參照零模型的實證網(wǎng)絡(luò)傳播影響因素分析

周建云，劉真真，許小可

(大連民族大學信息與通信工程學院，遼寧 大連 116600)

0 引言

近年來多種傳染病頻繁爆發(fā)，給社會帶來巨大的災(zāi)難并造成大量的人員損失，是人們關(guān)注的熱點問題，因此研究疾病傳播具有重要的意義和價值。通過構(gòu)建疾病傳播模型，研究復(fù)雜社會網(wǎng)絡(luò)上的疾病傳播規(guī)律，有利于分析影響疾病傳播的因素，而且能夠有針對性地采取防控措施，達到抑制疾病傳播的目的。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中疾病傳播的研究，尤其是網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對傳播的影響，近年來受到眾多研究人員的關(guān)注。早在1998年，Watts和Strogatz就指出“小世界效應(yīng)”會加速傳染病在網(wǎng)絡(luò)中的傳播[1]。Pastor Satorras和Vespignani發(fā)現(xiàn)，在度不相關(guān)的網(wǎng)絡(luò)中網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性對疾病的傳播有著關(guān)鍵的影響；尤其是在大規(guī)模無標度網(wǎng)絡(luò)上，不管傳播閾值多低，疾病都會一直存在[2]。Eguiluz和Klemm指出，在SIS傳染模型中，即使度分布的二階矩發(fā)散，也存在非零的傳播閾值，并提出度關(guān)聯(lián)和高聚類系數(shù)可以抑制疾病在網(wǎng)絡(luò)上的傳播[3]。周冬梅等人基于雙層網(wǎng)絡(luò)的研究發(fā)現(xiàn)，層與層之間同配連接有益于信息的傳播，而異配連接則會抑制信息的傳播[4]。Liu和Hu發(fā)現(xiàn)，與隨機均勻網(wǎng)絡(luò)相比，在具有社團結(jié)構(gòu)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的疾病傳播有較小的傳染臨界值和更大的穩(wěn)態(tài)感染密度[5]。Huang和Li發(fā)現(xiàn)，疾病在具有社團結(jié)構(gòu)的無標度網(wǎng)絡(luò)中的傳播范圍要遠遠小于一般的無標度網(wǎng)絡(luò)[6]。Zhou發(fā)現(xiàn)，在具有社團結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)中，隨著傳播速率的增加，感染密度會表現(xiàn)出穩(wěn)態(tài)、不穩(wěn)定振蕩或周期振蕩等不同特性[7]。王寧寧指出疾病更容易在無標度網(wǎng)絡(luò)中傳播，無標度網(wǎng)絡(luò)社團之間的耦合強度不會影響最終的染病人數(shù)，但社團結(jié)構(gòu)的存在會縮短疾病傳播達到穩(wěn)態(tài)的時間[8]。Wu和Liu研究指出，在無標度網(wǎng)絡(luò)中，社團結(jié)構(gòu)和高聚集系數(shù)是疾病傳播的不利因素，將會抑制疾病在網(wǎng)絡(luò)中的傳播[9]。

以上研究中，大都分析復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中單一結(jié)構(gòu)因素對傳播的影響，但是實證網(wǎng)絡(luò)中某個統(tǒng)計特征的變化往往會導(dǎo)致其它很多特征的同步變化，而疾病傳播的結(jié)果是多種因素共同作用的結(jié)果，現(xiàn)有研究中一般無法區(qū)分各因素的不同作用。在本文中，我們提出一種新的研究思路，將疾病傳播模型與零模型相結(jié)合，討論在多結(jié)構(gòu)因素影響下(對應(yīng)多種零模型)，何種結(jié)構(gòu)因素對疾病傳播起著至關(guān)重要的作用，從而更加全面和系統(tǒng)地分析網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征對疾病傳播的影響。具體地，根據(jù)實證社會網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建出不同階零模型[10]，在原始網(wǎng)絡(luò)與零模型網(wǎng)絡(luò)上進行疾病傳播的仿真實驗，比較不同零模型與原始網(wǎng)絡(luò)之間的特征差異對傳播有何影響。結(jié)果顯示，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點之間的最短路徑是影響傳播速度的最重要因素，該因素的影響要遠遠大于網(wǎng)絡(luò)度分布(1階特性)、度匹配(2階特性)和聚類系數(shù)(3階特性)；網(wǎng)絡(luò)度分布是影響傳播范圍的主要因素。在增強和減弱度匹配特性零模型上進行傳播仿真實驗發(fā)現(xiàn)：同配系數(shù)與傳播速度之間不具有強相關(guān)關(guān)系，而平均最短路徑長度是影響傳播速度的最重要因素。此外，社團結(jié)構(gòu)的強度變化引起網(wǎng)絡(luò)平均最短路徑長度的改變，從而對疾病的傳播造成影響，更加印證了網(wǎng)絡(luò)平均最短路徑長度是影響傳播速度的最重要因素。

1 基于0-3階零模型的傳播分析

1.1 傳播模型簡介

經(jīng)典的疾病傳播模型有SI模型[11]、SIS模型[12]以及SIR模型[13]等。本文研究框架具有通用性，因此理論上可以使用本文框架研究任意傳播模型在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的傳播。考慮到SI模型機制最簡單，本文主要基于SI模型研究網(wǎng)絡(luò)中的傳播速度，同時基于SIS模型研究傳播范圍。在SI模型中，處于易感狀態(tài)(Susceptible)的個體為易感染者，表明其當前時刻為健康狀態(tài)，當其與處于感染狀態(tài)(Infected)的感染者有接觸時，易感染者以感染率β被感染，變?yōu)楦腥菊?；感染者不會變回易感染者。這種假設(shè)對于研究難以治愈的疾病或者突發(fā)疾病的短期爆發(fā)過程等都是合理的。SI模型的感染機制可由式(1)來描述：

(1)

其中，S(i)為初始時的易感染者，I(j)為感染者，I(i)表示S(i)被感染成為的感染者，右邊的I(j)表示感染者不會變回易感染者。

表1 SI模型算法流程Tab.1 The flow chart of SI model

SI算法的流程如表1所示，其中，感染者數(shù)量為I，易感者數(shù)量為S，總數(shù)N=S+I；感染率β表示易感染者在單位時間被染病鄰居感染的概率。在本文的研究中,初始時刻總是選取一個個體設(shè)為感染者(I=1)，剩余個體均為易感者(S=N-1)；設(shè)Δt=1。

SIS模型是基于SI模型的一種變形，在SIS模型中，節(jié)點被感染后將會以概率γ恢復(fù)成為易感轉(zhuǎn)狀態(tài)，之后與感染者接觸時，仍以感染率β被感染。

1.2 0-3階隨機斷邊重連零模型

一般而言，使用網(wǎng)絡(luò)零模型的主要目的是檢測實證網(wǎng)絡(luò)的非平凡特性，這就需要從粗糙到精確逐步逼近原始網(wǎng)絡(luò)。文獻[14-15]為了逐步逼近實證網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)原始網(wǎng)絡(luò)的基本特性，將網(wǎng)絡(luò)中的基本組成單元分成不同的小模塊。不同階數(shù)零模型之間并不是獨立的，按照約束條件從少到多，存在一種包含關(guān)系，即0k?1k?2k?…(n-1)k?nk，任何一個n階零模型都會包含n-1階零模型的性質(zhì)[16]。

圖1 0-3階零模型的構(gòu)造過程Fig.1 The construction process of 0-3k null models

在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中常用的零模型為0-3階零模型，本文應(yīng)用隨機斷邊重連方法構(gòu)建零模型[17]，圖1展示了基于斷邊重連方法構(gòu)造0-3階零模型的具體過程。0階零模型只需保持和原始網(wǎng)絡(luò)相同的節(jié)點數(shù)和平均度。圖1a為0階零模型的構(gòu)造過程，在原始網(wǎng)絡(luò)中隨機選擇一條連邊AB斷開，并隨機選擇兩個不相連的節(jié)點A、D，在兩節(jié)點之間添加一條連邊。1階零模型主要是保證與原始網(wǎng)絡(luò)具有相同的節(jié)點度分布(度序列)。圖1b為1階零模型的構(gòu)造過程，若原始網(wǎng)絡(luò)中存在節(jié)點A、B、C、D，且A與B相連，C與D相連，A和D不相連，B和C不相連；將AB和CD斷開，使A與D相連，B與C相連，則保持了原始網(wǎng)絡(luò)的度分布(度序列)不變。2階零模型與原始網(wǎng)絡(luò)具有相同的聯(lián)合度分布，聯(lián)合度分布是指每條邊兩端連接節(jié)點的度值數(shù)目(概率)。若m(k1,k2)為度為k1和k2的節(jié)點之間連邊的總數(shù)，則p(k1,k2)=m(k1,k2)μ(k1,k2)/2m，其中，若k1=k2，則μ(k1,k2)=2；否則，μ(k1,k2)=1。圖1c是2階零模型的構(gòu)造過程，保持網(wǎng)絡(luò)的聯(lián)合度分布不變，僅比一階特性多了一層限制，即要求連邊在隨機置亂時，節(jié)點B與D具有相同的度值。3階零模型與原始網(wǎng)絡(luò)具有相同的聯(lián)合邊度分布p(k1,k2,k3)，就要求零模型網(wǎng)絡(luò)和原始網(wǎng)絡(luò)具有相同的開三角形和閉三角形分布。聯(lián)合邊度分布考慮到三個節(jié)點之間的相互連接性，主要有兩種情況：一種是開三角形，即3個節(jié)點用2條邊來連接稱為pΛ(k1,k2,k3)；另一種是閉三角形，3個節(jié)點形成一個環(huán)稱為pΔ(k1,k2,k3)。圖1d是3階零模型的構(gòu)造過程，保持網(wǎng)絡(luò)的聯(lián)合邊度分布不變，連邊置亂后零模型和原始網(wǎng)絡(luò)中的開三角形與閉三角形數(shù)量均相同。

圖2 原始網(wǎng)絡(luò)及0階零模型的度分布Fig.2 The degree distribution of the original network and its 0k null model

1.3 實驗結(jié)果與分析

本實驗使用某企業(yè)的短信通訊數(shù)據(jù)集進行仿真實驗，對應(yīng)的實證社交網(wǎng)絡(luò)反映了該企業(yè)內(nèi)部的信息交互情況[18]。網(wǎng)絡(luò)中包含2 111個節(jié)點，3 050條連邊。圖2是該原始網(wǎng)絡(luò)及0階零模型的度分布圖，如圖所示，原始網(wǎng)絡(luò)的度分布具有長尾分布的特點，從圖中能夠看出0階零模型縮小了網(wǎng)絡(luò)度分布的異質(zhì)性。由于1-3階零模型均保持了原始網(wǎng)絡(luò)的度序列特征，因此度分布和原始網(wǎng)絡(luò)完全相同，故沒有在圖中顯示。

表2 網(wǎng)絡(luò)特征統(tǒng)計量Tab.2 Network feature statistics

表2列出了原始網(wǎng)絡(luò)和0-3階零模型的其他結(jié)構(gòu)特征(匹配系數(shù)、聚類系數(shù)和平均最短路徑長度)。從表中可以看出，1-3階零模型隨階數(shù)的上升與原始網(wǎng)絡(luò)越為接近；而0階零模型由于改變了度分布，致使其隨機性最強，除了平均最短路徑長度之外，其他特征與原始網(wǎng)絡(luò)的差異最大。

首先，基于SI模型研究影響傳播速度的關(guān)鍵因素。圖3是原始網(wǎng)絡(luò)和0-3階零模型傳染密度隨時間變化的曲線圖。這里設(shè)傳染率β=0.2，傳播時間T=80，曲線是實驗200次取均值的結(jié)果。從圖中可以看出，相對于高階零模型，0階零模型的傳播曲線更加接近于實證網(wǎng)絡(luò)。具體地，0階零模型在初始階段傳播速度低于原始網(wǎng)絡(luò)，而在t=30之后，這一情況發(fā)生了反轉(zhuǎn)，0階零模型的傳播速度大于原始網(wǎng)絡(luò)。而1-3階零模型的傳播速度總是大于原始網(wǎng)絡(luò)，隨著階數(shù)的上升，傳播速度下降，并且隨時間傳播的相對次序不變。隨著階數(shù)的升高，1到3階零模型的傳播速度越來越趨近于原始網(wǎng)絡(luò)，這是因為隨著階數(shù)的升高，所生成的零模型網(wǎng)絡(luò)與原始網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)差異也越來越小。

盡管1-3階零模型的拓撲結(jié)構(gòu)相對于0階零模型，在很多方面更加接近于實證網(wǎng)絡(luò)，但是0階零模型的傳播曲線卻和真實網(wǎng)絡(luò)更加相似。為了揭示出現(xiàn)這一現(xiàn)象的主要原因，圖4顯示了原始網(wǎng)絡(luò)與0-3階零模型中節(jié)點間最短路徑長度的分布，橫軸為最短路徑長度，縱軸為該路徑長度在網(wǎng)絡(luò)中的概率分布。從圖中可以看出最短路徑長度在7以下時，1-3階零模型曲線有序地在原始網(wǎng)絡(luò)上方，而0階零模型在原始網(wǎng)絡(luò)的下方。在最短路徑長度大于7時，這一情況發(fā)生反轉(zhuǎn)，1-3階零模型均在原始網(wǎng)絡(luò)的下方且保持相對次序不變，表明1-3階零模型的平均最短路徑長度隨階數(shù)的上升而增加且都小于原始網(wǎng)絡(luò)。此時0階零模型相對于1-3階零模型，它更加接近于實證網(wǎng)絡(luò)，這也是0階零模型和原始網(wǎng)絡(luò)傳播曲線特征比較接近的重要原因。由以上分析可知，在該實證網(wǎng)絡(luò)中，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點之間的最短路徑是影響傳播的最重要因素，該因素的影響要遠遠大于網(wǎng)絡(luò)度分布(1階特性)、度匹配(2階特性)和聚類系數(shù)(3階特性)。

圖3 0-3階零模型及原始網(wǎng)絡(luò)傳播曲線Fig.3 0-3k null models and original network spreading curves

圖4 最短路徑長度的分布Fig.4 The distribution of shortest path length

圖5 SIS模型下0-3階零模型及原始網(wǎng)絡(luò)傳播曲線Fig.5 0-3k null models and original network spreading curves in SIS model

然后，基于SIS模型研究影響傳播范圍的關(guān)鍵因素。圖5是SIS模型下原始網(wǎng)絡(luò)和0-3階零模型傳染密度隨時間變化的曲線圖。這里設(shè)傳染率β=0.2，恢復(fù)率γ=0.09，傳播時間T=80，曲線是實驗200次取均值的結(jié)果。如圖所示，0階零模型網(wǎng)絡(luò)的最終傳播范圍要顯著高于1-3階零模型及原始網(wǎng)絡(luò)。具體地，在傳播前期，1-3階零模型的傳播范圍有序地大于原始網(wǎng)絡(luò)，0階零模型的傳播范圍顯著小于原始網(wǎng)絡(luò)。但是，隨著傳播時間的增加，當t>32后，0階零模型的傳播范圍逐漸超過了原始網(wǎng)絡(luò)和1-3階零模型。當t>39后，0階零模型的傳播范圍大于1-3階零模型和原始網(wǎng)絡(luò)的最大傳播范圍，并仍在快速增加，最終達到75%，顯著高于其他網(wǎng)絡(luò)(60%左右)。0階零模型與1-3階零模型及原始網(wǎng)絡(luò)的本質(zhì)區(qū)別是度分布不同，所以造成傳播范圍差異性的主要原因是網(wǎng)絡(luò)度分布的改變。

2 基于匹配特性零模型的傳播分析

2.1 面向匹配特性有傾向性斷邊重連零模型

在各種網(wǎng)絡(luò)中，如果網(wǎng)絡(luò)中度大的節(jié)點傾向于和度大的節(jié)點相連，度小節(jié)點傾向于和度小節(jié)點相連，這種傾向性即為度匹配的正相關(guān)性。如果度小節(jié)點傾向于和度大節(jié)點相連，這種傾向性即為度匹配的負相關(guān)性?？梢允褂闷ヅ湎禂?shù)(Assortativity coefficient)[19]來度量網(wǎng)絡(luò)的匹配特性，如果匹配系數(shù)r為正值，代表具有相同度值的節(jié)點之間有某種協(xié)同關(guān)系，網(wǎng)絡(luò)具有正匹配特性；如果匹配系數(shù)r為負值，表示具有不同度數(shù)的節(jié)點間有某種聯(lián)系，網(wǎng)絡(luò)具有負匹配特性。

如果想改變實證網(wǎng)絡(luò)的度匹配特性，就需要有傾向性地進行斷邊重連來構(gòu)造同配或異配網(wǎng)絡(luò)。如圖6所示，原始網(wǎng)絡(luò)a中有A、B、C、D四個節(jié)點，其中節(jié)點A與C相連，B與D相連，相連節(jié)點之間的度有一定差距但相差不大，屬于中性網(wǎng)絡(luò)。如果將原始網(wǎng)絡(luò)的度大節(jié)點A和度大節(jié)點D相連，度小節(jié)點B和度小節(jié)點C相連(如圖6b所示)，就增強了網(wǎng)絡(luò)的同配特性。將這一過程反復(fù)進行，就可以生成強同配網(wǎng)絡(luò)。相反，將原始網(wǎng)絡(luò)的度最大的節(jié)點A和度最小的節(jié)點B相連，其余節(jié)點相連(如圖6c所示)，就增強了網(wǎng)絡(luò)的異配特性，反復(fù)進行就可以生成強異配網(wǎng)絡(luò)。

圖6 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中3種不同的度匹配模式Fig.6 Three degree assortativity patterns of complex networks

使用上述有傾向性的斷邊重連算法生成強同配網(wǎng)絡(luò)和異配網(wǎng)絡(luò)后，就可以研究網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)對度度相關(guān)特性的約束以及這種約束對傳播有何影響。

2.2 實驗結(jié)果與分析

圖7為原始網(wǎng)絡(luò)及同配零模型、異配零模型網(wǎng)絡(luò)的傳播曲線圖，r是匹配系數(shù)，正值表示網(wǎng)絡(luò)為同配網(wǎng)絡(luò)，負值表示網(wǎng)絡(luò)是異配網(wǎng)絡(luò)。根據(jù)左燾等以前的研究結(jié)果可知：同配系數(shù)越大的網(wǎng)絡(luò)，傳播速度越慢，即同配系數(shù)的增大將會對疾病傳播起抑制作用[20]。然而每個網(wǎng)絡(luò)具有不同的特點，從圖中的實驗結(jié)果來看與上述結(jié)論并不完全相符，匹配系數(shù)的變化并沒有導(dǎo)致比較有規(guī)律的傳播結(jié)果。

圖7 匹配特性零模型傳播曲線Fig.7 The propagation curve of null models with different Assortativity

參照零模型的方式可以循序漸進分析出度匹配特性由弱到強的整個過程中對于傳播的影響。圖8a是匹配系數(shù)隨置亂次數(shù)的變化曲線，縱軸是匹配系數(shù)，橫軸是置亂次數(shù)，其中n是網(wǎng)絡(luò)中連邊的數(shù)量，負數(shù)代表網(wǎng)絡(luò)進行異配置亂，正數(shù)代表進行同配置亂。圖8b為傳播速度隨置亂次數(shù)的變化情況，縱軸是傳播速度，定義為單位時刻傳染的人數(shù)，這里取傳染90%的節(jié)點與所用時間的比值作為傳播速度，橫軸是置亂次數(shù)。如圖8a所示，匹配系數(shù)隨置亂次數(shù)單調(diào)增加。理論上，疾病的傳播速度應(yīng)與圖8a相對應(yīng)，即與同配系數(shù)呈負相關(guān)關(guān)系，但是從圖8b能夠看出與上述結(jié)論存在明顯差異。為了探究這一現(xiàn)象，接下來我們計算了匹配特性零模型的平均最短路徑長度，分析到底是什么因素起主導(dǎo)性，對疾病傳播的速度有著重要影響。圖8c是匹配特性零模型的平均最短路徑長度隨置亂次數(shù)的變化曲線，縱軸是平均最短路徑長度，橫軸是置亂次數(shù)。從圖中可以看出，改變匹配特性零模型的置亂次數(shù)會改變網(wǎng)絡(luò)的平均最短路徑長度，但其與置亂次數(shù)并無明顯相關(guān)性。為了進一步討論平均最短路徑長度的改變對傳播速度的影響，圖8d給出了傳播速度與平均最短路徑長度的對應(yīng)關(guān)系。從圖中可以看出，平均最短路徑長度與疾病傳播速度具有強相關(guān)關(guān)系，呈現(xiàn)負相關(guān)性。至此，可以得到以下結(jié)論：在匹配特性零模型上的疾病傳播，多因素共同作用下，平均最短路徑長度相對于度匹配特性對疾病的傳播速度起著主導(dǎo)作用。

圖8 不同匹配特性零模型對應(yīng)的傳播曲線Fig.8 TheSpreading curves corresponding to null models of different assortativity

3 基于社團結(jié)構(gòu)零模型的傳播分析

3.1 增強和減弱社團結(jié)構(gòu)零模型

社團結(jié)構(gòu)一般會呈現(xiàn)出社團內(nèi)部節(jié)點之間連接稠密、屬于不同社團的節(jié)點之間連接稀疏的特點。如果要增強原始網(wǎng)絡(luò)的社團結(jié)構(gòu)，就需要減少社團之間的連邊，增加社團內(nèi)部的連邊。增強社團結(jié)構(gòu)的零模型構(gòu)造過程如圖9所示。首先將原始網(wǎng)絡(luò)劃分為多個社團，然后在保持其它連邊結(jié)構(gòu)不變的情況下，將兩個社團之間的連邊交換為社團內(nèi)部節(jié)點之間的連邊。如圖9a中所示，將社團A和社團B間的兩條連邊A1-B1與A5-B3斷開，然后分別將社團A中的兩個節(jié)點A1與A5相連，將社團B中的兩個節(jié)點B1與B3相連，得到的網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)如圖9b所示。

基于斷邊重連的減弱社團結(jié)構(gòu)零模型構(gòu)造過程是將上述過程反過來。首先將圖9b中社團A內(nèi)部的連邊A1-A5和社團B內(nèi)部的紅色連邊B1-B3斷開，然后將社團A和社團B間的節(jié)點A1與B1相連、A5與B3相連，重新連接后的結(jié)果如圖9a所示。增強或減弱社團結(jié)構(gòu)的零模型可以有效在保持真實網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)基本不變的情況下，增強或減弱社團結(jié)構(gòu)特性。

3.2 實驗結(jié)果與分析

圖10為原始網(wǎng)絡(luò)及增強和減弱社團結(jié)構(gòu)零模型網(wǎng)絡(luò)的傳播曲線圖。Q是模塊度值[19]，它是衡量網(wǎng)絡(luò)社團結(jié)構(gòu)強弱的指標，Q值越大，表示網(wǎng)絡(luò)中社團結(jié)構(gòu)越強。從圖中可以看出，Q值越大的網(wǎng)絡(luò)，疾病的傳播速度越慢，全部節(jié)點感染所用時間越長。主要原因是，隨著社團結(jié)構(gòu)的增強，社團內(nèi)連接的緊密性增強了，社團間的連接強度減弱了，這使得疾病在社團間的傳播變得困難，從而減慢了疾病在網(wǎng)絡(luò)上的傳播速度。相反，減弱網(wǎng)絡(luò)中的社團結(jié)構(gòu)，也會對傳播速度及全部節(jié)點感染所用的時間有影響，即社團結(jié)構(gòu)越弱，傳播速度越快，全部節(jié)點感染所用的時間也越短。為了揭示出現(xiàn)這一現(xiàn)象的具體原因，圖11給出了原始網(wǎng)絡(luò)及增強和減弱社團結(jié)構(gòu)零模型的節(jié)點間最短路徑長度分布圖。從圖中可以看出，Q值越大，網(wǎng)絡(luò)的平均最短路徑長度越大；Q值越小，網(wǎng)絡(luò)的平均最短路徑長度越小。因此，增強和減弱社團結(jié)構(gòu)強度對于疾病傳播的影響可以歸根于網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點間最短路徑長度的變化。

圖9 增強和減弱社團結(jié)構(gòu)的零模型Fig.9 The null models of increasing and weakening community structure

圖10 原始網(wǎng)絡(luò)及社團零模型傳播曲線Fig.10 The spreading curves of community null models

圖11 最短路徑長度分布Fig.11 The distribution of shortest path length

4 結(jié)論

在實證網(wǎng)絡(luò)中很難精確分析單一的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)對于傳播的具體影響。本文通過引入網(wǎng)絡(luò)零模型，探討原始網(wǎng)絡(luò)和零模型網(wǎng)絡(luò)之間拓撲結(jié)構(gòu)的差異對疾病傳播的影響?；谠季W(wǎng)絡(luò)構(gòu)建0-3階零模型，并且在原始網(wǎng)絡(luò)和零模型網(wǎng)絡(luò)上進行傳播仿真實驗，分析不同網(wǎng)絡(luò)之間的傳播差異。在0-3階零模型上進行傳播仿真實驗，比較網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)差異與實驗結(jié)果可知：網(wǎng)絡(luò)的平均最短路徑長度是影響疾病傳播速度的關(guān)鍵因素，而度分布的變化是影響傳播范圍的主要原因。在基于匹配特性零模型的傳播仿真實驗中發(fā)現(xiàn)：網(wǎng)絡(luò)的匹配特性不是影響傳播的主要因素，而網(wǎng)絡(luò)的平均最短路徑長度是影響傳播的關(guān)鍵性因素。網(wǎng)絡(luò)中社團結(jié)構(gòu)強度的改變，使得網(wǎng)絡(luò)的平均最短路徑長度發(fā)生改變，所以社團結(jié)構(gòu)對疾病傳播的影響實際上是網(wǎng)絡(luò)平均最短路徑長度的改變造成的，網(wǎng)絡(luò)的平均最短路徑長度越短，傳播速度越快。