數(shù)形結(jié)合
——幫助學(xué)生理解算理的金鑰匙——“隊(duì)列表演（一）”教學(xué)實(shí)踐與思考

福建省泉州市實(shí)驗(yàn)小學(xué)洛江校區(qū) 任紅藝

“隊(duì)列表演（一）”是北師大版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》三年級(jí)下冊(cè)“乘法”單元中的關(guān)于“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的橫式筆算”的內(nèi)容。這節(jié)計(jì)算課看似內(nèi)容簡單，實(shí)則具有豐富的教學(xué)價(jià)值?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)計(jì)算教學(xué)不僅要讓學(xué)生會(huì)算，更重要的是讓學(xué)生理解為什么這樣算?？v觀本課的教學(xué)內(nèi)容在小學(xué)數(shù)學(xué)乘法教學(xué)中的地位，我們可發(fā)現(xiàn)它是后續(xù)學(xué)生理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式筆算以及運(yùn)算律算理的重要載體，學(xué)生若是能通過本課的學(xué)習(xí)，真正理解算理、內(nèi)化算法，以后的教學(xué)定能事半功倍。帶著對(duì)教材的認(rèn)識(shí)和教學(xué)的設(shè)想，我進(jìn)行了試教，卻產(chǎn)生了諸多的教學(xué)困惑。

【教學(xué)困惑】

1.嘗試計(jì)算14×12 的結(jié)果時(shí)部分學(xué)生出現(xiàn)“個(gè)位數(shù)乘個(gè)位數(shù)、整十?dāng)?shù)乘整十?dāng)?shù)” 的 錯(cuò) 誤 想 法：4 ×2=8，10 ×10=100，8+100=108，究其原因，是受筆算加減法“相同數(shù)位上的數(shù)相加減”的定勢(shì)影響。這不禁引起了我的思考，怎樣幫助學(xué)生消除負(fù)遷移的影響，為后續(xù)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式筆算教學(xué)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)？

2.很多學(xué)生能機(jī)械模仿算法，卻對(duì)其中的算理理不清、道不明，教學(xué)中如何發(fā)揮“點(diǎn)子圖”橋梁和輔助作用，幫助學(xué)生尋找算法，理清算理便成了我重點(diǎn)關(guān)注的問題。

3.理解用點(diǎn)子圖的乘法運(yùn)算與列表的乘法運(yùn)算之間的聯(lián)系與區(qū)別是學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，怎樣化解這一難點(diǎn)是我竭力探索的教學(xué)問題。

基于對(duì)這幾個(gè)教學(xué)問題的思考，最終確定了以下教學(xué)方案，并取得了理想的教學(xué)效果?！窘虒W(xué)實(shí)踐】

一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

1.獲取信息

課件出示情境圖

師：學(xué)校舉行隊(duì)列表演，你瞧，同學(xué)們排得多整齊呀！從圖中你知道了什么數(shù)學(xué)信息？

生：每行14 人，共有12 行。

2.將情境圖抽象為點(diǎn)子圖

師：如果要把這幅隊(duì)列圖用我們的老朋友點(diǎn)子圖來表示，可以嗎？ 該怎么表示呢？

生：一個(gè)人比作一個(gè)點(diǎn)子，每行有14個(gè)點(diǎn)子，有12 行。

師：就像這位同學(xué)說的這樣，一人對(duì)應(yīng)一點(diǎn)，隊(duì)列圖就變成了點(diǎn)子圖了。

課件演示點(diǎn)子圖的生成過程：

3.提出問題。

師：根據(jù)這些信息，你想解決什么數(shù)學(xué)問題？

生：一共有多少人參加隊(duì)列表演？

4.嘗試列式

師：誰會(huì)列算式？還可以怎么列？

生1：12×14

生2：14×12

5.揭示課題

師：14×12 這個(gè)算式與我們之前學(xué)的有什么不同呢？

生：之前學(xué)的是兩位數(shù)乘一位數(shù)或整十?dāng)?shù)，而這是個(gè)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算式。

板書：兩位數(shù)乘兩位數(shù)

【思考】 創(chuàng)設(shè)隊(duì)列表演情境，由隊(duì)列圖抽象為點(diǎn)子圖，讓學(xué)生體會(huì)人與點(diǎn)之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，從中自主尋找數(shù)學(xué)信息、提出問題并列式，觀察算式與之前的不同，引出今天的探索內(nèi)容。

二、自主探究，解決問題

1.大膽嘗試

師：我們還沒學(xué)，你能算出它的得數(shù)嗎？

生1：168。

師：有不同想法的嗎？

生2：我把14 看作10 和4，12 看作10 和2 中，先算4×2=8，再算10×10=100 ，最后算8+100=108。

【思考】 探索之前先讓學(xué)生大膽嘗試計(jì)算，可了解學(xué)生的認(rèn)知水平，暴露學(xué)生的錯(cuò)誤想法，以便探索之后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有針對(duì)性的“診斷”，還可迅速地激發(fā)學(xué)生的探索欲望，可謂“一舉多得”！2.探索算法

師：14×12 究竟等于多少呢？想不想自己研究研究？今天就請(qǐng)點(diǎn)子圖來幫助我們學(xué)習(xí)吧。

（1）出示活動(dòng)要求

想一想、圈一圈：能用以前學(xué)過的知識(shí)求出14×12 的結(jié)果嗎？ 在點(diǎn)子圖上圈出自己的想法。

算一算、說一說：寫出計(jì)算過程，再結(jié)合點(diǎn)子圖和同桌互相交流想法。

指名學(xué)生讀活動(dòng)要求。

（2）獨(dú)立解決

完成學(xué)習(xí)單一的問題：先在點(diǎn)子圖上圈一圈，再寫出你的計(jì)算過程。

提醒：做完后，和身邊的同學(xué)互相說一說各自的想法。

【思考】 明確學(xué)習(xí)活動(dòng)要求，讓學(xué)生知道“想什么”、“做什么”、“說什么”，提高探究活動(dòng)的實(shí)效。為學(xué)生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，鼓勵(lì)學(xué)生借助點(diǎn)子圖圈一圈，再算一算，用已學(xué)的知識(shí)獨(dú)立解決。

3.展示交流。

師：孩子們，都完成了嗎？下面是我們的分享時(shí)間，只要你認(rèn)真傾聽，就能從別人的想法中獲得新的啟發(fā)，我們先請(qǐng)××同學(xué)上臺(tái)說一說自己是怎么圈，怎么算。

（交流的過程中，提醒學(xué)生指著點(diǎn)子圖說說每一個(gè)算式求出的是哪一部分。）

（1）展示學(xué)生作品1

生1：我把14 列分成了7 列和7 列，先用12×7=84 算出7 列有多少，再用84×2=168 求出總數(shù)。

師：看懂了嗎？有什么疑問嗎？

生2：為什么要乘2 呢？

生1：因?yàn)槲野芽倲?shù)分成了相同的兩部分。

師：這種計(jì)算方法用綜合算式怎么表示呢？

板書：12×7×2

（2）展示學(xué)生作品2

生：我是圈成了相同的兩部分，14×6算出其中的一部分，84+84 求出總數(shù)。

師：84+84 還可以寫成什么？

生：還可以寫成84×2。

師：老師也把這種方法記錄下來，怎么寫呢？

板書：14×6×2

（3）比較方法一和方法二。

（將兩張學(xué)習(xí)單同時(shí)展示）

師：謝謝兩位同學(xué)的分享！仔細(xì)觀察這兩位同學(xué)的想法，有什么相同之處嗎？

生：都是把總數(shù)平均分成了兩部分。

師：像這樣把總數(shù)平均分成了相同的兩部分，我們可以怎樣計(jì)算？

生：先求出每一份是多少，再乘2 份。

師：除此之外，我們班同學(xué)還有不同的想法，一起來看看他們是怎么想的！

（4）展示學(xué)生作品3

生：我的想法和他們不一樣，我是把12 行拆成了10 行和2 行，14×10=140 求出10 行有多少，14×2=28 求2 行有多少，再相加。

師：還有誰的想法也是這樣的呢？

（5）展示學(xué)生作品4

師：××同學(xué)是用以前學(xué)過的表格的方法來記錄自己的計(jì)算過程，你能讀懂這個(gè)表格的意思嗎？

生：我知道，他是把14 列分成10 列和4 列，表格中的120 和48 求出的是點(diǎn)子圖中的這兩部分，再加起來。

師：看來你很善于讀懂別人的想法。

（6）展示學(xué)生作品5

師：剛才老師發(fā)現(xiàn)有個(gè)同學(xué)的想法是這樣的，一起來看看！知道這位同學(xué)是怎么圈的呢？

生：他是把14 列分成了10 列和4列，12 行分成了10 行和2 行。

師在學(xué)習(xí)單上標(biāo)出：

師：是的，他把兩個(gè)數(shù)同時(shí)拆分了。

師：這樣就把總數(shù)分成了幾部分，誰能結(jié)合點(diǎn)子圖說一說每一部分是怎么算的？

指名學(xué)生上臺(tái)說每一步怎么算，算出的是哪一部分。

師把學(xué)生的想法記錄在學(xué)習(xí)單上：

師：說得有條有理的，掌聲送給他！

【思考】 抽象的算理難以理解，更難以表達(dá)，為此，在展示交流的過程中，要讓學(xué)生結(jié)合點(diǎn)子圖說說自己是怎么圈，怎么算，借助點(diǎn)子圖來闡明算理，使得深?yuàn)W的算理能讓學(xué)生看得見，說得清。并體會(huì)算法的多樣性，歸納算法，感悟算法的不同之處，為日后建構(gòu)“乘法結(jié)合律和乘法分配律”的模型埋下伏筆。

4.溝通聯(lián)系

師：孩子們，你們果然善于觀察、善于思考，想出了這么多種的計(jì)算方法，一起來回憶我們的研究過程，想一想我們是怎么找到14×12 的這些計(jì)算方法的呢？

生1：我們?cè)邳c(diǎn)子圖上圈一圈、分一分。

師：誰有補(bǔ)充？

生2：把數(shù)拆分了，先算出每一部分，再相加。

師：我們?yōu)槭裁匆@樣分、這樣算呢？

生3：這樣比較好算。

生4：可以用以前學(xué)過的兩位數(shù)乘一位數(shù)的方法來計(jì)算了。

師：是呀，就像同學(xué)們說的，我們都是通過先分再合，把兩位數(shù)乘兩位數(shù)變成我們以前學(xué)過的兩位數(shù)乘一位數(shù)或整十?dāng)?shù)。用舊知識(shí)來解決新問題，這可是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種重要思想，叫“轉(zhuǎn)化”！運(yùn)用轉(zhuǎn)化，以后還能幫助我們解決更多的問題呢！

【思考】 引導(dǎo)學(xué)生回憶研究過程，思考、交流是怎么找到14×12 的計(jì)算方法，從而發(fā)現(xiàn)算法雖然不同，但都是先分再合，將其轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的知識(shí)，感悟“轉(zhuǎn)化”思想的重要性。

5.讀懂表格法

師：淘氣看到同學(xué)們想出了這么多種方法，也想試試，他是用表格記錄這種想法，誰能說一說每格中的數(shù)是怎么得來的？求出的是點(diǎn)子圖中的哪一部分？

課件出示：

生結(jié)合點(diǎn)子圖解釋表格計(jì)算的道理。

師：是同學(xué)說的這樣嗎？我們一起來看看！

課件動(dòng)態(tài)演示：將表格與點(diǎn)子圖合二為一。

師：表格中的四個(gè)數(shù)和點(diǎn)子圖中的四部分怎么啦？（生：重合了?。┮灰粚?duì)應(yīng)了，看來用表格也是可以記錄出我們的計(jì)算過程，而且比起畫點(diǎn)子圖來更——（生：簡單）！

【思考】 通過課件動(dòng)態(tài)演示表格嵌入、抽出點(diǎn)子圖的過程，幫助學(xué)生溝通點(diǎn)子圖、算式和表格之間的聯(lián)系，讓學(xué)生體會(huì)用列表法也是可以記錄計(jì)算過程，而且避免了畫點(diǎn)子圖的麻煩。

6.診斷錯(cuò)因

師：現(xiàn)在回過頭再來看××同學(xué)108 的計(jì)算過程，對(duì)照表格，想一想，錯(cuò)在哪了嗎？

師：要不請(qǐng)××同學(xué)自己來說說。

生1：我只算了8 和100 兩部分，少算了40 和20 兩個(gè)部分。

結(jié)合學(xué)生的回答，課件動(dòng)態(tài)演示。

師：能自己發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤是件不容易的事，但是你做到了！

生2：他是用個(gè)位數(shù)乘個(gè)位數(shù)，整十?dāng)?shù)乘整十?dāng)?shù)的方法來計(jì)算的，這樣就漏算了兩部分。

師：贊同嗎？

師將板書中108 的錯(cuò)誤計(jì)算方法擦掉。

師：今天我們?cè)邳c(diǎn)子圖的幫助下，經(jīng)過自主探究，一起找到了14×12 正確的計(jì)算方法，得出——

板書： 168（人）

答：有168 人參加隊(duì)列表演。

【思考】借助直觀模型，動(dòng)態(tài)演示從部分到整體的變化過程，幫助學(xué)生診斷錯(cuò)誤的原因，進(jìn)一步理解和掌握算理算法。

7.優(yōu)化算法

師：在這些方法中，你喜歡哪一種？為什么？

生1：我喜歡將12 拆成10 和2，分別與14 相乘，再把乘積相加。

生2：把12 拆成2 個(gè)6，用連乘的方法計(jì)算，也很好算。

生3：我喜歡用表格的方法。

三、鞏固應(yīng)用，加深理解

師：看來，同學(xué)們都有各自喜歡的方法，接下來就請(qǐng)同學(xué)們用自己探究的方法來完成這一道題！

課件出示：

1.認(rèn)真觀察點(diǎn)子圖，結(jié)合算式先分一分，再選一選：14×8=7×4×？。 （ ）

學(xué)生獨(dú)立嘗試。

學(xué)生交流想法：

生1：14 分成了7 和7，8 分成4 和4，7×4 求出每一部分是多少，有這樣的4部分，再乘4 求出總數(shù)。

生2：不用分點(diǎn)子也能想出答案，14里有2 個(gè)7，8 里有2 個(gè)4，2×2=4 可以看出是把總數(shù)平均分成了4 部分。

師：能觀察數(shù)的特點(diǎn)，分析是怎么拆分的，是個(gè)會(huì)思考的孩子！你們能像這位同學(xué)這樣不借助點(diǎn)子圖，計(jì)算下面兩題嗎？

2.用喜歡的方法計(jì)算下面這兩題。

15×11 23×12

學(xué)生獨(dú)立完成。

集體交流想法。

【思考】 在練習(xí)中，呈現(xiàn)富有思考價(jià)值的問題，打破了“把總數(shù)分成相同的兩部分”的思維定勢(shì)，進(jìn)一步拓寬了學(xué)生的思維空間。選擇喜歡的方法計(jì)算，脫離直觀模型，促使學(xué)生的認(rèn)識(shí)實(shí)現(xiàn)由“形”到“數(shù)”的提升。

四、全課總結(jié)，拓展延伸

師：今天我們用以前學(xué)過的兩位數(shù)乘一位數(shù)的知識(shí)，探索了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法，在接下來的學(xué)習(xí)中，你還想研究什么呢？

生：我想研究兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式計(jì)算。

生：我想學(xué)習(xí)三位數(shù)乘兩位數(shù)。

師：學(xué)習(xí)最大的快樂莫過于自己去研究、自己去發(fā)現(xiàn)，帶著這些問題，走出課堂，繼續(xù)你們的探索之旅吧！

【思考】 一節(jié)課的結(jié)束，不是學(xué)習(xí)的終點(diǎn)，而應(yīng)是新的起點(diǎn)，讓學(xué)生帶著問題走出課堂，做到課雖終而新的學(xué)習(xí)之旅已開啟。

五、板書設(shè)計(jì)

隊(duì)列表演（一）

【教學(xué)對(duì)策】

三年級(jí)的孩子正處于以具體思維為主向以抽象思維為主過渡的階段，理解抽象的算理對(duì)于他們來說還是有一定的困難，如何促使學(xué)生深刻理解算理，提升思維，數(shù)形結(jié)合思想是把“金鑰匙”，本節(jié)課的教學(xué)將數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用發(fā)揮得淋漓盡致，學(xué)生對(duì)算理的理解經(jīng)由形象的人——符號(hào)的點(diǎn)——整體的面——抽象的式層層提升。

1.借助圖形，闡明算理

課始，14×12 的計(jì)算結(jié)果有相當(dāng)一部分學(xué)生是能準(zhǔn)確說出答案的，但為什么會(huì)等于168，對(duì)于多數(shù)學(xué)生來說要進(jìn)行合理地推算，闡明計(jì)算道理卻有一定的難度的。教學(xué)中，老師直面學(xué)生的學(xué)習(xí)困惑，將隊(duì)列圖抽象為點(diǎn)子圖，讓學(xué)生借助老朋友點(diǎn)子圖嘗試探索拆分計(jì)算，在交流展示多樣算法時(shí)，老師著重引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合點(diǎn)子圖“說”算法，清晰表達(dá)分與合的思考過程，將直觀模型與計(jì)算過程一一對(duì)應(yīng)，從而使抽象的算理變得看得見、說得清。

2.數(shù)形結(jié)合，溝通算理

本節(jié)課主要是利用點(diǎn)子圖和表格幫助學(xué)生探索兩位數(shù)乘兩位數(shù)的橫式筆算方法，在學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算方法時(shí)學(xué)生已經(jīng)積累了一定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)中給予學(xué)生自主探索的時(shí)間與空間，讓學(xué)生結(jié)合點(diǎn)子圖解釋表格計(jì)算的道理，為了驗(yàn)證學(xué)生的想法，充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的作用，巧妙地借助課件，將表格嵌入點(diǎn)子圖感悟數(shù)、圖、式三者的聯(lián)系，使學(xué)生能直觀感受到表格的四個(gè)數(shù)與點(diǎn)子圖的四部分一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，再從點(diǎn)子圖中抽出表格，引導(dǎo)學(xué)生將點(diǎn)子圖與表格進(jìn)行比較，體會(huì)列表計(jì)算是用點(diǎn)子圖計(jì)算的抽象形式，列表計(jì)算比畫點(diǎn)子圖來更簡潔。通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化, 將點(diǎn)子圖的直觀運(yùn)算與列表的抽象運(yùn)算結(jié)合起來，溝通了方法之間的聯(lián)系。

3.依托直觀，辨析算理

新課標(biāo)倡導(dǎo)：學(xué)生要能在他人的指導(dǎo)下，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的錯(cuò)誤并及時(shí)改正。通過前測(cè)，我們發(fā)現(xiàn)在計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)有學(xué)生出現(xiàn)“個(gè)位數(shù)乘個(gè)位數(shù)，整十?dāng)?shù)乘整十?dāng)?shù)”的錯(cuò)誤方法，對(duì)于為什么不能這樣計(jì)算呢？其他學(xué)生也是無從說起。為此，課上老師巧妙結(jié)合表格的計(jì)算方法，讓學(xué)生對(duì)照表格尋找錯(cuò)因，多數(shù)學(xué)生在對(duì)比中能清晰地發(fā)現(xiàn)只算了4×2=8 和10×10=100 兩部分，少算了10×4=40 和10×2=20 兩部分，這時(shí)，借助課件動(dòng)態(tài)演示，體會(huì)從“部分”到“整體”的生成過程，依托直觀，剖析計(jì)算方法的錯(cuò)因，使學(xué)生對(duì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理有了更為深刻的理解，為下節(jié)課豎式計(jì)算的學(xué)習(xí)消除認(rèn)識(shí)障礙。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題?！笨梢?，算理探究與算法掌握同等重要，學(xué)生唯有掌握算理，才能在實(shí)際運(yùn)算中進(jìn)行靈活的運(yùn)用，而“數(shù)形結(jié)合”在算理與算法之間架起了一座橋梁，借助直觀的“形”理解抽象的“數(shù)”，將算理化隱為顯，變得可表達(dá)，化難為易，變得能理解，當(dāng)學(xué)生真正地理解算理時(shí)，他們對(duì)算法的掌握就不再是簡單的模仿、機(jī)械的套用，而是理解后的運(yùn)用。