì)于一般的圓錐曲線方程

C1：Ax2+By2+Dx+Ey+F=0

（其中實(shí)數(shù)A，B，D，E，F(xiàn)滿足行列式| |≠0），

由熟知的結(jié)論有：

定理 過(guò)曲線C1：Ax2+By2+Dx+Ey+F=0上任意一點(diǎn)（x0，y0）的曲線C1的切線方程為

C2：Ax0x+By0y+D—+E—+F=0

下面筆者就對(duì)該結(jié)論進(jìn)行證明。

證明一： 聯(lián)立C1與C2的方程，有

{

若C2不垂直于x軸，消去y，經(jīng)過(guò)大量的計(jì)算，得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，其中

{

其中{

下面計(jì)算△=b2-4ac

注意到點(diǎn)（x0，y0）在曲線C1：Ax2+By2+Dx+Ey+F=0上，那么有Ax02+By02+Dx0+Ey0+F=0

并且注意到

2（Ax02+By02+Dx0+Ey0+F）=0

?S2+2BRx0+2BT=ES

?RS2+2BR2x0+2BRT=ERS

?2x0（AS2+BR2）=ERS-2BRT-DS2

?x0=—=-—

經(jīng)過(guò)大量運(yùn)算，得到

△=b2-4ac=0

∴此時(shí)C2為C1的切線。

若C2表示的是一條垂直于x軸的直線，那么有

∴R≠0，x=-—

且此時(shí)S=0.

∵點(diǎn)（x0，y0）在曲線C1：Ax2+By2+Dx+Ey+F=0上，且點(diǎn)（x0，y0）的橫縱坐標(biāo)代入C2方程也可以得到同樣的? ? 式子，

∴x0=-—=-—

化簡(jiǎn)后利用S=0亦可檢驗(yàn)上式是成立的。

∴將其代入方程后消去x，用類似的方法得到關(guān)于y的一元二次方程，經(jīng)過(guò)大量運(yùn)算，可以得到判別式

△=0

∴原方程組僅一組解{

∴此時(shí)C2為C1的切線.

綜上，原命題成立。

回看整個(gè)證明過(guò)程，可以說(shuō)極其充分地體現(xiàn)了圓錐曲線這一部分知識(shí)的特色——對(duì)計(jì)算能力的要求較高。但是，仔細(xì)審查不難發(fā)現(xiàn)，上述證明不僅對(duì)思維和計(jì)算能力的要求高，過(guò)程也是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，上述證明對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0中二次項(xiàng)系數(shù)是否為0沒(méi)有進(jìn)行討論。下面筆者再提供兩個(gè)證明方法供讀者比較。

證明二： 若C2不垂直于x軸，將曲線C1：Ax2+By2+Dx+Ey+F=0看作一個(gè)關(guān)于y的隱函數(shù)（因?yàn)閳A錐曲線有良好的對(duì)稱性也可以類似地進(jìn)行分類討論），那么對(duì)該隱函數(shù)求導(dǎo)，有

∴2Ax+2Byy'+D+Ey'=0

若y=-—，可對(duì)四種不同類別的圓錐曲線進(jìn)行單獨(dú)討論，易知此時(shí)均在圓錐曲線的頂點(diǎn)或端點(diǎn)處，發(fā)現(xiàn)原命題均成立，此處略去討論。

當(dāng)y≠-—時(shí)，整理有y'=-—。

∴此時(shí)切線方程為y-y0=-—（x-x0），再運(yùn)用Ax02+By02+Dx0+Ey0+F=0整理即得C2方程。

若C2表示的是一條垂直于x軸的直線，也可以類似地將其看作關(guān)于x的隱函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，可以得到此時(shí)C2為C1的切線。

綜上，原命題成立。

相比之下，這種方法要更顯自然而高明，計(jì)算量也減少了很多，但是這要求有較高的數(shù)學(xué)技巧，對(duì)于一般學(xué)生而言稍有難度。

證明三： 在學(xué)習(xí)了“推理與證明”這一章節(jié)后，我們對(duì)證明方法有了更系統(tǒng)的了解。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題正面入手較難，而根據(jù)“正難則反”，命題中又恰好包含唯一性的特征，我們自然而然想到反證法。

假設(shè)命題不成立，有

∵點(diǎn)（x0，y0）在曲線C1：Ax2+By2+Dx+Ey+F=0上，

∴Ax02+By02+Dx0+Ey0+F=0

將點(diǎn)（x0，y0）的橫縱坐標(biāo)代入C2方程也可以得到同樣的式子，

∴C2：Ax0x+By0y+D—+E—+F=0為C1的割線.

不妨設(shè)另一個(gè)不同的交點(diǎn)為（x1，y1）（x1≠x0），有

{

一個(gè)很自然的想法就是消去常數(shù)F.①+②-2×③，有

∴A（x0-x1）2+B（y0-y1）2=0

若AB≥0，那么一定可以導(dǎo)出矛盾，故原命題成立。

當(dāng)AB<0時(shí)，該方程表示的是雙曲線，可類似地進(jìn)行討論并導(dǎo)出矛盾，故原命題成立。

在筆者想出這個(gè)方法之后，筆者也咨詢過(guò)一些同學(xué)的意見(jiàn)和看法，普遍認(rèn)為這是一種比較自然的想法，而且也免去了大量的計(jì)算。值得注意的是，這種方法對(duì)于四類圓錐曲線中任意一類都是適用的，但不同種類的曲線處理方法稍有不同，以雙曲線為例。

例1已知方程為—-—=1（a>0，b>0）的雙曲線上有一點(diǎn)（x0，y0），求證：過(guò)該點(diǎn)的雙曲線切線方程為—-—=1

證明： 對(duì)—-—=1為垂直于坐標(biāo)軸的直線時(shí)的情況分別討論，發(fā)現(xiàn)均成立。

假設(shè)當(dāng)—-—=1不垂直于坐標(biāo)軸時(shí)原命題不成立，類似地，可設(shè)另一個(gè)不同的交點(diǎn)為（x1，y1）（x1≠x0），有

{

①+②-2×③并整理有

也即原點(diǎn)、點(diǎn)（x0，y0）、點(diǎn)（x1，y1）三點(diǎn)共線或—+—=0

分類討論：

（1）若原點(diǎn)、點(diǎn)（x0，y0）、點(diǎn)（x1，y1）三點(diǎn)共線，則原點(diǎn)也在—-—=1上，代入后明顯矛盾;

（2）若—+—=0，則由前面的討論和限制條件有

交叉相乘后移項(xiàng)即可推出矛盾。

故原命題成立。

二、探究二：曲線的“半代入”

我們把“探究一”中求圓錐曲線切線方程的方法稱為對(duì)原方程的“半代入”。因筆者水平和時(shí)間有限，這里簡(jiǎn)要談?wù)勔活惽€的“半代入”，其他曲線的情況留給有興趣的讀者進(jìn)行探究。

推論 曲線C3：Ax2n+By2n+Dxn+Eyn+F=0（A>0，

B>0，F(xiàn)≠0，n∈Z+）的一類“半代入”方程C4：Ax1nxn+By1nyn+D—+E—+F=0與C3不可能有三個(gè)橫坐標(biāo)互不相同的交點(diǎn)[點(diǎn)（x1，y1）為C3上一點(diǎn)]。

證明： 反證法。類似“探究一”中的證明三，可以得到n為奇數(shù)時(shí)C3與C4僅有一個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)有三個(gè)互不相同的點(diǎn)，分別記為點(diǎn)（x1，y1）、點(diǎn)（x2，y2）和點(diǎn)（x3，y3），且令x2=-x1，所以只需推導(dǎo)出不存在這樣的點(diǎn)（x3，y3）即可。

∵n為偶數(shù)

∴Ax1nxn+By1nyn+D—+E—+F=Ax2nxn+ By2nyn+D—+E—+F=0

分別代入三組坐標(biāo)至方程中可以得到六個(gè)式子：

{

將前三個(gè)式子左端相加減去后三個(gè)式子左端的和，再運(yùn)用不等式a2+b2+c2≥ab+bc+ca，可得

∴x1n=x2n=x3n

即x3=x1或x3=x2與前提假設(shè)矛盾，故原命題成立。

對(duì)于曲線C3，還有一種可能的“半代入”方式為C5：Ax1nxn+By1nyn+Dx1—x—+Ey1—y—+F=0，但注意到該方程有變量范圍的限制，故不在此作過(guò)多討論，有興趣的讀者可以繼續(xù)探究。

三、探究三：圓錐曲線方程與切線方程的復(fù)數(shù)形式及其初步應(yīng)用

法國(guó)數(shù)學(xué)家雅克·阿達(dá)馬曾說(shuō)過(guò)：“在實(shí)數(shù)域中，連接兩個(gè)真理的最短的路徑是通過(guò)復(fù)數(shù)域?！弊阋?jiàn)復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)中地位之重要。但很可惜的是，據(jù)筆者的了解，高中生普遍對(duì)復(fù)數(shù)這一部分知識(shí)的重視程度不高。誠(chéng)然，高考對(duì)復(fù)數(shù)的考查要求不高，但筆者認(rèn)為復(fù)數(shù)的運(yùn)用確實(shí)能在很多實(shí)域范圍內(nèi)研究的問(wèn)題當(dāng)中收到意想不到的結(jié)果。

在較高的觀點(diǎn)下，我們不加推導(dǎo)地給出一般圓錐曲線方程與其切線方程的復(fù)數(shù)形式。

引理 復(fù)平面上曲線C1：Ax2+By2+Dx+Ey+F=0對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)方程為—（z+z）2+—（z+z）2+—（2z+2z）+—（2z-2z）+ F=0，其切線方程也遵循“半代入”的形式，將若z0滿足上述方程，將z=z0“半代入”后，即得到切線方程為：

—（z0+z0）（z+z）+—（z0-z0）（z-z）+—（z0+z0+z+z）+—（z0-z0-z-z）+ F=0

事實(shí)上，從復(fù)數(shù)的幾何意義出發(fā)，也不難理解上式的合理性。

為什么要引出復(fù)數(shù)呢？很重要的一個(gè)原因就是復(fù)數(shù)的運(yùn)算具有良好的性質(zhì)，現(xiàn)舉例說(shuō)明。

例2已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A為單位圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作橢圓2x2+3y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別記為點(diǎn)M和點(diǎn)N。點(diǎn)P為直線MN上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OP。若射線OA與x軸正半軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角后重合，試證明：|OP|≥—

解：在復(fù)平面上考慮該問(wèn)題。由題目條件可設(shè)點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z0=cosθ+isinθ對(duì)橢圓所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)方程進(jìn)行“半代入”，則有

∴直線MN所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)方程為（cosθ-—isinθ）z+ （cosθ+—isinθ）z=1

由復(fù)數(shù)的三角不等式即可得到

∴2|（cosθ-—isinθ）||z|=|（cosθ-—isinθ）z|+|（cosθ+—isinθ）z|≥|（cosθ-—isinθ）z+（cosθ+—isinθ）z|=1

即等價(jià)于要證的結(jié)論。

筆者在這里留兩道練習(xí)題供大家比對(duì)復(fù)數(shù)法和傳統(tǒng)方法在實(shí)際應(yīng)用中的差異。

練習(xí) 已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓方程為—+—=1（a>b>0），過(guò)橢圓外一點(diǎn)P（x0，y0）作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別記為點(diǎn)M和點(diǎn)N。若直線MN上存在一點(diǎn)Q，使得|OQ|=1，試證明：—+—≥1。

提示：“半代入”后利用方程中存在一個(gè)復(fù)數(shù)z使得|z|=1，再利用三角不等式即可得證。

限于篇幅以及筆者水平，筆者不在這一方面進(jìn)行更進(jìn)一步的探究，謹(jǐn)以此文拋磚引玉，也十分歡迎諸位讀者與筆者進(jìn)行深入探討。

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作者簡(jiǎn)介：徐季然（2002—），男，江蘇連云港人，深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高中二年級(jí)在讀。

指導(dǎo)老師：朱紅光（1980—），女，河南安陽(yáng)人，中學(xué)一級(jí)教師，碩士，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。