雙耦合諧振子共振特性研究

翟立朋 張俊武

(西安交通大學(xué)大學(xué)物理國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心 陜西 西安 710049)

程 琳

(西安工程大學(xué)理學(xué)院 陜西 西安 710048)

常凱歌 童 童 王雪冬

(西安交通大學(xué)大學(xué)物理國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心 陜西 西安 710049)

共振現(xiàn)象在聲、光、無(wú)線電、原子物理、核物理及工程領(lǐng)域非常普遍[1]，是指在某個(gè)特殊頻率下系統(tǒng)對(duì)外界激發(fā)的增強(qiáng)響應(yīng)，這個(gè)特殊的頻率通常稱為系統(tǒng)的共振頻率.早在1602年伽利略研究琴弦振動(dòng)時(shí)就發(fā)現(xiàn)了共振現(xiàn)象[2].最簡(jiǎn)單的共振現(xiàn)象可以用簡(jiǎn)諧振動(dòng)模型來(lái)描述，其幅頻特性曲線是一個(gè)對(duì)稱的洛倫茲線型[2]，外驅(qū)動(dòng)力頻率接近共振頻率時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)的振幅達(dá)到最大，達(dá)到位移共振，這種共振現(xiàn)象在大學(xué)物理理論課上有比較完整的研究[3,4]，在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中常通過(guò)波爾共振實(shí)驗(yàn)來(lái)研究[1].Ugo Fano于1961年在研究原子的自電離態(tài)時(shí)發(fā)現(xiàn)了一類具有反對(duì)稱線型的新型共振特性[5]，這打破了大家對(duì)共振現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)，這種反對(duì)稱的新型共振被稱為Fano共振.但在大學(xué)物理和物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，目前針對(duì)這種反對(duì)稱的共振特性涉及較少，所以本文詳細(xì)研究了雙耦合諧振子模型的共振原理及共振特性，并提出了一種可以用于大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)的共振儀，以補(bǔ)充大學(xué)物理和物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)對(duì)共振特性的認(rèn)識(shí)和研究.

1 雙耦合諧振子共振原理

如圖1所示為雙耦合諧振子模型，模型中有A和B兩個(gè)振子分別連接κ1和κ2兩個(gè)彈簧，彈簧κ1左端連接周期性的外驅(qū)動(dòng)力Feiωt.

圖1 雙耦合諧振子模型

(1)

其中x1和x2分別表示A和B兩個(gè)振子的位移，將式(1)整理之后得到

γBA(κ2)x2=aeiωt

(2)

(3)

式(2)和式(3)中的耦合系數(shù)都是只跟彈簧κ2有關(guān)的常數(shù)，所以兩個(gè)耦合系數(shù)應(yīng)該是一樣的，耦合系數(shù)可以簡(jiǎn)化為

γAB(κ2)=γBA(κ2)=γ

(4)

用待定系數(shù)的方法求解由式(2)和式(3)組成的方程組，即可以得到振子A和B的運(yùn)動(dòng)特性.

因?yàn)锳和B兩個(gè)振子都做受迫振動(dòng)，所以在振動(dòng)穩(wěn)定之后，兩個(gè)振子都做角頻率為ω的周期性運(yùn)動(dòng)，方程組解的形式表示為

x1=A1(ω)eiωt

(5)

x2=A2(ω)eiωt

(6)

式(5)、(6)中的指數(shù)部分只代表位移是周期性的振動(dòng)形式，而不包含初相位信息，振子的振幅和相位信息都包含在A1(ω)和A2(ω)中.將式(5)和式(6)所表示的解的形式返回到式(2)和式(3)組成的方程組，進(jìn)行待定系數(shù)求解可以得到

A1(ω)=a·

(7)

A2(ω)=a·

(8)

從式(7)、(8)所表示的A1(ω)、A2(ω)兩個(gè)物理量可以看出，A1(ω)、A2(ω)都是復(fù)數(shù)形式，也正好說(shuō)明了其中包含了振子做受迫振動(dòng)的振幅和相位信息.所以我們想要研究幅頻特性和相頻特性，只需要對(duì)式(7)、(8)進(jìn)行分析即可.

A1(ω)和A2(ω)的實(shí)部|A1(ω)|和|A2(ω)|代表了振動(dòng)的振幅信息，即可研究其幅頻特性.如果將振幅的相位信息表示為eiφ1(ω)和eiφ2(ω)，則A1(ω)和A2(ω)還可以表示為

A1(ω)=|A1(ω)|eiφ1(ω)

(9)

A2(ω)=|A2(ω)|eiφ2(ω)

(10)

將式(9)、(10)相除，并根據(jù)歐拉公式，可以得到

ei(φ1-φ2)=eiΔφ=cos Δφ+isin Δφ=

(11)

則有

(12)

(13)

則可以得到兩個(gè)振子的相位差為

(14)

這樣我們根據(jù)式(7)、(8)就可以得到振子A和B的幅頻特性曲線，根據(jù)式(14)就可以得到相頻特性曲線.如圖2中的(a)和(b)分別表示的是雙耦合諧振子模型的幅頻特性和相頻特性曲線.

圖2 雙耦合諧振子的幅頻特性和相頻特性曲線

從幅頻特性曲線可以看出，A和B兩個(gè)振子都對(duì)應(yīng)ω1附近和ω2附近的兩個(gè)共振峰，說(shuō)明外驅(qū)動(dòng)力的頻率與彈簧振子的共振頻率一致時(shí)，振動(dòng)幅度最大，諧振子系統(tǒng)出現(xiàn)共振現(xiàn)象.但是振子A(受到外驅(qū)動(dòng)的振子)在ω2附近的共振峰呈反對(duì)稱分布，即Fano共振特性.但此處的共振強(qiáng)度相對(duì)于普通共振來(lái)說(shuō)要小很多，所以在常規(guī)實(shí)驗(yàn)中不太容易觀察到，也沒(méi)有得到足夠的重視.

將此處的反對(duì)稱共振曲線放大，如圖3所示，可以看出當(dāng)外驅(qū)動(dòng)力的頻率等于ω2時(shí)，振子A的振幅出現(xiàn)一個(gè)最小值，這是因?yàn)閺椈搔?受外驅(qū)動(dòng)力以頻率ω2對(duì)振子A進(jìn)行作用時(shí)，彈簧κ2帶動(dòng)振子B剛好達(dá)到共振狀態(tài)，使得κ1和κ2對(duì)振子A的作用剛好處于反向同步，作用力恰好相互抵消，使振子A剛好達(dá)到穩(wěn)定靜止?fàn)顟B(tài)，從而出現(xiàn)了振幅最小值，這也是產(chǎn)生非對(duì)稱共振譜的原因.

圖3 Fano共振處的幅頻特性曲線

如圖2(b)所示，在外驅(qū)動(dòng)力頻率為ω2處，振子A和B之間的相位差產(chǎn)生突變，呈反對(duì)稱線型，即Fano共振的相頻特性曲線，與我們之前研究的傳統(tǒng)共振中的相頻特性[1]有很大的差異.

2 雙耦合諧振子共振特性

雙耦合諧振子共振特性受兩個(gè)振子的阻尼系數(shù)和耦合系數(shù)的影響.本文將具體分析振子A的阻尼β1，振子B的阻尼β2和兩個(gè)振子之間的耦合系數(shù)γ對(duì)雙耦合諧振子共振特性的影響.

如圖4(a)、(b)分別為振子A，B的幅頻特性曲線隨阻尼β1的改變而產(chǎn)生的變化.從圖中可以看出，隨著β1的增大，ω1附近的共振峰強(qiáng)度明顯減弱，共振峰寬度逐漸增大.對(duì)于振子A來(lái)說(shuō)，ω2附近的反對(duì)稱共振峰的最小值基本沒(méi)有改變，極大值有微弱的減小趨勢(shì)，但此處共振峰的線型和半高寬都沒(méi)有變化；對(duì)于振子B來(lái)說(shuō)，ω1處的共振峰強(qiáng)度是有明顯減弱，ω2附近的共振峰沒(méi)有任何變化.這說(shuō)明β1對(duì)ω1附近的共振峰的強(qiáng)度有明顯的調(diào)控作用，但對(duì)ω2附近共振峰基本沒(méi)有影響.

圖4 阻尼β1對(duì)幅頻特性曲線的調(diào)控

如圖5(a)、(b)所示分別為振子A，B的共振特性隨著振子B的阻尼系數(shù)β2的改變而產(chǎn)生的變化.隨著β2的增大，兩個(gè)振子在ω1處的共振峰強(qiáng)度、位置和半高寬都沒(méi)有變化，而振子A，B在ω2附近的共振峰強(qiáng)度逐漸減小，振子A在此處反對(duì)稱的振幅最小值從零開(kāi)始逐漸增大.β2=0時(shí)振子B處于無(wú)阻尼的理想狀態(tài)，ω2處的反對(duì)稱最低值為零，β2越大反對(duì)稱的最低值和共振峰值越來(lái)越接近，F(xiàn)ano共振現(xiàn)象也越來(lái)越不明顯，直至共振現(xiàn)象逐漸消失.所以想要觀察到明顯的反對(duì)稱共振線型，振子B的阻尼系數(shù)β2應(yīng)該盡量的小.

圖5 阻尼β2對(duì)幅頻特性曲線的調(diào)控

如圖6(a)、(b)所示分別為振子A和B的幅頻特性曲線隨耦合系數(shù)γ的改變而產(chǎn)生的變化.當(dāng)耦合系數(shù)γ為零時(shí)，振子A退化為單個(gè)諧振子，只有處于ω1附近的一個(gè)共振峰，而振子B沒(méi)有振動(dòng)，振幅一直為零.隨著耦合系數(shù)γ的逐漸增大，對(duì)于振子A來(lái)說(shuō)，ω1附近的共振峰強(qiáng)度逐漸增強(qiáng)并產(chǎn)生明顯紅移；ω2附近逐漸產(chǎn)生反對(duì)稱的共振峰，反對(duì)稱共振的最低點(diǎn)逐漸降低為零，共振峰的強(qiáng)度逐漸增強(qiáng)并產(chǎn)生明顯藍(lán)移，共振峰的半高寬也逐漸增大，反對(duì)稱線型也越來(lái)越不明顯.對(duì)于振子B來(lái)說(shuō)，隨著耦合系數(shù)γ的逐漸增大，ω1附近的共振峰強(qiáng)度逐漸增強(qiáng)并產(chǎn)生明顯紅移，ω2附近的共振峰強(qiáng)度也逐漸增強(qiáng)并產(chǎn)生明顯藍(lán)移.

圖6 耦合系數(shù)γ對(duì)幅頻特性曲線的調(diào)控

對(duì)于雙耦合諧振子模型的相頻特性，從式(14)可以看出，相頻特性只受到振子B的阻尼系數(shù)β2的影響，與β1和γ無(wú)關(guān).如圖7所示為振子A，B之間的相位差隨阻尼β2的改變而產(chǎn)生的變化情況，兩個(gè)振子之間的相位差在振子ω2處產(chǎn)生突變.隨著阻尼系數(shù)的增大，相位突變點(diǎn)沒(méi)有改變，這也是由式(14)決定的，但相頻譜線的半高寬隨著耦合系數(shù)的增大而逐漸展寬.

圖7 阻尼β2對(duì)相頻特性曲線的調(diào)控

3 雙耦合諧振子共振儀

基于本文對(duì)雙耦合諧振子共振特性的分析，本文提出一種雙耦合諧振子共振儀，可用于大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)，以填補(bǔ)學(xué)生對(duì)反對(duì)稱線型共振現(xiàn)象的認(rèn)識(shí).

如圖8所示為共振實(shí)驗(yàn)儀的模型圖，本文提出的共振實(shí)驗(yàn)儀由驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)、測(cè)量系統(tǒng)和控制系統(tǒng)3個(gè)系統(tǒng)構(gòu)成.

圖8 雙耦合諧振子共振儀示意圖

控制系統(tǒng)設(shè)置外驅(qū)動(dòng)力的參數(shù)和測(cè)量后的數(shù)據(jù)記錄.在驅(qū)動(dòng)盤的圓周邊緣均勻刻上一周狹縫(示意圖中只畫出了4條狹縫)，稱為驅(qū)動(dòng)相位測(cè)量尺.驅(qū)動(dòng)電機(jī)帶動(dòng)驅(qū)動(dòng)盤轉(zhuǎn)動(dòng)，在狹縫通過(guò)左側(cè)光電門的過(guò)程中，光電門可根據(jù)狹縫的長(zhǎng)度和通過(guò)狹縫的數(shù)目確定外驅(qū)動(dòng)的相位，這與目前大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中用到的波爾共振儀類似[6].外驅(qū)動(dòng)通過(guò)驅(qū)動(dòng)桿傳動(dòng)到測(cè)量系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)振子，使驅(qū)動(dòng)振子產(chǎn)生周期性振動(dòng)，驅(qū)動(dòng)振子通過(guò)彈簧κ1和κ2分別驅(qū)動(dòng)振子A和B振動(dòng)，為了測(cè)量振子A和B振動(dòng)的振幅和相位，在每個(gè)振子上加一個(gè)光電門，光電門經(jīng)過(guò)下方刻有狹縫的位移相位測(cè)量尺，光電門根據(jù)通過(guò)測(cè)量尺的狹縫數(shù)目確定受迫振動(dòng)的振幅、相位和振動(dòng)頻率等參數(shù)，最后將測(cè)量結(jié)果回傳到控制系統(tǒng)，得到我們想要的振子A，B的振幅和相位信息，從而描述雙耦合諧振子模型做受迫耦合振動(dòng)的幅頻特性和相頻特性.

4 結(jié)論

本文詳細(xì)推導(dǎo)了雙耦合諧振子做受迫振動(dòng)的幅頻特性和相頻特性，在外驅(qū)動(dòng)頻率等于振子B的共振頻率ω2時(shí)，振子A會(huì)產(chǎn)生反對(duì)稱的Fano共振.阻尼系數(shù)β1和β2分別調(diào)控ω1和ω2附近的共振強(qiáng)度，耦合系數(shù)γ對(duì)兩個(gè)位置的共振峰都有影響；相頻特性曲線只受阻尼系數(shù)β2的調(diào)控，阻尼系數(shù)β2和耦合系數(shù)γ可以調(diào)控Fano共振的幅頻特性和相頻特性.想要觀察到明顯的Fano共振現(xiàn)象，阻尼β2應(yīng)該盡量的小.本文所提出的雙耦合諧振子共振儀可以同時(shí)測(cè)量反對(duì)稱的Fano共振特性和常規(guī)對(duì)稱的共振特性.