指數(shù)Levy跳擴散模型下一類新型期權(quán)的定價研究

趙家家

摘 要 在指數(shù)levy跳擴散模型下，通過在確定的兩個時間點之間設(shè)置一個特定的常數(shù)障礙水平，構(gòu)造出一類兩時間點兩資產(chǎn)最大或最小值障礙期權(quán).這種新型期權(quán)具有兩時間點彩虹期權(quán)與障礙期權(quán)的雙重性質(zhì)，使得該新型期權(quán)在未定權(quán)益定價方面的應(yīng)用更為廣泛.最后利用鞅方法，給出了該類期權(quán)的定價公式.

關(guān)鍵詞 金融數(shù)學(xué);新型期權(quán);鞅方法;levy

中圖分類號 F830.9文獻標(biāo)識碼 A

Abstract Under the exponential levy jump diffusion model， this paper constructs a class of barrier options on the maximum or minimum of two assets with two time points by setting a specific constant barrier level between two fixed time points.The new options have the dual properties of the two assets rainbow options and barrier options，which makes them more widely used in the pricing of contingent claims.Finally， we give their pricing formulas by martingale method.

Key words Financial mathematics;New options;Martingale method;Levy

1 引 言

近些年來，奇異期權(quán)的定價問題成為人們的研究熱點，其中的彩虹期權(quán)已經(jīng)取得了一些重要的成果.Snorre和Lindset（2006）[1]在利率滿足高斯模型的情形下，利用測度變換和鞅方法給出了多個資產(chǎn)的最大或最小值期權(quán)的定價表達式。陶雅楠（2012）[2]基于BlackScholes模型，擴展研究了兩資產(chǎn)最小或最大值期權(quán)，構(gòu)造出兩時間點彩虹期權(quán)這一新型期權(quán)，利用測度變換和風(fēng)險中性定價的方法推導(dǎo)出參數(shù)與時間有關(guān)的該新型期權(quán)的解析定價公式。石方圓等（2017）[3]在標(biāo)的資產(chǎn)價格服從帶跳的OrnsteinUhlenback（OU）過程模型下，基于無風(fēng)險利率為時間的確定函數(shù)的假設(shè)，利用保險精算方法給出了彩虹期權(quán)的定價公式。石方圓和李翠香（2017）[4]在標(biāo)的資產(chǎn)價格變化服從OU過程，利率服從Vasicek模型的假設(shè)下，同樣采用保險精算方法推導(dǎo)了彩虹期權(quán)的定價公式.出于降低權(quán)利金成本的目的，綜合考慮障礙期權(quán)能夠降低期權(quán)價格、兩時間點彩虹期權(quán)能夠有效分散風(fēng)險的優(yōu)點，將陶雅楠所研究的兩時間點彩虹期權(quán)與障礙期權(quán)進行結(jié)合，構(gòu)造出一種新型期權(quán)的復(fù)合期權(quán)，即兩時間點兩資產(chǎn)最大或最小值障礙期權(quán)，又稱為新型兩時間點彩虹期權(quán).

通過利用python和matlab軟件，分別計算出標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)，兩時間點彩虹期權(quán)與新型兩時間點彩虹期權(quán)的理論價值，經(jīng)比較得到新型兩時間點彩虹期權(quán)能夠有效降低期權(quán)金.

2 新型兩時間點彩虹期權(quán)的定價

2.1 資產(chǎn)定價模型介紹

為了更好的模擬由于市場的不完備性導(dǎo)致標(biāo)的資產(chǎn)價格產(chǎn)生的各種隨機擾動，在文[2]的定價模型基礎(chǔ)上加入了指數(shù)levy跳過程.

由表1可知，在相同的標(biāo)的股票初始價格情況下，新型兩時間點彩虹期權(quán)均低于標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)和兩時間點彩虹期權(quán)的權(quán)利金，從而驗證了新型兩時間點彩虹期權(quán)具有降低權(quán)利金成本的效果.

4 結(jié) 論

構(gòu)造的兩時間點兩資產(chǎn)最大或最小值障礙期權(quán)結(jié)合了兩時間點彩虹期權(quán)與障礙期權(quán)的特點，采用了一種在文[2]中標(biāo)的資產(chǎn)S1， S2滿足模型的基礎(chǔ)上進行創(chuàng)新的指數(shù)levy跳擴散資產(chǎn)定價模型，并通過數(shù)值算例驗證了該新型兩時間點彩虹期權(quán)能切實的達到降低期權(quán)權(quán)利金的作用.且在指數(shù)levy跳擴散模型下，對于兩時間點兩資產(chǎn)最大或最小值障礙看漲看跌期權(quán)，當(dāng)滿足標(biāo)的資產(chǎn)價格S1（t），S2（t），具有股息收益率q1（t），q2（t）;下障礙SB趨于0，即沒有障礙;定價模型中不含跳（N=0）等條件時，此時得到的結(jié)果就是文[2]中的結(jié)果.綜上，上述定理進一步推展了文[2]的相關(guān)結(jié)果.

參考文獻

[1] SNORRE，LINDSET. A Generalization of the Formulas for Options on the Maximum or the Minimum of Several Assets[J].The European Journal of Finance，2006，12（8）：717-730.

[2] 陶雅楠.關(guān)于兩種新型奇異期權(quán)的定價問題[D].石家莊：河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，2012.

[3] 石方圓，楊立保，李翠香.基于帶跳的O-U過程的彩虹期權(quán)定價[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）， 2017， 40（12）：1714-1718.

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