交通流動態(tài)擾動下的區(qū)域交通信號協(xié)調(diào)控制

魏永濤 高原 孫文義 王秀蒙

隨著機動車保有量的增加,城市交通擁堵現(xiàn)象日益嚴重,高峰期部分路段或區(qū)域常呈現(xiàn)過飽和狀態(tài).與此同時,由于不同區(qū)域交通分布不均勻,導(dǎo)致部分道路資源浪費.目前,大部分交通信號燈配時控制策略都針對非飽和交叉口,當?shù)缆诽幱谶^飽和狀態(tài)時,路網(wǎng)交通效率顯著降低.另外,區(qū)域路網(wǎng)的信號燈協(xié)調(diào)優(yōu)化配時研究較少,尤其過飽和區(qū)域路網(wǎng)交通信號控制仍是公開的難題,急需尋求智能優(yōu)化控制方法.

針對過飽和區(qū)域交通信號燈優(yōu)化問題,文獻[1]提出一種能平衡車輛數(shù)量增長率的優(yōu)化配時算法,并基于隊列增長給出了過飽和交通流條件下的交通信號最優(yōu)等式,即隊列增長等式以及最小化區(qū)域交通隊列增長等式,有效避免了特定路段車輛數(shù)量過多造成的排隊溢出現(xiàn)象.文獻[2]提出基于邊界需求控制和區(qū)域網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部平衡的過飽和區(qū)域主動控制模型,給出了基于邊界目標函數(shù)和內(nèi)部信號控制的雙層規(guī)劃優(yōu)化方法,提高了區(qū)域路網(wǎng)的通行能力.文獻[3]提出了一種基于區(qū)域路網(wǎng)固有屬性宏觀基本圖的過飽和區(qū)域控制優(yōu)化模型,建立了邊界控制信號和內(nèi)部控制信號目標函數(shù)的雙層規(guī)劃優(yōu)化,設(shè)計了基于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)動態(tài)規(guī)劃模型.但是基于單個過飽和路口模型對多個路口疊加建模,不能充分保證跨區(qū)域交通的協(xié)調(diào)性.

為提高城市交通區(qū)域網(wǎng)絡(luò)協(xié)調(diào)控制性能,人們做了很多有益的探討,其中模型預(yù)測控制[4]即是常用的區(qū)域信號燈協(xié)調(diào)控制方法.Aboudolas 等[5]提出了基于滾動優(yōu)化的交通信號燈協(xié)調(diào)控制策略.Lin提出了一種非線性宏觀交通模型,并以此為基礎(chǔ)設(shè)計了一種全網(wǎng)交通信號模型預(yù)測控制方法[6],將優(yōu)化問題歸結(jié)為一個混合整數(shù)線性規(guī)劃問題來求解[7].此后,Zhou 等[8]提出一種新的模型預(yù)測方法,將機會約束應(yīng)用到城市交通信號燈控制之中.由于大型交通網(wǎng)絡(luò)高度復(fù)雜,上述集中式模型預(yù)測控制方法并不適合大型區(qū)域信號燈協(xié)調(diào)控制,必須采用分布式控制方法.Tettamanti 等[9]提出了一種基于模型預(yù)測控制的分布式交通控制方法,把整個城市交通網(wǎng)絡(luò)分解成若干小的子區(qū)域,每個子區(qū)域看作一個獨立控制和運行的智能體,多個智能體之間通過網(wǎng)絡(luò)互聯(lián)、共享資源,從而實現(xiàn)全路網(wǎng)信號燈協(xié)調(diào)控制.文獻[10]提出了一種區(qū)域路網(wǎng)信號燈協(xié)調(diào)控制的多智能體模型預(yù)測控制框架,利用拉格朗日對偶原理處理智能體間的耦合約束.De Oliverira 等[11]也針對線性動態(tài)城市區(qū)域交通流給出了多智能體分布式控制模型,將集中式模型預(yù)測控制問題分解成幾個子問題,由分布式智能體來求解.在此基礎(chǔ)上,Camponogara 等[12]考慮輸入–輸出約束,提出線性動態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測控制的分布式優(yōu)化算法.文獻[12]結(jié)合周邊控制和路徑誘導(dǎo)執(zhí)行器,提出了非線性模型預(yù)測控制方法,提高了城市路網(wǎng)的機動性.Sirmatel 等[13]對上述非線性模型加以改進,提出一種用于協(xié)調(diào)信號拆分控制的分布式協(xié)調(diào)模型預(yù)測控制方法.但該方法計算較為復(fù)雜,為此文獻[14]將大型區(qū)域路網(wǎng)劃分成多個子區(qū)域,將交通流在多個子區(qū)域之間進行存儲轉(zhuǎn)發(fā)[15],采用文獻[16]的存儲–轉(zhuǎn)發(fā)方法描述路網(wǎng)交通流變化,規(guī)避了模型需引入二進制變量來描述信號燈處于紅綠狀態(tài)的問題,并提出一種計算簡便的分層模型預(yù)測控制算法,便于實現(xiàn)區(qū)域信號燈的最優(yōu)協(xié)調(diào)控制.

值得指出的是,文獻[15]未考慮交通流變化擾動對區(qū)域交通協(xié)調(diào)控制的影響,其方法不夠?qū)嵱?為此,本文在文獻[15]的基礎(chǔ)上,考慮交通流的動態(tài)變化,通過改進存儲–轉(zhuǎn)發(fā)機制,建立了更貼近實際排隊長度的區(qū)域交通模型,進而提出一種區(qū)域交通信號協(xié)調(diào)控制的分層優(yōu)化求解的模型預(yù)測控制方法.

本文結(jié)構(gòu)安排如下:第1 節(jié),考慮交通流的動態(tài)特性,引入存儲–轉(zhuǎn)發(fā)的思想,建立區(qū)域交通模型;第2 節(jié),提出模型預(yù)測優(yōu)化模型;第3 節(jié),將優(yōu)化模型進行分層,求解出控制變量最優(yōu)解,并給出區(qū)域交通的控制算法;第4 節(jié),給出本文算法的仿真分析;第5 節(jié),對本文內(nèi)容進行總結(jié).

1 區(qū)域交通建模

為了簡化表示,城市區(qū)域交通可以被定義為一個有向圖.其中,節(jié)點代表交叉路口i,弧線代表交通流r.不失一般性,假設(shè)區(qū)域中交通流r1轉(zhuǎn)彎率為τr1,r2和飽和流率Sr1是可測的常數(shù).另外,交叉路口i中相位p的有效綠燈時間gi,p,損失時間Li和周期時長Ci滿足其中Fi是允許車輛離開交叉路口i的相位集合.為了協(xié)調(diào)整個區(qū)域,對于任意一個交叉路口i,都有Ci=C成立.

考慮從交叉路口i流向交叉路口的單交通流j(見圖1(a)),對于下一個時刻k+1 末,交通流r上的車輛排隊長度等于在k末,路口剩余的排隊長度加上到來的車輛流量Ii,r,減去在有效綠燈時間內(nèi)流出的流量Oi,r.圖1(b)表示區(qū)域中交通流linkr只有外界輸入流量.

圖1 交通流r 的交通動態(tài)圖((a)交通流無外界輸入;(b)交通流有外界輸入(虛線))Fig.1 Traffic dynamics ((a)Traffic without input;(b)Traffic with inputdotted lines)

可以通過下面的離散時間模型建立r的交通流動態(tài)模型.

其中,xi,r(k)表示在第k個信號周期開始時,位于i交叉路口的交通流r上的車輛數(shù)量.xi,r(k+1)表示在第k個信號周期結(jié)束時(第k+1 個信號周期開始時),位于i交叉路口的交通流r上的車輛數(shù)量.Ii,r(k)和Oi,r(k)表示交通流r的流入流量和流出流量.較之文獻[15]中采用經(jīng)驗值的做法,用ein(k)表示在第k個信號周期內(nèi)由路口進入交通流r的車輛數(shù)量.eout(k)表示在第k個信號周期內(nèi)由路口離開交通流r的車輛數(shù)量.令ei,r(k)=ein(k)?eout(k)稱為交通流的擾動,比如路邊停車位的車輛.由此分析可知ei,r(k)是一個隨機變量.T表示控制間隔.本文假設(shè)控制間隔T為一個信號周期C.

假設(shè)交叉路口i和相鄰交叉路口j之間的偏移量等于零.針對交通流r,流入的車輛來自于路口j中的交通流w1,w2,w3,然而并不是交通流w1中所有的車輛都會流入r,只有左轉(zhuǎn)車流最終會駛?cè)虢煌鱮,假設(shè)左轉(zhuǎn)車輛占整個交通流w1的比例為τj,w1;i,r,稱之為轉(zhuǎn)彎率,即τj,w1;i,r表示從交叉口j的w1交通流轉(zhuǎn)入到交叉口i的r交通流的轉(zhuǎn)彎率.同理交通流w2中只有直行車輛流入交通流r,交通流w3中只有右轉(zhuǎn)車輛流入交通流r.故r的流入流量Ii,r(k)=τj,w1;i,rOj,w1(k)+τj,w2;i,rOj,w2(k)+τj,w3;i,rOj,w3(k).即交通流r的流入流量Ii,r(k)可以寫成:

其中,G表示交叉口j中流入交通流r的交通流集合(對于交通流r來說,G=w1,w2,w3).τj,w;i,r表示從交叉口j的w交通流轉(zhuǎn)入到交叉口i的r交通流的轉(zhuǎn)彎率.

對于流出流量,文獻[15]將其表示為飽和流率(常量)乘以綠燈時間,但在實際的交通中,并不是每一時刻的車流量都是以飽和流率流出的.所以結(jié)合實際交通情況,本文把實時檢測到的交通流量和綠燈時長作為控制變量.這樣建立的模型更符合實際交通.即對于流出流量Oi,r(k),它是由相位的綠燈時間gi,p(k)和單位周期內(nèi)的釋放的車流量q決定的.即交通流r的流出流量Ii,r(k)可以寫成:

其中,vi,r代表允許交通流r通行的相位集合.qi,r稱為交通流r的交通流量.

以一天的交通流量為例進行分析,早上7 點到9 點屬于上班高峰期,下午5 點到7 點屬于下班高峰期.很大程度上高峰期車流量可以以飽和流率駛離路口,但是在一天中的非高峰期,車輛通常不能按照飽和流率通行.對一周內(nèi)交通流分析,周一到周五工作日的交通流量和周末的交通流量特性肯定不同,所以僅依靠飽和流率計算車輛的流出量不夠準確.智能交通系統(tǒng)中,可以實時檢測車流量,這為車流量的取值提供方便.如果將交通流考慮成時變量,處理排隊長度優(yōu)化問題會很復(fù)雜,所以本文將仿真一個仿真周期內(nèi)的交通流量平均值作為整個仿真周期的交通流量,即在每一個仿真周期內(nèi)交通流量為常數(shù).但是每個仿真周期開始時,會更新交通流量的值,交通流量的大小隨著仿真周期的變化而變化,這也能體現(xiàn)交通流的動態(tài)特性.

據(jù)上述分析,本文把ui,p(k)=qi,rgi,p(k)作為整體控制變量.將式(2)和式(3)及ui,p(k)=qi,rgi,p(k)代入式(1)得:

根據(jù)式(3)中Oj,w(k)的定義,式(4)中的Oj,w(k)可以寫成以及T=C.所以式(4)可以寫成:

然后,整個區(qū)域都應(yīng)用式(5),可得到整個區(qū)域的離散時間狀態(tài)空間表達式:

另外,若區(qū)域中交通流只有外界輸入流量(見圖1(b)),則式(2)和式(4)必須寫成如下的形式:

其中,di,r代表i交叉口進入流r的交通需求.為了簡化,假設(shè)di,r已知.然后,式(6)可以寫成:

其中,X(k),U(k),d(k),e(k)分別表示狀態(tài)向量、控制向量、需求向量和擾動向量,且d(k)是常數(shù)向量,e(k)是一組隨機數(shù)組成的常數(shù)向量.狀態(tài)矩陣A為單位矩陣,B是控制輸入矩陣,D是需求矩陣.值得注意的是一些網(wǎng)絡(luò)特性(如拓撲結(jié)構(gòu)、飽和流率、轉(zhuǎn)彎率)都包含在輸入矩陣B中.

2 區(qū)域交通分解和優(yōu)化目標

2.1 動態(tài)子區(qū)域的劃分

隨著城市建設(shè)的發(fā)展,城市空間結(jié)構(gòu)和城市功能有了新的變化與發(fā)展,而不同的布局結(jié)構(gòu)和功能對交通需求是不一樣的,由此造成的交通流分布形態(tài)也是不一樣的,不同的交通流分布形態(tài)對交通誘導(dǎo)與控制的要求是不一樣的.因此要實現(xiàn)有效的交通控制,應(yīng)該根據(jù)城市空間和功能的發(fā)展變化來對整個交通絡(luò)系統(tǒng)進行分區(qū).但是值得注意的是,許多資料中顯示,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)或模型的分解在大規(guī)模復(fù)雜系統(tǒng)的協(xié)調(diào)和控制方面都存在先決條件.因此,為了控制和優(yōu)化的目的,在接下來的部分引入網(wǎng)絡(luò)分解策略.

為保證控制小區(qū)內(nèi)各路口間協(xié)調(diào)合作,疏導(dǎo)擁擠交通流,將擁擠區(qū)域與臨近稀疏路口劃為同一個小區(qū),以便于路口間信號協(xié)同配時.基于上述思想,本文主要以排隊比值的原則劃分子區(qū),具體原則如下:

當相鄰交叉路口之間的路段距離較短或者交通需求較高,即排隊比值較小時,通過關(guān)聯(lián)后實行協(xié)調(diào)控制,可降低排隊溢出而造成交通擁堵的風險.最大可能存在的車輛數(shù)與路段堵塞車輛數(shù)比值稱之為排隊比值:

式中,Q表示相鄰兩個交叉口之間的路段存在的最大交通流量;γ表示相鄰交叉口路段交通流量的波動系數(shù);L為車隊長度,Kjam表示阻塞密度,n表示車道數(shù).

本文定義相鄰交叉口的排隊比值關(guān)聯(lián)度為:

所以,從排隊比值的角度,可以通過確定IB,來合并交叉路口.

對于城市交通網(wǎng)絡(luò),每個交叉口和流入的交通流都可以看成一個子區(qū)域.分解區(qū)域的依據(jù)是能保證優(yōu)化問題相對應(yīng)的每個子區(qū)域考慮和相鄰子區(qū)域的所有獨立性.因此,每一個子區(qū)域Si ∈S包括一個中心交叉口i ∈I和流入的交通流,其中S為子區(qū)域集合,I為中心交叉口集合.圖2 就是區(qū)域分解的例子,可以看出交叉口1 和交通流x1,x2,x3組成子區(qū)域S1.圖2(b)是對應(yīng)圖2(a)中基準網(wǎng)絡(luò)的分解示意圖.

2.2 優(yōu)化目標

作為工業(yè)過程中最通用和最有效控制技術(shù),MPC 被廣泛用于解決大型多變量約束控制問題.MPC 的基本原理是選擇一個未來控制行動的序列,解決有限層約束最優(yōu)控制問題.在每一步,只實現(xiàn)第一個元素的優(yōu)化計算控制序列.然后,通過樣品改變時域大小,這樣由測量的新信息重復(fù)整個過程.

圖2 區(qū)域分解的例子((a)實驗區(qū)域;(b)實驗區(qū)域的分解情況)Fig.2 Example of network decomposition((a)A test network;(b)The decomposition of (a))

由于MPC 具有解決實際交通的不確定性和避免近視控制方案的能力,采用MPC 協(xié)調(diào)城市區(qū)域網(wǎng)絡(luò)的信號控制也特別有利于本文的研究.因此,優(yōu)化的存儲–轉(zhuǎn)發(fā)的方法得出的交通動態(tài)模型可以作為預(yù)測模型.開發(fā)了MPC 信號分割優(yōu)化框架.就像前文提到的那樣,把一個大型區(qū)域分割成無數(shù)個子區(qū)域的目的是減少計算的復(fù)雜性.因此,大型區(qū)域的優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)化為各個子區(qū)域的相互協(xié)作和優(yōu)化問題.

根據(jù)前面提到的子區(qū)域劃分方法,假定大型區(qū)域可以劃分成|S|個子區(qū)域.定義這些子區(qū)域的集合為S,那么子區(qū)域Si ∈S的離散時間動態(tài)模型為:

假設(shè)當前的時間索引為k0,預(yù)測時域為Np.那么子區(qū)域Si ∈S的優(yōu)化問題可以定義為:

其中,X(k+k0|k0)代表在t=k0T時刻對t=(k+k0)T時刻進行預(yù)測的狀態(tài)向量.B和D分別代表控制輸入矩陣和需求矩陣.g(·)=C ?Li ?和h(·)分別代表綠燈時間約束和交通需求約束.Q ≥0 和R ≥0 是兩個對角權(quán)矩陣.Q是狀態(tài)(區(qū)域中車輛的數(shù))權(quán)重.R陣為控制量的權(quán)重.

如前文描述,為了減少區(qū)域計算的復(fù)雜性,本文把區(qū)域分解成無數(shù)個小的子區(qū)域.因此,大型區(qū)域的優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)化成分解子區(qū)域的協(xié)同和優(yōu)化.假設(shè)利用上述分解原理,可以把大型區(qū)域分解成|S|個子區(qū)域.定義區(qū)域的集合是S,子區(qū)域的優(yōu)化問題可以定義為:

為了簡化zj,i(k+k0|k0)可縮寫成代表從相鄰子區(qū)域Sj流入到子區(qū)域Si的流入流量.表示從相鄰子區(qū)域Sj的r交通流流入到子區(qū)域Si的交通流量.zj,r;i,l是從相鄰子區(qū)域Si的r交通流流入到子區(qū)域Si的l交通流的預(yù)測流量.子區(qū)域Si和Sj的相互影響如圖3 所示.Ri和Rj分別代表子區(qū)域Si和Sj的總交通流數(shù).yi,j(k+k0|k0)表示從子區(qū)域Si流出的交通流量.

zj,i(k+k0|k0)和yi,j(k+k0|k0)區(qū)-別在于前者表示Sj的預(yù)測流入的交通流量,這個交通流來自于Si. 后者表示從Si流出的實際交通流量,這個交通流流入Sj.相對應(yīng)于zi,j(k+k0|k0),可以定義Mi,j和Mj,i是相互影響的矩陣,它們反映了子區(qū)域中交通流的輸入流和輸出流的關(guān)系.可以導(dǎo)出:

其中,IRj×Rj和IRi×Ri分別是維數(shù)Rj和Ri的單位矩陣.

圖3 相鄰區(qū)域之間的影響Fig.3 Influence between adjacent subnetworks

另外,為了更準確地對實際交通情況建立模型,從子區(qū)域Si的r1 交通流駛出轉(zhuǎn)入子區(qū)域Sj的r2交通流的車輛數(shù)量可以通過下式計算:

基于上述討論,可以推導(dǎo)出每個子區(qū)域的優(yōu)化問題.另外需要注意的是,基于預(yù)測輸入即zj,i的子區(qū)域Si的優(yōu)化問題可以解決.因此,為了反映子區(qū)域和它相鄰的子區(qū)域之間的關(guān)系,必須添加下面的相互平衡的約束條件,

一般來說,為了協(xié)調(diào)分割后的子區(qū)域,整個區(qū)域的優(yōu)化問題(10)可以定義為:

約束條件為式(13)～(17).

3 分層MPC 控制系統(tǒng)設(shè)計

由于大規(guī)模系統(tǒng)通過集中控制結(jié)構(gòu)很難得到理想的魯棒性和可靠性,而且在大規(guī)模系統(tǒng)的最優(yōu)控制計算復(fù)雜性大.鑒于這些原因,在大規(guī)模系統(tǒng)中可使用分層控制結(jié)構(gòu),結(jié)合分解、協(xié)調(diào)和并行處理進行改進.分級控制背后的基本原理是通過一些互相聯(lián)系的變量將給定的大規(guī)模系統(tǒng)分解為幾個子系統(tǒng),然后定義每個子系統(tǒng)的優(yōu)化問題,協(xié)調(diào)子系統(tǒng)導(dǎo)出一個最優(yōu)的解決方案.目標協(xié)調(diào)法和關(guān)聯(lián)預(yù)估法可用于協(xié)調(diào)改進,但目標協(xié)調(diào)法通常需要額外的術(shù)語引入到代價函數(shù),以避免解決方案有奇點,有奇點可能增加計算負擔.相比之下,關(guān)聯(lián)預(yù)估方法有潛力加快計算過程.因此,在本文研究中將注意力放在關(guān)聯(lián)預(yù)估方法上.

如果子區(qū)域Si和相鄰子區(qū)域之間的交互可以通過通信估計,然后為了減少較大的計算量,大規(guī)模的城市區(qū)域網(wǎng)絡(luò)可以分解成幾個小的子區(qū)域,與之相對應(yīng)的優(yōu)化問題可以分為幾個子區(qū)域的優(yōu)化.因此,為了確保滿足子區(qū)域Si和相鄰子區(qū)域之間的互動平衡約束,子區(qū)域Si需要和相鄰的子區(qū)域之間溝通和協(xié)調(diào).為了協(xié)調(diào)所有劃分的子區(qū)域、需要設(shè)計層次(或分布)控制結(jié)構(gòu)下協(xié)調(diào)算法.

需要注意的是,為了方便起見在接下來的討論中,時間步長k+k0|k0簡寫成k,例如z(k+k0|k0)和yi,r1;j,r2(k+k0|k0)分別簡寫成z(k)和yi,r1;j,r2(k).

3.1 基于MPC 優(yōu)化目標分析

一般來說,對偶優(yōu)化方法可以用來解決分解子網(wǎng)之間的協(xié)調(diào)問題.所有相互約束條件可以考慮采用拉格朗日乘子向量λ.整個交通網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題(13)的增廣拉格朗日函數(shù)可以被定義為:

其中,λi,j是對應(yīng)每個子系統(tǒng)的拉格朗日乘子,它與子網(wǎng)Si和Sj之間的約束有關(guān)[17].

拉格朗日對偶原理:定義函數(shù)θP(X,U)=maxλL(X,U,λ),下標P表示原始問題.假設(shè)給定某個U,如果違反原始問題的約束問題,即存在某個使得zj,i(k)=yj,i(k),那么就有

相反的,如果滿足約束條件,則由式(17)和式(18)可知:θP(X,U)=J(X,U)

因此:

稱為原始問題的值.

定義θD(λ)=minU L(X,U,λ),再考慮極大化D(λ),即P?=minU θP(X,U)

問題maxλminU L(X,U,λ)稱為廣義拉格朗日函數(shù)的極大極小問題.可以將廣義拉格朗日函數(shù)的極大極小問題表示為約束最優(yōu)化問題:

稱為原始問題的對偶問題.定義對偶問題的最優(yōu)值

稱為對偶問題的值.

定理1.若原始問題與對偶問題都有最優(yōu)值,則

證明.對于任意的λ和(X,U),有

由于原始問題和對偶問題都有最優(yōu)值,所以

基于拉格朗日對偶原理,拉格朗日對偶函數(shù)可以定義為:

約束條件是式(13)～(17),優(yōu)化變量U稱之為原始變量,拉格朗日算子λ也被稱為對偶變量.然后,與問題(19)相關(guān)的增廣對偶優(yōu)化問題可以定義為:

約束條件是(13)～(17),并且

為了減少計算的復(fù)雜性,也為了保證每個子網(wǎng)絡(luò)都能獨立被優(yōu)化.給出下面這個引理.

引理1.如果拉格朗日乘子λ和作用矢量zj,i(k)固定不變,拉格朗日函數(shù)可以被擴展成:

然后將(24)代入到對偶優(yōu)化問題(22)中,可以得到:

約束條件為式(11)～(16)和式(24).

3.2 分層MPC 控制器設(shè)計

基于以上討論:可以采用兩層模型預(yù)測控制解決對偶優(yōu)化問題.在上層控制中優(yōu)化協(xié)調(diào)量λ,z,在下層控制中通過求解每一個子區(qū)域的優(yōu)化問題φi(·),求得下層控制的優(yōu)化目標U.

下層控制:在下層控制中,每一個子區(qū)域的優(yōu)化問題是:

約束于式(13)～(17).值得注意的是,在解決子優(yōu)化問題(26)過程中,拉格朗日乘子以及作用矢量在解決子區(qū)域的優(yōu)化過程中被認為是常量.

為了方便說明,定義:

然后,對于任意的子區(qū)域Si和它的相鄰子區(qū)域Sj,拉格朗日算子λi,r1;j,r2和λj,r3;i,r4可以更新如下:

其中,β1和β2是正定的常量,表示給定的步長,可以是所有迭代的固定值,或者可以針對每次迭代變化和優(yōu)化.上標表示迭代步驟.

基于交互預(yù)測方法的理論基礎(chǔ),任意兩個子網(wǎng)絡(luò)Si和Sj之間的作用矢量zi,j和zj,i通過上層協(xié)調(diào)量估算.作用矢量在下層控制的各個子區(qū)域的MPC 優(yōu)化量中收集信息.因此,在(+1)步迭代中,作用矢量的估計量可以更新如下:

將式(29)代入式(27),可得:

然后結(jié)束協(xié)同的條件可以定義為:

其中,0<ε是給定誤差容限閾值.

另外,在式(28)和式(29)中值得注意的是,迭代過程是從開始的.因此,任意的子區(qū)域Si和它的相鄰子區(qū)域Sj,拉格朗日算子和以及作用矢zi,j和zj,i都必須在第一步迭代中初始化.

圖4 說明了所提出的方法的方案圖.

3.3 區(qū)域交通信號控制算法

算法1(區(qū)域交通信號控制算法).

步驟1 (初始化).假設(shè)在當前采樣步長k0的所有初始狀態(tài)Xi(k0)(i=1,2,···,|S|)均是可測的,對于k=k0+1,···,k0+Np,關(guān)聯(lián)向量都能被初始化.令c=1.

步驟2 (預(yù)測).對于k=k0+c ?1,···,k0+c ?2+Np,假設(shè)可以預(yù)測子區(qū)域Si的交通流r的交通需求di(k)和擾動ei(k).令-=1.如果c=1,則跳轉(zhuǎn)到步驟4.

圖4 所提出方法的方案圖Fig.4 Scheme of the proposed method

步驟3 (啟動).對于任意的i=1,2,···,|S|和k=k0+c ?1,···,k0+c ?2+Np,

步驟4 (下層優(yōu)化).對于任意的i=1,2,···,|S|和k=k0+c ?1,···,k0+c ?2+Np,由于關(guān)聯(lián)向量量可以由上層控制得到,每個子區(qū)域Si的MPC 優(yōu)化量記憶可以通過解決式(27)中的最優(yōu)化問題得到?jīng)Q策向量同時,可以通過(16)計算得到輸出交通流量,然后將這組數(shù)據(jù)傳送到上層優(yōu)化控制.

步驟 5 (上層優(yōu)化).對于任意的i=1,2,···,|S|和k=k0+c ?1,···,k0+c ?2+Np,基于迭代預(yù)測的方法,應(yīng)用下層優(yōu)化得到的根據(jù)式(30)和式(31)更新

步驟6 (檢驗和更新).檢測是否滿足最終的迭代條件,如果在迭代次數(shù)時滿足停止條件,然后結(jié)束迭代過程,跳轉(zhuǎn)至步驟7;否則,返回到步驟4.

步驟7 (完成).對于任意的交叉路口i=1,2,···,|S|,最優(yōu)控制變量序列應(yīng)用到子區(qū)域Si.

步驟8 (滾動時域).將時域移動到下一個控制間隔,令c=c+1,跳轉(zhuǎn)至步驟2.

4 仿真結(jié)果及分析

為了驗證本文改進模型后分層協(xié)調(diào)模型預(yù)測控制算法的有效性,本節(jié)主要通過與文獻[15]中所提出的存儲–轉(zhuǎn)發(fā)模型進行對比,從計算成本和算法性能兩個方面對比分析,評估本文算法的優(yōu)越性.對于計算成本的度量,本文采用了在不同的預(yù)測范圍Np內(nèi),用于解決在線優(yōu)化問題的模擬的平均CPU運行時間.對于算法性能的度量,采用在測試網(wǎng)絡(luò)中1 小時(即30 個模擬步驟)的測試中車輛的總時間消耗(TTS).

研究對象主要是圖2 所示的交通網(wǎng)絡(luò),測試網(wǎng)絡(luò)中包括18 條交通流,其中有5 條是流出的交通流,其余13 條是流入的交通流.因此x1,x2,x3和x8,x9是所研究網(wǎng)絡(luò)的流入交通流.x3和x4的長度是一樣的,都是1 200 m,x6和x11是1 440 m,其他長度都是600 m.此外,為了保證同步,假定任意兩個交叉口之間的偏移量都是零.表1 給出了基本參數(shù)的定義,表2 給出了測試路網(wǎng)中各個交通流的轉(zhuǎn)彎率,不存在直接轉(zhuǎn)彎關(guān)系的交通流轉(zhuǎn)彎率為零.

表1 基本參數(shù)的定義Table 1 Definitions of basic parameters

圖5 給出了5 條輸入交通流在仿真時間段的隨機變化情況,變化周期是10 min (相當于5 個仿真步數(shù)).圖5 測試網(wǎng)中的每條流入的交通流的變化周期是10 min (相當于5 個仿真步數(shù)),初始狀態(tài)和擾動是隨機產(chǎn)生的,為了簡化,初始狀態(tài)和擾動的定義如表3 所示.

圖6 說明了在預(yù)測時間窗不同的情況下,每個仿真周期中基于兩種不同模型的CPU 運行時間.

表2(a) 測試網(wǎng)中的轉(zhuǎn)彎率Table 2(a) Turning rates of the test network

表2(b) 測試網(wǎng)中的轉(zhuǎn)彎率Table 2(b) Turning rates of the test network

表3 初始狀態(tài)和擾動Table 3 initial states and disturbances

從表中可以看出,隨著Np的增長,基于兩種模型的CPU 運行時間都在迅速的增加.同時,與文獻[15]中的存儲–轉(zhuǎn)發(fā)模型相比,因為改進模型對流量的高效疏散,本文改進的存儲–轉(zhuǎn)發(fā)模型的每個仿真的CPU 運行時間會減少0.25%～70.25%.另外,從表中可以看出,隨著Np的增長,本文改進模型控制策略的性能優(yōu)勢更為明顯.

圖7～10 表明了不同預(yù)測窗下,對應(yīng)測試的6 種不同狀態(tài)(低初態(tài)低擾動LSLD、低初態(tài)高擾動LSHD、中初態(tài)低擾動MSLD、中初態(tài)高擾動MSHD、高初態(tài)低擾動HSLD、高初態(tài)高擾動HSHD)下,測試區(qū)域中車輛總的消耗時間(TTS)的情況.

圖5 外界輸入交通流Fig.5 Input traffic flow from outside

圖6 不同預(yù)測窗的運行時間Fig.6 Running time under different prediction window

圖7 Np=1 時不同狀態(tài)下兩種模型的TTSFig.7 TTS of each model under Np=1

圖8 Np=2 時不同狀態(tài)下兩種方法的TTSFig.8 TTS of each model under Np=2

圖9 Np=3 時不同狀態(tài)下兩種方法的TTSFig.9 TTS of each model under Np=3

圖10 Np=4 時不同狀態(tài)下兩種方法的TTSFig.10 TTS of each model under Np=4

從上述4 圖中,可以看出在不同狀態(tài)下,分布式模型預(yù)測控制的TTS 都短于集中式模型預(yù)測,并且隨著預(yù)測窗的增大,TTS 呈增長的趨勢.

下面從不同類型交通流的車輛消耗情況來探究本文所述方法的有效性.選取兩個具有代表性的交通流進行研究,分別是有外界輸入的交通流x3,無外界輸入的x7.圖11～14 給出所研究的兩個交通流在不同狀態(tài)下,由兩種控制策略分別控制的車輛數(shù)量的對比.

圖11 本文改進模型控制的交通流x3的變化Fig.11 The changing of traffic x3under proposed model

圖12 存儲轉(zhuǎn)發(fā)模型控制的交通流x3的變化Fig.12 The changing of traffic x3under store and forward model

圖13 本文改進模型控制的交通流x7的變化Fig.13 The changing of traffic x7under proposed model

觀察上述4 圖,首先在相同狀態(tài)下,由兩種不同模型控制的交通流,車輛排隊數(shù)量的變化趨勢幾乎是一樣的.由圖11 和圖12 對比可以發(fā)現(xiàn),不管初始排隊車輛處于什么狀態(tài),低擾動下交通流x3的車輛排隊數(shù)量遠遠低于高擾動狀態(tài)下的車輛排隊數(shù)量.由圖13 和圖14 對比可以發(fā)現(xiàn),相同狀態(tài)不同控制策略下對交通流x7的控制性能幾乎相同.

圖14 存儲轉(zhuǎn)發(fā)模型控制的交通流x7的變化Fig.14 The changing of traffic x7under store and forward model

對比圖11 和圖12 可見,圖11 中,約10 個仿真步數(shù)(即20 min)后,排隊數(shù)量出現(xiàn)了遞增的趨勢,并且出現(xiàn)了最大值.這是因為x3是有外界輸入的交通流,所以排隊長度的車輛數(shù)量遠遠大于沒有外界流入的交通流排隊數(shù)量.圖11 的隊列長度峰值比圖12 提前出現(xiàn),但到仿真結(jié)束時,平均隊列長度下降到了圖12 的1/3 左右.

綜上所述,本文提出改進的存儲–轉(zhuǎn)發(fā)模型在計算損耗和總的損失時間(TTS)上,性能優(yōu)于文獻[15]的存儲–轉(zhuǎn)發(fā)模型,尤其是隨著預(yù)測時間窗長度的增加,優(yōu)勢越來越明顯.同時,相同條件下,兩種控制模型對排隊車輛的消耗情況是一樣甚至更優(yōu)的.也就是說,在能達到相同的控制性能情況下,本文提出的改進的存儲–轉(zhuǎn)發(fā)模型在整個運行的計算速度上更優(yōu),這也是大型控制系統(tǒng)追求的目標.

5 結(jié)論

本文主要是針對區(qū)域交通進行研究,根據(jù)交通流的動態(tài)特性,提出了改進的存儲–轉(zhuǎn)發(fā)模型,建立相應(yīng)的區(qū)域交通狀態(tài)方程.為了減小計算復(fù)雜度,本文根據(jù)相應(yīng)的子區(qū)域劃分原則,把大型區(qū)域劃分成小的子區(qū)域.根據(jù)模型預(yù)測控制理論,提出區(qū)域交通的優(yōu)化問題,給出相應(yīng)的約束條件.為了協(xié)調(diào)各子區(qū)域,引進了分布式模型預(yù)測控制算法.仿真結(jié)果表明,在能達到相同的控制性能情況下,本文提出的基于改進的存儲–轉(zhuǎn)發(fā)模型的算法在解決問題的計算速度上優(yōu)于文獻[15]中基于存儲–轉(zhuǎn)發(fā)模型的分層模型預(yù)測.