雙耦合諧振子共振特性研究

翟立朋 張俊武

(西安交通大學(xué)大學(xué)物理國家級實驗教學(xué)示范中心 陜西 西安 710049)

程 琳

(西安工程大學(xué)理學(xué)院 陜西 西安 710048)

常凱歌 童 童 王雪冬

(西安交通大學(xué)大學(xué)物理國家級實驗教學(xué)示范中心 陜西 西安 710049)

共振現(xiàn)象在聲、光、無線電、原子物理、核物理及工程領(lǐng)域非常普遍[1]，是指在某個特殊頻率下系統(tǒng)對外界激發(fā)的增強響應(yīng)，這個特殊的頻率通常稱為系統(tǒng)的共振頻率.早在1602年伽利略研究琴弦振動時就發(fā)現(xiàn)了共振現(xiàn)象[2].最簡單的共振現(xiàn)象可以用簡諧振動模型來描述，其幅頻特性曲線是一個對稱的洛倫茲線型[2]，外驅(qū)動力頻率接近共振頻率時，系統(tǒng)振動的振幅達到最大，達到位移共振，這種共振現(xiàn)象在大學(xué)物理理論課上有比較完整的研究[3,4]，在大學(xué)物理實驗教學(xué)中常通過波爾共振實驗來研究[1].Ugo Fano于1961年在研究原子的自電離態(tài)時發(fā)現(xiàn)了一類具有反對稱線型的新型共振特性[5]，這打破了大家對共振現(xiàn)象的認識，這種反對稱的新型共振被稱為Fano共振.但在大學(xué)物理和物理實驗教學(xué)中，目前針對這種反對稱的共振特性涉及較少，所以本文詳細研究了雙耦合諧振子模型的共振原理及共振特性，并提出了一種可以用于大學(xué)物理實驗教學(xué)的共振儀，以補充大學(xué)物理和物理實驗教學(xué)對共振特性的認識和研究.

1 雙耦合諧振子共振原理

如圖1所示為雙耦合諧振子模型，模型中有A和B兩個振子分別連接κ1和κ2兩個彈簧，彈簧κ1左端連接周期性的外驅(qū)動力Feiωt.

圖1 雙耦合諧振子模型

(1)

其中x1和x2分別表示A和B兩個振子的位移，將式(1)整理之后得到

γBA(κ2)x2=aeiωt

(2)

(3)

式(2)和式(3)中的耦合系數(shù)都是只跟彈簧κ2有關(guān)的常數(shù)，所以兩個耦合系數(shù)應(yīng)該是一樣的，耦合系數(shù)可以簡化為

γAB(κ2)=γBA(κ2)=γ

(4)

用待定系數(shù)的方法求解由式(2)和式(3)組成的方程組，即可以得到振子A和B的運動特性.

因為A和B兩個振子都做受迫振動，所以在振動穩(wěn)定之后，兩個振子都做角頻率為ω的周期性運動，方程組解的形式表示為

x1=A1(ω)eiωt

(5)

x2=A2(ω)eiωt

(6)

式(5)、(6)中的指數(shù)部分只代表位移是周期性的振動形式，而不包含初相位信息，振子的振幅和相位信息都包含在A1(ω)和A2(ω)中.將式(5)和式(6)所表示的解的形式返回到式(2)和式(3)組成的方程組，進行待定系數(shù)求解可以得到

A1(ω)=a·

(7)

A2(ω)=a·

(8)

從式(7)、(8)所表示的A1(ω)、A2(ω)兩個物理量可以看出，A1(ω)、A2(ω)都是復(fù)數(shù)形式，也正好說明了其中包含了振子做受迫振動的振幅和相位信息.所以我們想要研究幅頻特性和相頻特性，只需要對式(7)、(8)進行分析即可.

A1(ω)和A2(ω)的實部|A1(ω)|和|A2(ω)|代表了振動的振幅信息，即可研究其幅頻特性.如果將振幅的相位信息表示為eiφ1(ω)和eiφ2(ω)，則A1(ω)和A2(ω)還可以表示為

A1(ω)=|A1(ω)|eiφ1(ω)

(9)

A2(ω)=|A2(ω)|eiφ2(ω)

(10)

將式(9)、(10)相除，并根據(jù)歐拉公式，可以得到

ei(φ1-φ2)=eiΔφ=cos Δφ+isin Δφ=

(11)

則有

(12)

(13)

則可以得到兩個振子的相位差為

(14)

這樣我們根據(jù)式(7)、(8)就可以得到振子A和B的幅頻特性曲線，根據(jù)式(14)就可以得到相頻特性曲線.如圖2中的(a)和(b)分別表示的是雙耦合諧振子模型的幅頻特性和相頻特性曲線.

圖2 雙耦合諧振子的幅頻特性和相頻特性曲線

從幅頻特性曲線可以看出，A和B兩個振子都對應(yīng)ω1附近和ω2附近的兩個共振峰，說明外驅(qū)動力的頻率與彈簧振子的共振頻率一致時，振動幅度最大，諧振子系統(tǒng)出現(xiàn)共振現(xiàn)象.但是振子A(受到外驅(qū)動的振子)在ω2附近的共振峰呈反對稱分布，即Fano共振特性.但此處的共振強度相對于普通共振來說要小很多，所以在常規(guī)實驗中不太容易觀察到，也沒有得到足夠的重視.

將此處的反對稱共振曲線放大，如圖3所示，可以看出當(dāng)外驅(qū)動力的頻率等于ω2時，振子A的振幅出現(xiàn)一個最小值，這是因為彈簧κ1受外驅(qū)動力以頻率ω2對振子A進行作用時，彈簧κ2帶動振子B剛好達到共振狀態(tài)，使得κ1和κ2對振子A的作用剛好處于反向同步，作用力恰好相互抵消，使振子A剛好達到穩(wěn)定靜止?fàn)顟B(tài)，從而出現(xiàn)了振幅最小值，這也是產(chǎn)生非對稱共振譜的原因.

圖3 Fano共振處的幅頻特性曲線

如圖2(b)所示，在外驅(qū)動力頻率為ω2處，振子A和B之間的相位差產(chǎn)生突變，呈反對稱線型，即Fano共振的相頻特性曲線，與我們之前研究的傳統(tǒng)共振中的相頻特性[1]有很大的差異.

2 雙耦合諧振子共振特性

雙耦合諧振子共振特性受兩個振子的阻尼系數(shù)和耦合系數(shù)的影響.本文將具體分析振子A的阻尼β1，振子B的阻尼β2和兩個振子之間的耦合系數(shù)γ對雙耦合諧振子共振特性的影響.

如圖4(a)、(b)分別為振子A，B的幅頻特性曲線隨阻尼β1的改變而產(chǎn)生的變化.從圖中可以看出，隨著β1的增大，ω1附近的共振峰強度明顯減弱，共振峰寬度逐漸增大.對于振子A來說，ω2附近的反對稱共振峰的最小值基本沒有改變，極大值有微弱的減小趨勢，但此處共振峰的線型和半高寬都沒有變化；對于振子B來說，ω1處的共振峰強度是有明顯減弱，ω2附近的共振峰沒有任何變化.這說明β1對ω1附近的共振峰的強度有明顯的調(diào)控作用，但對ω2附近共振峰基本沒有影響.

圖4 阻尼β1對幅頻特性曲線的調(diào)控

如圖5(a)、(b)所示分別為振子A，B的共振特性隨著振子B的阻尼系數(shù)β2的改變而產(chǎn)生的變化.隨著β2的增大，兩個振子在ω1處的共振峰強度、位置和半高寬都沒有變化，而振子A，B在ω2附近的共振峰強度逐漸減小，振子A在此處反對稱的振幅最小值從零開始逐漸增大.β2=0時振子B處于無阻尼的理想狀態(tài)，ω2處的反對稱最低值為零，β2越大反對稱的最低值和共振峰值越來越接近，F(xiàn)ano共振現(xiàn)象也越來越不明顯，直至共振現(xiàn)象逐漸消失.所以想要觀察到明顯的反對稱共振線型，振子B的阻尼系數(shù)β2應(yīng)該盡量的小.

圖5 阻尼β2對幅頻特性曲線的調(diào)控

如圖6(a)、(b)所示分別為振子A和B的幅頻特性曲線隨耦合系數(shù)γ的改變而產(chǎn)生的變化.當(dāng)耦合系數(shù)γ為零時，振子A退化為單個諧振子，只有處于ω1附近的一個共振峰，而振子B沒有振動，振幅一直為零.隨著耦合系數(shù)γ的逐漸增大，對于振子A來說，ω1附近的共振峰強度逐漸增強并產(chǎn)生明顯紅移；ω2附近逐漸產(chǎn)生反對稱的共振峰，反對稱共振的最低點逐漸降低為零，共振峰的強度逐漸增強并產(chǎn)生明顯藍移，共振峰的半高寬也逐漸增大，反對稱線型也越來越不明顯.對于振子B來說，隨著耦合系數(shù)γ的逐漸增大，ω1附近的共振峰強度逐漸增強并產(chǎn)生明顯紅移，ω2附近的共振峰強度也逐漸增強并產(chǎn)生明顯藍移.

圖6 耦合系數(shù)γ對幅頻特性曲線的調(diào)控

對于雙耦合諧振子模型的相頻特性，從式(14)可以看出，相頻特性只受到振子B的阻尼系數(shù)β2的影響，與β1和γ無關(guān).如圖7所示為振子A，B之間的相位差隨阻尼β2的改變而產(chǎn)生的變化情況，兩個振子之間的相位差在振子ω2處產(chǎn)生突變.隨著阻尼系數(shù)的增大，相位突變點沒有改變，這也是由式(14)決定的，但相頻譜線的半高寬隨著耦合系數(shù)的增大而逐漸展寬.

圖7 阻尼β2對相頻特性曲線的調(diào)控

3 雙耦合諧振子共振儀

基于本文對雙耦合諧振子共振特性的分析，本文提出一種雙耦合諧振子共振儀，可用于大學(xué)物理實驗教學(xué)，以填補學(xué)生對反對稱線型共振現(xiàn)象的認識.

如圖8所示為共振實驗儀的模型圖，本文提出的共振實驗儀由驅(qū)動系統(tǒng)、測量系統(tǒng)和控制系統(tǒng)3個系統(tǒng)構(gòu)成.

圖8 雙耦合諧振子共振儀示意圖

控制系統(tǒng)設(shè)置外驅(qū)動力的參數(shù)和測量后的數(shù)據(jù)記錄.在驅(qū)動盤的圓周邊緣均勻刻上一周狹縫(示意圖中只畫出了4條狹縫)，稱為驅(qū)動相位測量尺.驅(qū)動電機帶動驅(qū)動盤轉(zhuǎn)動，在狹縫通過左側(cè)光電門的過程中，光電門可根據(jù)狹縫的長度和通過狹縫的數(shù)目確定外驅(qū)動的相位，這與目前大學(xué)物理實驗中用到的波爾共振儀類似[6].外驅(qū)動通過驅(qū)動桿傳動到測量系統(tǒng)的驅(qū)動振子，使驅(qū)動振子產(chǎn)生周期性振動，驅(qū)動振子通過彈簧κ1和κ2分別驅(qū)動振子A和B振動，為了測量振子A和B振動的振幅和相位，在每個振子上加一個光電門，光電門經(jīng)過下方刻有狹縫的位移相位測量尺，光電門根據(jù)通過測量尺的狹縫數(shù)目確定受迫振動的振幅、相位和振動頻率等參數(shù)，最后將測量結(jié)果回傳到控制系統(tǒng)，得到我們想要的振子A，B的振幅和相位信息，從而描述雙耦合諧振子模型做受迫耦合振動的幅頻特性和相頻特性.

4 結(jié)論

本文詳細推導(dǎo)了雙耦合諧振子做受迫振動的幅頻特性和相頻特性，在外驅(qū)動頻率等于振子B的共振頻率ω2時，振子A會產(chǎn)生反對稱的Fano共振.阻尼系數(shù)β1和β2分別調(diào)控ω1和ω2附近的共振強度，耦合系數(shù)γ對兩個位置的共振峰都有影響；相頻特性曲線只受阻尼系數(shù)β2的調(diào)控，阻尼系數(shù)β2和耦合系數(shù)γ可以調(diào)控Fano共振的幅頻特性和相頻特性.想要觀察到明顯的Fano共振現(xiàn)象，阻尼β2應(yīng)該盡量的小.本文所提出的雙耦合諧振子共振儀可以同時測量反對稱的Fano共振特性和常規(guī)對稱的共振特性.