基于靈敏度矩陣的虛擬質(zhì)量快速優(yōu)化布置方法

侯吉林， 王海燕a， 張青霞， 周潤芳b， ukasz Jankowski

(1. 大連理工大學(xué) a. 土木工程學(xué)院； b. 海岸和近海工程國家重點實驗室， 遼寧 大連 116024；2. 大連民族大學(xué) 土木工程學(xué)院， 遼寧 大連 116600；3. 波蘭科學(xué)院 基礎(chǔ)技術(shù)研究所 智能技術(shù)部， 波蘭 華沙 02-106)

結(jié)構(gòu)模態(tài)是結(jié)構(gòu)最基本的特征信息，且不隨激勵形式改變；因此基于模態(tài)信息的損傷識別是結(jié)構(gòu)損傷識別的主要方法之一。毛羚[1]等基于動力響應(yīng)靈敏度模型修正算法，進(jìn)行隧道-土體的結(jié)構(gòu)損傷識別。實際工程中，結(jié)構(gòu)模態(tài)存在局部損傷不敏感和測量數(shù)據(jù)量不足的問題。為此，通過在結(jié)構(gòu)上附加質(zhì)量、剛度等元件的方法增加測量數(shù)據(jù)量和提高損傷識別精度。Nalitolela等[2]第一次提出在結(jié)構(gòu)上添加質(zhì)量或剛度更新結(jié)構(gòu)參數(shù)方法，對結(jié)構(gòu)進(jìn)行模型修正；Lu等[3]綜合分析了附加質(zhì)量法中不同的附加質(zhì)量方案對梁結(jié)構(gòu)損傷識別的影響。由于實際結(jié)構(gòu)的復(fù)雜化、大型化，附加真實質(zhì)量具有較大難度，進(jìn)而提出的附加虛擬質(zhì)量方法很好地解決了這一問題。Hou等[4]基于虛擬變形法推導(dǎo)了利用結(jié)構(gòu)激勵和響應(yīng)構(gòu)造虛擬質(zhì)量的方程，并利用框架結(jié)構(gòu)數(shù)值模擬驗證了損傷識別方法的有效性。Li等[5]為了提高管道局部損傷識別的靈敏度，采用附加虛擬質(zhì)量方法對管道進(jìn)行損傷識別。實際上，附加的虛擬質(zhì)量大小、位置和數(shù)目對于結(jié)構(gòu)損傷識別結(jié)果具有較大影響，因此進(jìn)行虛擬質(zhì)量的優(yōu)化布置是提高結(jié)構(gòu)損傷識別精度的關(guān)鍵。

目前關(guān)于質(zhì)量優(yōu)化布置方法研究較少，而虛擬質(zhì)量優(yōu)化布置與傳感器優(yōu)化布置相似，因此借鑒傳感器優(yōu)化布置方法研究虛擬質(zhì)量優(yōu)化布置。由于傳感器存在造價高且布設(shè)位置受限的問題，需要對其進(jìn)行優(yōu)化，提高監(jiān)測效率。傳感器優(yōu)化布置準(zhǔn)則主要有傳遞誤差最小準(zhǔn)則[6]、基于模態(tài)能量準(zhǔn)則[7]、模型縮減準(zhǔn)則[8]等。Kammer[6]將Fisher信息陣準(zhǔn)則應(yīng)用于結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別的傳感器布置問題，提出著名的有效獨立法(Effective Independence algorithm，EI法)，通過最大化信息陣的行列式來逐步消除對目標(biāo)模態(tài)向量線性無關(guān)貢獻(xiàn)最小的自由度。Yi等[9]結(jié)合有效獨立法和模態(tài)保證準(zhǔn)則提出了一種新的多維傳感器優(yōu)化布置準(zhǔn)則，并引入狼群算法提高了計算效率。優(yōu)化準(zhǔn)則是優(yōu)化的理論基礎(chǔ)，優(yōu)化算法則是實現(xiàn)優(yōu)化的核心步驟。傳感器優(yōu)化算法大致分為貪心算法、經(jīng)典優(yōu)化算法和隨機(jī)類優(yōu)化算法。周廣東等[10]基于自適應(yīng)動態(tài)懲罰遺傳算法提出了橋梁檢測無線傳感測點布置方法；何旭等[11]提出加權(quán)質(zhì)心魚群算法，進(jìn)行風(fēng)機(jī)葉片的無線傳感網(wǎng)絡(luò)節(jié)點優(yōu)化。基于傳感器優(yōu)化理論，虛擬質(zhì)量的優(yōu)化也需要結(jié)合優(yōu)化準(zhǔn)則形成優(yōu)化算法，實現(xiàn)優(yōu)化方案。

本文以實現(xiàn)損傷參數(shù)最優(yōu)識別為目標(biāo)，研究了簡支梁結(jié)構(gòu)附加虛擬質(zhì)量的優(yōu)化布置方法。首先，提出了基于靈敏度矩陣體積最大化的優(yōu)化準(zhǔn)則和逐步快速搜索法的優(yōu)化算法；然后將該方法得到的優(yōu)化方案應(yīng)用于結(jié)構(gòu)，結(jié)合靈敏度損傷識別方法進(jìn)行損傷判定；最后，通過簡支梁結(jié)構(gòu)數(shù)值算例驗證了所提方法的可行性和有效性。

1 附加虛擬質(zhì)量方法的基本理論

附加虛擬質(zhì)量方法是根據(jù)在原結(jié)構(gòu)上施加的激勵和測量的加速度響應(yīng)，構(gòu)造出附加虛擬質(zhì)量m后結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)。構(gòu)造的公式為：

(1)

2 虛擬質(zhì)量優(yōu)化布置

2.1 靈敏度信息矩陣

假設(shè)結(jié)構(gòu)模型共有n個子結(jié)構(gòu)，第l個子結(jié)構(gòu)的損傷因子為μl，μl為第l個子結(jié)構(gòu)損傷后與損傷前結(jié)構(gòu)的剛度比。結(jié)構(gòu)的總損傷因子為μ=(μ1,μ2,...,μn)，剛度陣為K(μ)。結(jié)構(gòu)中可能布置虛擬質(zhì)量的位置數(shù)共為nm個，在第i個位置(i=1,2,…,nm)布置質(zhì)量m后可識別獲得k階結(jié)構(gòu)頻率ω1i(μ,m)，ω2i(μ,m)，…，ωki(μ,m)；結(jié)構(gòu)第j階頻率和質(zhì)量歸一化振型分別為ωji(μ,m)和φji(μ,m)，則ωji(μ,m)關(guān)于第l個子結(jié)構(gòu)損傷因子的相對靈敏度Rji,l可用式(2)表示。

(2)

R=(A1,A2,...,Anm)

(3)

2.2 靈敏度矩陣體積最大化準(zhǔn)則

虛擬質(zhì)量的優(yōu)化布置以損傷識別為目的，為保證損傷識別的精度，優(yōu)化準(zhǔn)則應(yīng)滿足兩個條件：(1)每個測點信息關(guān)于各子結(jié)構(gòu)損傷靈敏度應(yīng)較高；(2)各個測點的靈敏度信息盡量不相關(guān)。

如圖1，向量Ai，Aj，Ak分別表示靈敏度矩陣R中第i，j，k個測點的靈敏度信息向量。圖1中第i個測點靈敏度信息向量Ai的模最大，作為最先選定的測點向量；然后從j和k測點中選擇與第i測點相關(guān)性最小的一組。從圖1中可以發(fā)現(xiàn)向量Aj在Ai垂直方向的分量λji大于Ak在Ai垂直方向的分量λki，同時向量Ai和Aj圍成的面積要大于Ai和Ak圍成的面積，向量Ai與Aj之間的不相關(guān)性明顯大于Ai與Ak之間的不相關(guān)性。結(jié)果表明可以用向量圍成的面積大小刻畫向量之間的不相關(guān)性。將此結(jié)論推廣到三維甚至更高維數(shù)的空間，可以得到向量的不相關(guān)性越大，向量之間構(gòu)成的有向空間體積越大。因此可以將矩陣的體積作為評價矩陣中各向量不相關(guān)性的標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)而可以將靈敏度矩陣體積最大化作為虛擬質(zhì)量位置優(yōu)化布置的準(zhǔn)則。

圖1 優(yōu)化準(zhǔn)則示意

為滿足上述兩個條件，基于靈敏度矩陣體積最大的優(yōu)化準(zhǔn)則，對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)可以表示為：

Δ(π,m)=V(R(π,m))

(4)

一般可以識別的模態(tài)數(shù)目k>1，因此測點數(shù)目nm小于kn，所以det(RTR)>0。

2.3 逐步快速搜索法

本文基于靈敏度矩陣體積最大化準(zhǔn)則，提出逐步快速搜索法進(jìn)行虛擬質(zhì)量的位置優(yōu)化。該方法的思想是比較同一數(shù)量不同位置質(zhì)量測點的靈敏度矩陣體積大小，選取體積最大值測點作為該數(shù)量級下的最優(yōu)位置；進(jìn)而增加測點數(shù)量，尋找新一數(shù)量級下質(zhì)量測點的最優(yōu)位置。逐步快速搜索方法的具體操作步驟如下：

AI1=argmaxV([Ai]),i=1,2,…,nm

(5)

(6)

i=1,2,…,nm,i≠I1,I2

(7)

i=1,2,…,nm,i≠I1,I2,…，In-1

(8)

3 數(shù)值模擬

3.1 結(jié)構(gòu)模型

通過簡支梁模型的數(shù)值模擬驗證上述方法的有效性。簡支梁結(jié)構(gòu)跨度為1 m，截面寬度為0.05 m，截面厚度為0.005 m，結(jié)構(gòu)所選用鋼材的彈性模量為2.10 GPa，材料的密度為7.85×103kg/m3。該結(jié)構(gòu)劃分為10個子結(jié)構(gòu)，30個單元；節(jié)點編號如圖2所示，對可能布置虛擬質(zhì)量的節(jié)點1—29的豎向自由度進(jìn)行研究。結(jié)構(gòu)損傷情況為子結(jié)構(gòu)3和子結(jié)構(gòu)6同時受損，剛度分別降低40%和30%；考慮5%測量噪聲。

圖2 簡支梁有限元模型

3.2 虛擬質(zhì)量優(yōu)化布置與損傷識別

3.2.1 虛擬質(zhì)量大小估計

采用靈敏度分析方法優(yōu)化虛擬質(zhì)量大小，即選取使得結(jié)構(gòu)頻率相對靈敏度較高的虛擬質(zhì)量。將0到10 kg的虛擬質(zhì)量均分為101份，依次布置在所有子結(jié)構(gòu)的中間位置，計算結(jié)構(gòu)在附加質(zhì)量后的前3階頻率(ω1，ω2，ω3)，并求每個頻率關(guān)于所有子結(jié)構(gòu)的相對靈敏度。在子結(jié)構(gòu)3上附加質(zhì)量的頻率相對靈敏度隨質(zhì)量變化的曲線見圖3a，在子結(jié)構(gòu)5上附加質(zhì)量的頻率相對靈敏度隨質(zhì)量變化的曲線見圖3b。由圖3a可知，當(dāng)附加虛擬質(zhì)量小于0.5 kg時，除第3階頻率關(guān)于子結(jié)構(gòu)3的相對靈敏度會有所減小外，其余各階頻率關(guān)于子結(jié)構(gòu)3相對靈敏度均有較大增加；當(dāng)質(zhì)量大于3 kg后，前3階頻率關(guān)于子結(jié)構(gòu)3的相對靈敏度趨于穩(wěn)定。由圖3b可知，當(dāng)質(zhì)量小于0.5 kg，前3階頻率關(guān)于子結(jié)構(gòu)5的相對靈敏度隨質(zhì)量增大而大幅增加；當(dāng)質(zhì)量大于0.5 kg時，各階頻率關(guān)于子結(jié)構(gòu)的相對靈敏度趨于穩(wěn)定。因此，綜合上述因素，在保證頻率相對靈敏度較高的同時，避免因附加虛擬質(zhì)量過大而對頻率構(gòu)造精度產(chǎn)生影響，初步選取附加虛擬質(zhì)量的大小為0.5 kg。

圖3 前3階頻率的相對靈敏度-質(zhì)量曲線

3.2.2 虛擬質(zhì)量位置優(yōu)化

梁共有10個子結(jié)構(gòu)，即有10個待識別參數(shù)，理論上為了保證識別精度，至少需要10個測量頻率?？紤]到噪聲的影響以及頻率之間的相關(guān)性，則需要提高測量頻率的數(shù)量，這里取測量頻率的數(shù)量需為待識別參數(shù)量的2倍左右，即需要20個頻率信息。假設(shè)每附加一個質(zhì)量可獲得3階頻率，因此初步選取附加虛擬質(zhì)量的數(shù)量為7個。

在結(jié)構(gòu)上布置0.5 kg虛擬質(zhì)量，候選位置為圖2中的29個節(jié)點的豎向自由度，利用式(2)計算得到結(jié)構(gòu)前三階頻率對于10個子結(jié)構(gòu)的靈敏度值，并且按照式(3)進(jìn)行排列矩陣。利用逐步快速搜索法確定虛擬質(zhì)量的優(yōu)化順序，如表1所示；測點優(yōu)化順序中前7個測點位置分布如圖4所示，其中小矩形上的數(shù)字表示虛擬質(zhì)量布置的測點順序，橫坐標(biāo)表示節(jié)點編號。結(jié)果表明，優(yōu)化的測點位置分散均勻，以跨中為中心呈現(xiàn)接近左右對稱的分布規(guī)律，驗證了逐步快速搜索法的合理性。

表1 逐步快速搜索法優(yōu)化結(jié)果

圖4 優(yōu)化測點位置分布

按照表1中逐步快速搜索法優(yōu)化結(jié)果，計算選取不同數(shù)量測點后的靈敏度矩陣體積，得到靈敏度體積與測點數(shù)量的關(guān)系曲線，見圖5。由圖5可以看出，隨著測點數(shù)量的增加，靈敏度矩陣的體積呈數(shù)量級倍數(shù)的降低。

3.2.3 損傷識別

由附加質(zhì)量后的理論有限元模型計算結(jié)構(gòu)頻率，然后利用其與附加虛擬質(zhì)量結(jié)構(gòu)的測試頻率之間的誤差范數(shù)建立目標(biāo)函數(shù)，通過優(yōu)化子結(jié)構(gòu)參數(shù)使目標(biāo)函數(shù)最小，實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)的損傷識別。

上述計算確定的優(yōu)化方案為分別附加7個0.5 kg的虛擬質(zhì)量，布置在表1中的前7個測點位置。為驗證該方案的有效性，采用隨機(jī)方案進(jìn)行對比，該方案采用大小、數(shù)量相同的虛擬質(zhì)量，隨機(jī)布置位置為節(jié)點11，23，1，2，5，16，17。

兩種布置方案的損傷識別結(jié)果對比如圖6。圖中理論值是預(yù)先設(shè)定的損傷因子，優(yōu)化方案為利用虛擬質(zhì)量優(yōu)化方案識別的損傷因子，隨機(jī)方案為采用隨機(jī)布置方案的識別結(jié)果。圖6中，優(yōu)化方案識別到子結(jié)構(gòu)3，6的損傷因子分別接近0.6，0.7，其他子結(jié)構(gòu)均為1，與理論值相符；這表明在5%測量噪聲下，利用逐步快速搜索法得到的虛擬質(zhì)量優(yōu)化布置方案，可以較為準(zhǔn)確地識別損傷的位置和損傷程度。隨機(jī)方案在子結(jié)構(gòu)6的損傷因子接近理論值；子結(jié)構(gòu)3的損傷因子與理論值偏差較大；同時對于子結(jié)構(gòu)2，7存在損傷誤判。對比兩種方案的識別結(jié)果，驗證了優(yōu)化方案損傷識別的可靠性。

圖6 識別結(jié)果對比

3.3 虛擬質(zhì)量大小與數(shù)量對損傷識別的影響

當(dāng)測點數(shù)為7個時，附加0，0.2，0.5，1，2，3 kg虛擬質(zhì)量，分別計算得到測點優(yōu)化布置。圖7展示了附加3 kg虛擬質(zhì)量的前7個測點分布情況。將其與圖4對比，說明附加不同虛擬質(zhì)量得到的測點優(yōu)化結(jié)果不同。

圖7 附加虛擬質(zhì)量3 kg測點分布

根據(jù)測點優(yōu)化結(jié)果，將上述虛擬質(zhì)量布設(shè)在相應(yīng)位置，識別子結(jié)構(gòu)的損傷因子；計算識別結(jié)果與理論值的誤差范數(shù)，得到損傷識別誤差隨虛擬質(zhì)量的變化曲線，如圖8。結(jié)果表明，隨著附加虛擬質(zhì)量的增大，識別誤差整體呈遞減趨勢。當(dāng)虛擬質(zhì)量小于0.5 kg時，隨質(zhì)量增大，識別誤差大幅減小；虛擬質(zhì)量大于0.5 kg時，識別誤差小幅減小，趨于穩(wěn)定。該結(jié)果驗證了靈敏度方法的可靠性及選取0.5 kg虛擬質(zhì)量大小的合理性。

圖8 不同虛擬質(zhì)量的識別誤差

測點數(shù)量對于損傷識別精度具有一定的影響，當(dāng)附加虛擬質(zhì)量0.5 kg時，采用不同數(shù)量的測點，計算得到損傷識別誤差曲線如圖9所示。結(jié)果表明，隨著測點數(shù)量的增多，損傷識別誤差逐漸減小。當(dāng)布設(shè)7個測點數(shù)量時，識別誤差約為1%，可以滿足在少量測點情況下工程精度要求。

圖9 不同測點的識別誤差

3.4 子結(jié)構(gòu)劃分對損傷識別的影響

為了分析子結(jié)構(gòu)劃分對損傷識別的影響，在上述損傷工況不變的前提下，將梁劃分為5個大子結(jié)構(gòu)，每個大子結(jié)構(gòu)6個單元，即第2大子結(jié)構(gòu)的左半段和第3大子結(jié)構(gòu)的右半段有損傷。附加0.5 kg的虛擬質(zhì)量，布設(shè)在優(yōu)化測點的前7個位置，損傷識別結(jié)果如圖10所示。由圖10可以準(zhǔn)確地識別出大子結(jié)構(gòu)2，3發(fā)生了損傷，初步定位損傷大概位置。由于損傷是發(fā)生在大子結(jié)構(gòu)的局部，所以損傷程度的識別存在一定誤差，為了進(jìn)一步精確地識別損傷，將大子結(jié)構(gòu)2，3共劃分為4個小子結(jié)構(gòu)，每個小子結(jié)構(gòu)3個單元，識別結(jié)果如圖11所示。圖中表明第1，4個小子結(jié)構(gòu)損傷因子分別接近0.6和0.7，與理論值相符。兩個結(jié)果同時說明子結(jié)構(gòu)數(shù)量越少，參數(shù)越少，識別速率越快，但是對于損傷位置的定位可能不夠精確。針對初步定位位置進(jìn)行細(xì)致劃分后，可以較為精確地識別損傷。這種分步劃分子結(jié)構(gòu)的方法可以提高計算效率，同時保證結(jié)果的可靠性。

圖10 子結(jié)構(gòu)識別結(jié)果

圖11 識別結(jié)果對比

4 結(jié) 論

本文研究了虛擬質(zhì)量的優(yōu)化布置方法，提出了基于靈敏度矩陣體積最大化的優(yōu)化準(zhǔn)則和基于該準(zhǔn)則的逐步快速搜索法的優(yōu)化算法。通過對簡支梁進(jìn)行數(shù)值模擬，得到虛擬質(zhì)量的最佳布置，并利用優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行損傷識別，得到了以下結(jié)論：

(1)基于靈敏度矩陣體積最大化的優(yōu)化準(zhǔn)則，能夠保證靈敏度矩陣包含盡可能多的靈敏度信息，進(jìn)而能夠保證損傷識別的精度；

(2)逐步快速搜索法在確定虛擬質(zhì)量優(yōu)化測點時，具有操作簡單，計算效率高的優(yōu)點；

(3)利用基于上述準(zhǔn)則和方法得到的虛擬質(zhì)量優(yōu)化布置方案，可以較為準(zhǔn)確地識別損傷位置和損傷程度。