或然與必然思想

高慧明

北京市中學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師，現(xiàn)任教于北京市第十二中學(xué);教育部課程改革“全國先進(jìn)工作者”，教育部“國培計(jì)劃”全國中小學(xué)教師培訓(xùn)、班主任培訓(xùn)、校長培訓(xùn)特邀主講專家，受邀為教育部“國培計(jì)劃”做有關(guān)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)、班級(jí)管理、教師專業(yè)成長等專題報(bào)告多場;在《教育研究》《中國教育學(xué)刊》《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》《數(shù)學(xué)通報(bào)》等學(xué)術(shù)期刊上發(fā)表論文500余篇，其中100余篇被中國人民大學(xué)復(fù)印報(bào)刊資料《中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)》《中小學(xué)教育》全文轉(zhuǎn)載;已出版?zhèn)€人專著《高中數(shù)學(xué)思想方法及應(yīng)用》《高考數(shù)學(xué)命題規(guī)律與教學(xué)策略》《讓高中生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)》《高慧明數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐與研究》（叢書）等多部，應(yīng)邀主編、參編教材和教學(xué)著作30余部。

世間萬物千姿百態(tài)、千變?nèi)f化，人們對(duì)世界的了解、對(duì)事物的認(rèn)識(shí)是從不同側(cè)面進(jìn)行的，人們發(fā)現(xiàn)的事物或現(xiàn)象可以是確定的，也可以是模糊的、隨機(jī)的。

概率研究的就是隨機(jī)現(xiàn)象，研究的過程是在“偶然”中尋找“必然”，然后用“必然”的規(guī)律去解決“偶然”的問題。這其中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想就是或然與必然的思想，也稱統(tǒng)計(jì)與概率的思想。

隨機(jī)事件發(fā)生可能性的大小是概率研究的主要內(nèi)容，而通過試驗(yàn)來觀察隨機(jī)事件發(fā)生可能性的大小是研究的常用方法。在相同的條件下，重復(fù)進(jìn)行[n]次試驗(yàn)，某一事件A出現(xiàn)的次數(shù)[m]是頻數(shù)，也就是事件A出現(xiàn)的頻數(shù)。如果試驗(yàn)的次數(shù)不斷增加，事件A發(fā)生的頻數(shù)穩(wěn)定在某個(gè)數(shù)上，我們就把這個(gè)常數(shù)記作P（A），稱為事件A的概率。

事件的概率是確定的、不變的常數(shù)，是理論上的精確值，而頻率是某次具體試驗(yàn)的結(jié)果，是不確定的、變化的數(shù)，盡管這種變化的可能性非常小。這里的概率是用頻率來界定的，在等可能性隨機(jī)試驗(yàn)中，雖然頻率總是在很小的范圍內(nèi)變化，但我們可以認(rèn)為頻率和概率的相關(guān)性非常強(qiáng)。也就是說，在一次試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的頻率越大，事件A的概率就越大;事件A出現(xiàn)的頻率越小，事件A的概率就越小。反之亦然。

生活中的很多現(xiàn)象都是隨機(jī)現(xiàn)象，如氣候變化、物價(jià)變化、體育比賽、汽車流量、彩票中獎(jiǎng)等。這些隨機(jī)事件，如果能夠比較準(zhǔn)確地預(yù)測其發(fā)生可能性的大小，就會(huì)為我們的工作和生活帶來很多方便。事實(shí)上，隨著科技的發(fā)展，人們已經(jīng)能夠?qū)σ恍╇S機(jī)現(xiàn)象做出比較準(zhǔn)確的預(yù)測，如氣象部門已經(jīng)能夠比較準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)天氣變化。預(yù)測離不開對(duì)數(shù)據(jù)的分析和對(duì)事件發(fā)生可能性大小的定量刻畫，這正是統(tǒng)計(jì)與概率（或然與必然思想）研究的主要內(nèi)容。

或然與必然思想主要應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域。以小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)為例，小學(xué)數(shù)學(xué)第一、第二學(xué)段都安排了可能性的內(nèi)容，如會(huì)求簡單的等可能性隨機(jī)事件發(fā)生的可能性、根據(jù)等可能性事件設(shè)計(jì)公平的游戲規(guī)則等。統(tǒng)計(jì)推斷中，人們往往通過分析隨機(jī)事件的相關(guān)數(shù)據(jù)，對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性進(jìn)行預(yù)測。如2010年南非世界杯西班牙對(duì)荷蘭的決賽，有人預(yù)測西班牙奪冠，理由是西班牙是近年的歐洲冠軍，實(shí)力雄厚;還有人預(yù)測荷蘭衛(wèi)冕，理由是荷蘭曾兩次獲得世界杯亞軍。用或然與必然的思想來分析，歷史上，西班牙隊(duì)和荷蘭隊(duì)一共交手9次，其中荷蘭4勝1平4負(fù)，與西班牙隊(duì)實(shí)力不分上下，所以兩隊(duì)奪冠的可能性各占一半。

中學(xué)數(shù)學(xué)中，概率的相關(guān)內(nèi)容也放在了重要位置，如等可能事件的概率、互斥事件發(fā)生的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、[n]次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)發(fā)生了[k]次的概率，以及隨機(jī)事件的分布列與數(shù)學(xué)期望等重點(diǎn)內(nèi)容。教學(xué)這些內(nèi)容時(shí)，教師在加強(qiáng)基本概念和基本方法教學(xué)的同時(shí)，更應(yīng)注重運(yùn)用或然與必然的思想。

教學(xué)涉及或然與必然思想的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。

第一，隨機(jī)事件的發(fā)生是有條件的。在一定條件下，事件發(fā)生的可能性有大有小，條件變了，事件發(fā)生的可能性大小也可能會(huì)變化。例如，種子的發(fā)芽率與很多因素有關(guān)，如種子的質(zhì)量、保存期限、溫度、水分、土壤、陽光、空氣等。在各種條件都合適的情況下，發(fā)芽率可能高達(dá)90%;條件不合適，發(fā)芽率可能降到50%，甚至不發(fā)芽。

第二，不能混淆“頻率”與“概率”。如用擲硬幣試驗(yàn)去驗(yàn)證概率，從概率的統(tǒng)計(jì)定義而言，做拋硬幣試驗(yàn)是可以的，因?yàn)樗梢允箤W(xué)生參與實(shí)踐活動(dòng)，經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，提高學(xué)習(xí)興趣。不過，教師心中要明白：試驗(yàn)次數(shù)少的時(shí)候，頻率與概率的誤差可能會(huì)比較大，可是試驗(yàn)次數(shù)多，也不能每次都保證頻率與概率相差很小，或者說試驗(yàn)次數(shù)足夠多的兩次試驗(yàn)，也不能保證試驗(yàn)次數(shù)多的比試驗(yàn)次數(shù)少的誤差小。這是隨機(jī)事件本身的特點(diǎn)決定的，教師要通過通俗的語言使學(xué)生清楚這一點(diǎn)，使學(xué)生理解概率的統(tǒng)計(jì)定義。

第三，創(chuàng)設(shè)聯(lián)系學(xué)生生活的情境時(shí)，要注意每個(gè)基本事件是否具有等可能性。下面的問題就不合適：全班50個(gè)學(xué)生，選一人代表全班參加科普知識(shí)競賽，張三被選中的可能性是多少？事實(shí)上，參加競賽是有一定條件的，如需要學(xué)習(xí)好、知識(shí)面寬等，每個(gè)學(xué)生被選中的可能性是不相等的。

第四，概率是理論上的精確值，但是隨機(jī)事件在某次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)意外，即頻率與概率會(huì)有一定的偏差。隨機(jī)中有精確，精確中有隨機(jī)，這是對(duì)待概率的一種科學(xué)態(tài)度。如：連續(xù)兩次擲一枚硬幣，若第一次正面朝上，那么第二次一定是反面朝上嗎？從概率的角度分析，每拋一次，硬幣正面朝上和反面朝上的可能性都是二分之一，并不會(huì)因?yàn)榈谝淮握娉隙绊懙诙握娉稀Ｒ虼?，第二次正面朝上和反面朝上的可能性仍然相等。再如：天氣預(yù)報(bào)預(yù)測明天降雨的概率是90%，明天一定會(huì)下雨嗎？明天是否降雨是一個(gè)隨機(jī)事件，盡管降雨概率高達(dá)90%，但可能性大的事件也可能不發(fā)生，所以不能說明天一定會(huì)下雨。

還看一個(gè)例子：從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有ξ個(gè)紅球，則隨機(jī)變量ξ的概率分布為：

本題是求隨機(jī)變量分布列的問題，其中所求概率又是等可能事件的概率問題，所以有：

我們研究離散隨機(jī)變量時(shí)，不僅要關(guān)心某一次隨機(jī)試驗(yàn)中到底取什么值的問題，還要關(guān)心隨機(jī)變量在取某一個(gè)值或某一批值時(shí)可能性的大小。只有如此，我們才能確切地掌握隨機(jī)變量的取值規(guī)律，解決相應(yīng)的問題。這就使我們對(duì)“或然”與“必然”的研究又深入了一步，即從“分布”與“期望”兩個(gè)方面獲取隨機(jī)變量的規(guī)律，在“或然”中尋找“必然”。

責(zé)任編輯? 姜楚華