用直覺(jué)理解高 發(fā)展空間觀念
——以《底和高》的教學(xué)為例

浙江省義烏市藝術(shù)學(xué)校 李玲靜

概念的教學(xué)要基于兒童的生活直觀感知，形成循序漸進(jìn)相互聯(lián)結(jié)的邏輯框架，這是對(duì)教材編寫提出的要求，也是對(duì)教師教學(xué)提出更高的行為導(dǎo)向，理解概念，舉一反三，能活學(xué)活用是高階的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，教師給學(xué)生頭腦中立起來(lái)的知識(shí)邏輯序列要非常嚴(yán)謹(jǐn)與深刻。但是從兩個(gè)版本的教材中對(duì)底和高知識(shí)點(diǎn)的處理，一些教師難以把握，部分學(xué)生在建立概念上有一定的困難，如A版本教材中以梯形的高展開教學(xué)，借助平行線之間的距離，帶出三角形的高，一個(gè)課時(shí)中學(xué)生要學(xué)習(xí)梯形、平行四邊形、三角形的底和高，并且還要畫出對(duì)應(yīng)底邊上的圖形的高。教學(xué)中學(xué)生對(duì)三角形底和高中鈍角三角形找較短兩條邊上的高這一難點(diǎn)有如蜻蜓點(diǎn)水一帶而過(guò)。梯形高的定義是如果把橋洞的形狀看成一個(gè)梯形，梯形的上下兩底平行線之間的距離就是“限高”的高度，也就是梯形的高。三角形的高的定義是從一個(gè)頂點(diǎn)、向底引出的垂直線段就是高；平行四邊形的高的定義是可以從邊上任意一點(diǎn)畫垂線，畫出的這些線段就是高。這個(gè)版本給出的高的定義方式以描述性和畫高的動(dòng)態(tài)過(guò)程方式來(lái)定義。又如B版本教材是先安排在平行和垂直之后認(rèn)識(shí)梯形和平行四邊形的底和高，進(jìn)而在三角形的特性中認(rèn)識(shí)底和高的，定義三角形的高是從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到它的對(duì)邊作一條垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高，這條對(duì)邊叫做三角形的底。相對(duì)來(lái)說(shuō)B版本教材，給出的定義相對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)一些。但是，教材并未把高的意義理解作為一個(gè)難點(diǎn)展開，只提到了在銳角三角形中的三條高的情況，顯然鈍角和直角三角形的高需要老師進(jìn)一步深化處理?；趯?duì)以上兩個(gè)版本的認(rèn)識(shí)及學(xué)生的學(xué)情，筆者將底和高分解為兩個(gè)課時(shí)進(jìn)行教學(xué)，第一課時(shí)教學(xué)三角形的底和高，第二課時(shí)教學(xué)梯形和和平行四邊形的底和高。初步研究過(guò)程舉例如下：

一、基于直覺(jué)，經(jīng)驗(yàn)改造

將高的概念建立在學(xué)生的直覺(jué)基礎(chǔ)上，進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)的改造。

《三角形的底和高》案例

環(huán)節(jié)一：填一填 這棵樹的高是（ ）米？

提問(wèn)：為什么不選2米？（不是頂點(diǎn)到地面的距離）

為什么不選7米？（沒(méi)有與地面垂直）

達(dá)成共識(shí)：樹高應(yīng)該是從頂點(diǎn)到地面的垂直距離。

如果樹被風(fēng)刮歪了，此時(shí)樹高又是指從哪兒到哪兒的距離？

區(qū)別樹長(zhǎng)和樹高的不同。

【設(shè)計(jì)意圖：開門見(jiàn)山，直接指向高的概念本質(zhì)，提煉出學(xué)生對(duì)高的直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)是從頂部到地面的垂直距離，利用臺(tái)風(fēng)把樹刮歪了，剝離樹長(zhǎng)與樹高，揭示樹高的本質(zhì)特征是由頂部到地面的垂直距離。】

環(huán)節(jié)二：鈍角三角形的底和高

圖1

圖2

圖3

先指一指圖一鈍角三角形的高，再將鈍角三角形翻了個(gè)身，找一找圖2中三角形的高，接著再翻了個(gè)身，指一指并畫一畫鈍角三角形的高。

【設(shè)計(jì)意圖：鈍角三角形對(duì)高的概念建立意義尤其重要，因?yàn)橛性趫D形外面的高，借助被風(fēng)吹歪的小樹經(jīng)驗(yàn)遷移，此時(shí)學(xué)生理解鈍角三角形的高水到渠成，最難的點(diǎn)反而是最簡(jiǎn)單的，達(dá)到事半功倍的效果。】

《梯形的高》案例

環(huán)節(jié)一：學(xué)生直覺(jué)的高

師：同學(xué)們，今天我們來(lái)認(rèn)識(shí)底和高。知道什么是高嗎？

誰(shuí)能來(lái)指一指或說(shuō)一說(shuō)。桌子高、身高、樓房高……

師：看大屏幕，什么是人的身高？從哪兒到哪兒的距離？

師：大家說(shuō)的高都有什么相同的地方？都是從地面開始到物體最高點(diǎn)的距離。這些高的線與地面形成什么關(guān)系？板書：從最高點(diǎn) 到 地面的垂直距離。

【設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生的直覺(jué)高入手，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察高，通過(guò)對(duì)比找出描述高的相同之處都是從地面開始到物體最高點(diǎn)的垂直距離。】

環(huán)節(jié)二：凳子的高

師：生活中像桌子這樣的物體有沒(méi)有高？它的高指的是從哪里到哪里的距離呢？

若取若干個(gè)點(diǎn)，這若干個(gè)點(diǎn)就成了什么？一條線，這條線與地面的線有什么關(guān)系？

讓孩子們說(shuō)一說(shuō)什么是桌子的高。（一組平行線之間的垂直距離）

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生找出凳子的高，發(fā)現(xiàn)可以找出無(wú)數(shù)條，且這些無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)連成線，與地面形成平行線的關(guān)系，從而得出一組平行線之間的垂直距離是梯形的高?！?/p>

以上，不論是以三角形的高入手還是以梯形的高入手，都借助了學(xué)生的直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光進(jìn)行觀察、歸納，建立高的初步概念。

二、豐富表象，以破促立

課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)空間觀念的描述關(guān)鍵之一是能想象物體的方位和相互之間的位置關(guān)系，學(xué)生能在圖形的運(yùn)動(dòng)和變化中能找到不變的關(guān)系便是極好的空間觀念。如，

《梯形的高》案例

師：如果把桌子放在斜坡上，這時(shí)候桌子的高指的是什么？

結(jié)論：高不變。

又如，旋轉(zhuǎn)梯形之后，讓學(xué)生找一找梯形的高。你發(fā)現(xiàn)了什么？

上述案例中，通過(guò)將凳子斜放找高，將梯形旋轉(zhuǎn)找一找高，把學(xué)生建立起來(lái)的高破一破，然后重新建立起來(lái)高的概念會(huì)更深刻，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

三、動(dòng)態(tài)勾聯(lián)，舉三返一

發(fā)展學(xué)生空間觀念，還有很重要的一條途徑是讓學(xué)生在變化中發(fā)現(xiàn)圖形之間不變的特點(diǎn)或相互之間的聯(lián)系，即化靜為動(dòng)，幫助核心概念理解。

如，在《三角形的底和高》案例中的拓展環(huán)節(jié)，用幾何畫板呈現(xiàn)了以下效果：

向左逐漸拖動(dòng)頂點(diǎn)A，三條高隨著位置不同的變化從圖形內(nèi)變換到圖形外，圖形也由銳角三角形逐漸變換成直角三角形（兩條直角邊互為底和高），最后變換成鈍角三角形，高在圖形的外面。

又如，在《底和高》復(fù)習(xí)課中進(jìn)行知識(shí)勾連，用幾何畫板呈現(xiàn)了以下動(dòng)態(tài)效果：

圖1

圖2

圖3

圖4

找一找圖形的高，你發(fā)現(xiàn)了什么？

上述案例，教材以不同形式呈現(xiàn)了三個(gè)圖形高的概念，學(xué)生識(shí)記起來(lái)比較多，因而需要有一個(gè)環(huán)節(jié)將這些圖形的底和高進(jìn)行勾連打通，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些高都在兩條平行線之間，將零碎的知識(shí)通過(guò)動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，歸納達(dá)到舉三返一的效果。

高的生活說(shuō)法是由下向上距離大或者離地面遠(yuǎn)，與低相對(duì)，數(shù)學(xué)上的定義是頂點(diǎn)到底部（頂點(diǎn)或平行線）的垂直距離，因此，很多老師將生活中的高與數(shù)學(xué)上的高完全割裂開來(lái)，讓學(xué)生重新理解數(shù)學(xué)上的高。在數(shù)學(xué)上，學(xué)生有了過(guò)一點(diǎn)畫一條線的垂線的經(jīng)驗(yàn)，所以許多老師在教學(xué)畫出三角形的高時(shí)都會(huì)讓學(xué)生找線找點(diǎn)，然后畫垂線?？蓪?shí)際上，很多孩子很難在一個(gè)鈍角三角形中找出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和線，因此，從銳角三角形到直角三角形最后再畫鈍角三角形的高，感覺(jué)是步步為難。教過(guò)老教材的老師們都有印象，畫鈍角三角形外的兩條高，有些孩子手把手地教，換了一個(gè)圖形又不會(huì)了，如此反復(fù)煞費(fèi)周折且效果不佳，我想應(yīng)該是孩子不理解高的意義吧。新教材中將畫鈍角三角形的高這一知識(shí)點(diǎn)給刪除了，降低了畫高的要求，然筆者認(rèn)為，在幾何圖形的學(xué)習(xí)里三角形是基礎(chǔ)圖形之一，高的意義理解非常重要，作為有經(jīng)驗(yàn)的老師應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到高這一概念對(duì)幾何教學(xué)的基礎(chǔ)作用，我們應(yīng)將高的概念教學(xué)作為研究點(diǎn)，幫助學(xué)生更輕松理解數(shù)學(xué)上高的定義，從而找到并能畫出圖形的高。

總之，本案例建構(gòu)高的概念基于學(xué)生的直覺(jué)，改造經(jīng)驗(yàn)，動(dòng)靜結(jié)合，豐富表象以達(dá)概念深刻，發(fā)展了空間觀念，關(guān)注了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。