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    均勻帶電半球面軸線上的電勢和電場強(qiáng)度

    2019-11-07 08:58:22林建福
    物理通報 2019年11期
    關(guān)鍵詞:球心積分法半球

    林建福

    (金秀瑤族自治縣民族高中 廣西 來賓 545799)

    先用積分法求出均勻帶電半球面軸線上的電勢表達(dá)式,然后利用電場強(qiáng)度與電勢的關(guān)系求出軸線上電場強(qiáng)度的表達(dá)式,并用所得表達(dá)式求出球心處的電勢和電場強(qiáng)度.

    1 均勻帶電半球面軸線上的電勢

    設(shè)有一半經(jīng)為R的均勻帶電半球面,電荷面密度為σ,現(xiàn)求出其軸線上的電勢表達(dá)式.如圖1所示,在軸線上任取一點(diǎn)p,則p點(diǎn)的電勢可以表示為如下積分

    (1)

    積分遍及整個半球面.

    圖1 均勻帶電半球面

    采用球坐標(biāo)形式,式(1)化為

    所以

    (2)

    由于z=0是式(2)的一個奇異點(diǎn),對于球心處(z=0)的電勢將于下文給出.

    當(dāng)z≥-R且z≠0時

    (3)

    當(dāng)z<-R時

    (4)

    上述式(3)、(4)即為均勻帶電半球面軸線上除去球心處(z=0)任意一點(diǎn)的電勢表達(dá)式.

    2 均勻帶電半球面軸線上的電場強(qiáng)度

    由于電場強(qiáng)度E等于電勢梯度的負(fù)值[1]

    E=-V

    設(shè)均勻帶電半球面軸線上電場強(qiáng)度為E,則

    當(dāng)z>-R時,由式(3)有

    所以

    (5)

    當(dāng)z<-R時,由式(4)有

    所以

    (6)

    上述式(5)、(6)即為均勻帶電半球面軸線上除去球心處(z=0)的電場強(qiáng)度的表達(dá)式.

    由于電場強(qiáng)度的法向分量在帶電面兩側(cè)存在突變[2],對于z=-R處即半球面所在處的電場強(qiáng)度并不能直接由上述式(5)、(6)給出,下面我們單獨(dú)求出z=-R處的電場強(qiáng)度.設(shè)從z=-R所在處上下兩邊趨于該點(diǎn)時,電場強(qiáng)度的極限分別為E+和E-,則z=-R處的電場強(qiáng)度為[3]

    由式(5)、(6)可分別求出

    因此z=-R處的電場強(qiáng)度為

    (7)

    3 均勻帶電半球面球心處的電勢與電場

    由于z=0是式(2)、(3)、(5)的奇異點(diǎn),故不能直接應(yīng)用這些式子求出z=0處的電勢和電場強(qiáng)度,現(xiàn)直接應(yīng)用積分法求出z=0處的電勢和電場強(qiáng)度.

    球心處的電勢

    球心處的電場強(qiáng)度

    作為對比,我們再根據(jù)式(3)、(5),采用取極限的方法求解z=0處的電勢和電場強(qiáng)度.

    球心處的電勢

    球心處的電場強(qiáng)度

    可見,兩種方法求出的球心處的電勢和電場強(qiáng)度是一致的.球心處的電勢和電場強(qiáng)度分別為

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