基于半定規(guī)劃的無源跟蹤最佳傳感器選擇*

蔡立平，左 燕*，王文光

（1.杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，杭州 310018；2.北京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，北京 100191）

0 引言

相比有源定位系統(tǒng)，無源定位系統(tǒng)具有不主動(dòng)發(fā)射電磁信號(hào)、生存能力強(qiáng)、隱蔽性能好、探測(cè)作用距離遠(yuǎn)等重要優(yōu)點(diǎn)，近幾十年來受到國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者和工程技術(shù)人員的廣泛關(guān)注和深入研究［1-2］。多站無源定位系統(tǒng)通過多個(gè)觀測(cè)值獲取更多的量測(cè)信息，通過多站協(xié)同提高目標(biāo)定位精度［3］。由于許多被動(dòng)式傳感器（如紅外、聲吶等）都只能得到角度信息，研究基于角度信息的無源協(xié)同定位跟蹤具有實(shí)際意義。

基于角度信息的定位系統(tǒng)目標(biāo)估計(jì)誤差與目標(biāo)和傳感器之間的幾何關(guān)系相關(guān)，在接收站量測(cè)噪聲的概率分布相同的情況下，適當(dāng)選擇不同位置的傳感器可以提高系統(tǒng)對(duì)目標(biāo)的跟蹤性能。王國剛［4］在忽略地球曲率及兩觀測(cè)站指向誤差，假定目標(biāo)到基線的距離一定且基線與X 軸平行的情況下，推導(dǎo)了二維空間相對(duì)誤差幾何稀釋度（GDOP）的具體表達(dá)式，得出了GDOP 與傳感器精度及其布站方式有關(guān)。Levanon［5］給出了二維空間特殊情況下的最優(yōu)布站，即當(dāng)目標(biāo)位于正n 邊形的中心時(shí)，多站位于正n邊形的頂點(diǎn)。修建娟［6］重點(diǎn)研究了二維空間的交會(huì)角，推導(dǎo)了基線長度一定時(shí)最優(yōu)交會(huì)角，給出了目標(biāo)速度較慢的情況下的最優(yōu)布站條件。徐國訓(xùn)［7］針對(duì)接收站到目標(biāo)距離恒定和角度恒定兩種情況，將Fish 信息矩陣（FIM）行列式最大作為指標(biāo)進(jìn)行了分析，給出了二維空間中四站及以下的最優(yōu)構(gòu)型，并給出了兩站和三站在各站到目標(biāo)距離相同的限制條件下的角度關(guān)系的解析解。

上述研究主要集中在二維空間，得到的幾何分析用于指導(dǎo)傳感器靜態(tài)布站。本文從基于角度信息的無源定位系統(tǒng)協(xié)同跟蹤性能的角度出發(fā)，推導(dǎo)三維空間下目標(biāo)的CRLB，分析CRLB 指標(biāo)與傳感器和目標(biāo)之間關(guān)系。以CRLB 行列式最大值為優(yōu)化指標(biāo)，考慮傳感器自身的探測(cè)能力等實(shí)際約束，基于目標(biāo)狀態(tài)的一步預(yù)測(cè)動(dòng)態(tài)選擇最佳傳感器組合進(jìn)行協(xié)同跟蹤。采用SDP 的方法將上述組合優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為凸優(yōu)化問題，進(jìn)行優(yōu)化求解，仿真結(jié)果驗(yàn)證了算法的有效性［8-10］。

1 問題描述

假設(shè)M 個(gè)被動(dòng)傳感器組成的陣列對(duì)P 個(gè)機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行定位跟蹤，利用多站純角度（AOA，Angel of Arrival）量測(cè)值估計(jì)三維空間內(nèi)的機(jī)動(dòng)目標(biāo)的狀態(tài)（位置、速度）。為滿足基于AOA 的多站被動(dòng)跟蹤問題的可觀測(cè)性，至少需要保證兩個(gè)及以上的被動(dòng)傳感器跟蹤一個(gè)目標(biāo)。每一時(shí)刻，從M 個(gè)被動(dòng)傳感器中動(dòng)態(tài)選擇m 個(gè)最佳傳感器對(duì)每個(gè)機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行定位跟蹤（m≥2，且m 值受融合處理中心傳輸通信信道的制約），提高目標(biāo)的跟蹤性能（如圖1 所示）。

1.1 運(yùn)動(dòng)模型

由于目標(biāo)是機(jī)動(dòng)的，不能用一個(gè)固定的模型來描述目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)特性。通?？梢园褭C(jī)動(dòng)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)近似為多個(gè)模型的組合，如勻速（CV）模型、勻加速（CA）模型、勻角速度轉(zhuǎn)彎（CT）模型、Singer 模型、當(dāng)前統(tǒng)計(jì)模型等。

圖1 多站被動(dòng)傳感器協(xié)同定位跟蹤

k 時(shí)刻每個(gè)機(jī)動(dòng)目標(biāo)t 的運(yùn)動(dòng)方程可描述為

1.2 量測(cè)模型

2 純角度量測(cè)參數(shù)估計(jì)下CRLB

目標(biāo)跟蹤定位的性能通常用CRLB 或者FIM（與誤差橢球相關(guān)）來進(jìn)行評(píng)估，基于AOA 多站被動(dòng)跟蹤下對(duì)目標(biāo)t 估計(jì)的CRLB 可寫為

3 基于CRLB 的行列式最大最小化的傳感器動(dòng)態(tài)選擇

3.1 傳感器選擇優(yōu)化模型

3.2 基于半定規(guī)劃的傳感器選擇

根據(jù)舒爾補(bǔ)不等式［8］

可以得到：

根據(jù)下三角矩陣的性質(zhì)對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變換得到：

此時(shí)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成如下半定規(guī)劃（SDP）問題：

用以上方法得到最佳的傳感器后再基于所選擇的傳感器采用IMM［9］跟蹤算法對(duì)多個(gè)機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。

4 仿真及分析

圖2 傳感器位置分布圖

采用CV、CA、CT 3 種模型作為參考模型來跟蹤機(jī)動(dòng)目標(biāo)，目標(biāo)1 和目標(biāo)2 模型的先驗(yàn)概率和Markov 轉(zhuǎn)移概率均設(shè)為相同，即

圖3 不同算法下最佳傳感器選擇結(jié)果

將SDP 算法和基于松弛算法和隨機(jī)分配進(jìn)行仿真比較分析，圖3 給出基于松弛算法的傳感器分配結(jié)果和基于SDP 算法的傳感器分配結(jié)果，不同的算法獲得的最佳傳感器集合不同。

為了進(jìn)一步分析傳感器-目標(biāo)幾何關(guān)系對(duì)傳感器選擇的影響，采用定位精度的幾何稀釋（GDOP，Geometrical Dilution of Precision）指標(biāo)來描述定位誤差的三維幾何分布，其表達(dá)形式如下：

圖4 目標(biāo)1 傳感器選擇和GDOP 等值線圖

圖5 目標(biāo)2 傳感器選擇和GDOP 等值線圖

圖4 和圖5 分別給出某一時(shí)刻目標(biāo)1 和目標(biāo)2對(duì)應(yīng)的GDOP 等值線圖，圖4 和圖5 顯示當(dāng)目標(biāo)在傳感器陣列平面上的投影點(diǎn)與可探測(cè)被動(dòng)傳感器位置在一定程度上靠近時(shí)，GDOP 定位誤差減小，幾何關(guān)系明顯改善。然而受高度影響，無法得到最佳傳感器位置與目標(biāo)實(shí)際高度之間的最優(yōu)幾何關(guān)系。

圖6 目標(biāo)位置RMSE

圖6 給出了各目標(biāo)位置均方根誤差曲線，對(duì)于目標(biāo)1，基于SDP 的傳感器選擇算法和基于松弛的傳感器選擇算法的跟蹤性能，明顯優(yōu)于隨機(jī)傳感器選擇算法；對(duì)于目標(biāo)2，基于SDP 的傳感器選擇算法跟蹤性能，明顯優(yōu)于基于松弛的傳感器選擇算法和隨機(jī)傳感器選擇算法。

5 結(jié)論

本文針對(duì)三維空間下機(jī)動(dòng)目標(biāo)，提出了一種基于半定規(guī)劃的無源協(xié)同跟蹤下最佳傳感器選擇方法。首先，推導(dǎo)了三維空間下目標(biāo)的CRLB，分析了CRLB 指標(biāo)與傳感器和目標(biāo)之間關(guān)系。以此，構(gòu)建基于CRLB 的行列式最大最小化指標(biāo)的傳感器選擇模型。采用SDP 方法將上述組合優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成凸優(yōu)化問題，并進(jìn)行優(yōu)化求解。仿真結(jié)果顯示以CRLB 的行列式作為指標(biāo)，通過改善傳感器和目標(biāo)之間的幾何關(guān)系可以提高跟蹤性能。與松弛算法和隨機(jī)選擇算法兩種算法進(jìn)行比較研究，基于SDP 的傳感器選擇可以進(jìn)一步提高無源協(xié)同跟蹤的精度。