彩色圖像顏色量化問題的求解方法

李賀 江登英 黃樟燦 王占占

摘 要：針對K-means聚類算法在彩色圖像顏色量化問題中對初始條件依賴性較強而易陷入局部最優(yōu)的缺點，以及傳統(tǒng)智能優(yōu)化算法在尋優(yōu)時只考慮了種群層內(nèi)個體的相互競爭而忽略種群層間相互協(xié)作的問題，提出了一種基于K-means的金字塔結構演化策略（PES）彩色圖像量化算法。首先，將K-means聚類算法中的聚類損失函數(shù)作為新算法的適應度函數(shù);其次，運用PES對色彩進行種群初始化、分層、探索、加速以及聚類等操作;最后，利用新算法對4幅標準彩色測試圖像進行不同色彩量化級的量化。實驗結果表明，所提算法能夠改善K-means聚類算法以及傳統(tǒng)智能算法的上述缺陷，在類內(nèi)均方誤差評判準則下，圖像的平均失真率比基于PES的算法低12.25%，比差分進化算法低15.52%，比粒子群優(yōu)化（PSO）算法低58.33%，比K-means算法低15.06%，且隨著色彩量化級的減少，算法量化后的圖像失真率比其他算法降低更多，此外，算法量化圖像的視覺效果優(yōu)于其他算法。

關鍵詞：圖像量化;金字塔結構;K均值聚類;粒子群優(yōu)化算法;智能算法

中圖分類號：TP317.4

文獻標志碼：A

Method for solving color images quantization problem of color images

LI He， JIANG Dengying*， HUANG Zhangcan， WANG Zhanzhan

School of Science， Wuhan University of Technology， Wuhan Hubei 430073， China

Abstract：

For the color quantization problem of color images， the K-means clustering algorithm has strong dependence on initial conditions and is easy to fall into local optimum， and the traditional intelligent optimization algorithms only consider the mutual competition between individuals in the population layer and ignores the mutual cooperation between the population layers. To solve the problems， a K-means-based PES （Pyramid Evolution Strategy） color image quantization algorithm was proposed. Firstly， the clustering loss function in K-means clustering algorithm was used as the fitness function of the new algorithm; secondly， PES was used for the population initialization， layering， exploration， acceleration and clustering of the colors; finally， the new algorithm was used to quantify four standard color test images at different color quantization levels. The experimental results show that the proposed algorithm can improve the defects of the K-means clustering algorithm and the traditional intelligent algorithm. Under the criterion of intra-class mean squared error， the average distortion rate of the image quantized by the new algorithm is 12.25% lower than that quantized by the PES-based algorithm， 15.52% lower than that quantized by the differential evolution algorithm， 58.33% lower than that quantized by the Particle Swarm Optimization （PSO） algorithm， 15.06% lower than that quantized by the K-means algorithm; and the less the color quantization levels， the more the image distortion rate reduced quantized by the new algorithm than that quantized by other algorithms. In addition， the visual effect of the image quantized by the proposed algorithm is better than that quantized by other algorithms.

Key words：

image quantization; pyramid structure; K-means clustering; Particle Swarm Optimization （PSO） algorithm; intelligent algorithm

0 引言

彩色圖像顏色量化是圖像處理領域的一項基本技術，它將圖像色彩從一個較大顏色集合映射到另一個較小顏色集合，通過選擇最優(yōu)的K種顏色建立目標調(diào)色板，使得根據(jù)目標調(diào)色板所得到的重建圖像失真度最小[1]。顏色量化在圖像處理的很多領域有著重要的作用，特別是彩色圖像的應用領域，比如：圖像壓縮、圖像存儲、圖像分割[2]、圖像復原等。

目前顏色量化方法較多，如八叉樹[3]、K-means算法[4]、遺傳算法（Genetic Algorithm， GA）[5]以及粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization， PSO）算法[6]等。許永峰等[7]把K-means聚類方法和粒子群優(yōu)化算法結合起來，對彩色圖像進行聚類量化，該算法在峰值信噪比和均方根誤差評判準則下可以得到更好的量化結果。Alamdar等[8]提出了一種基于遺傳算法和粒子群優(yōu)化算法的模糊C均值聚類 （the Fuzzy C-Means clustering， FCM） 混合算法，新算法結合了三種算法的優(yōu)點，聚類效果優(yōu)于其他算法。 Omran等[9]提出了一種基于PSO算法的彩色圖像顏色量化算法（Color Image Quantization

algorithm based on Particle Swarm Optimization， PSO-CIQ），該算法應用PSO來細化從K-means聚類算法中獲得的質(zhì)心。蘇清華[10]提出了基于差分進化的彩色圖像顏色量化算法DE-CIQ（Differential Evolution based Color Image Quantization algorithm），在DE/best/1策略中小概率的應用K-means聚類策略進行局部調(diào)整，提高了DE/best/1策略的量化效果和收斂速度。

以上所提到的K-means聚類算法是一種收斂速度較快的搜索算法，但它對初始條件依賴性較強，一旦選定了初始聚類中心 ，則后面的迭代過程是完全確定的 ，即該算法缺乏探索新解的能力 ，所以它容易陷入局部最優(yōu)解，在重建彩色圖像時很可能會嚴重失真[11]，這與梯度下降法相似，初始值的選取決定著能否尋求到全局最優(yōu)解。而PSO、DE等智能算法雖然降低了對初始解的依賴，但這些算法將研究重心放在了個體之間的競爭上，主要解決種群內(nèi)部個體開采與探索的矛盾，而忽略了種群內(nèi)部個體或者種群之間競爭與協(xié)作的矛盾。談慶[12]在2018年提出了金字塔結構演化策略（Pyramid Evolution Strategy， PES），它的并行搜索的特點克服了K-means極度依靠初始點的選擇的缺陷。此外，PES有著明確的分工機制與晉升機制，能夠兼顧平衡開采與探索、競爭與協(xié)作的矛盾，彌補了傳統(tǒng)的演化算法顧此失彼的缺陷，有著很強的跳出局部最優(yōu)的優(yōu)點。

因此，本文將彩色圖像顏色量化作為一種NP問題，提出了一種基于K-means的PES彩色圖像顏色量化算法。首先，將K-means聚類算法中的聚類損失函數(shù)作為新算法的適應度函數(shù);其次，根據(jù)金字塔結構演化策略的分層機制將初始化種群分層，通過個體探索、加速、聚類、傳遞等過程進行個體更新以及迭代;最后，通過仿真實驗驗證該算法在類內(nèi)均方誤差評判準則下得到失真度低于其他算法的量化圖像。

1 類內(nèi)均方誤差函數(shù)

設大小為m×n的彩色圖像Y記作：

Y（i， j）={YR（i， j），YG（i， j），YB（i， j）|1≤i≤m，1≤j≤n}

其中YR（i， j），YG（i， j），YB（i， j）分別表示了圖像Y的第i行第j列像素點所包含的紅、綠、藍三種顏色。

設量化后的圖像Y′記作：

Y′（i， j）= {Y′R（i， j），Y′G（i， j），Y′B（i， j）|1≤i≤m，1≤j≤n}

其中Y′R（i， j），Y′G（i， j），Y′B（i， j）分別表示量化后圖像Y′第i行第j列像素點所包含的紅、綠、藍三種顏色。

彩色圖像Y與其量化圖像Y′之間的顏色失真度一般用類內(nèi)均方誤差函數(shù)（Mean Squared Error， MSE）來度量[8]，其定義如下：

MSE=1m×n∑mi=1∑nj=1[（YR（i， j）-Y′R（i， j））2+

（YG（i， j）-Y′G（i， j））2+（YB（i， j）-Y′B（i， j）]1/2（1）

MSE值表示量化圖像的平均失真度，從式（1）中可以看出：MSE值越大，原圖像Y與量化后的圖像Y′之間的差別越大;MSE值越小，則原圖像Y與量化后的圖像Y′之間的差別越小，量化效果就越好[10]。

2 K-means聚類算法

K-means聚類算法是聚類算法的典型代表，其基本思想是：設X=（x1，x2，…，xn）是由n個樣本組成的樣本集，K（2≤K≤n）為預先設定的類別數(shù)目，k（k=1，2，…，K）為第k類樣本的中心，根據(jù)樣本點到某個樣本中心的距離dik=‖xi-k‖最小來判斷樣本點屬于某一類別，其中聚類損失函數(shù)為：

f=∑Kk=1∑ni=1dik（2）

聚類評判標準即聚類損失函數(shù)達到最小，經(jīng)過每次迭代后的聚類中心更新為：

k=（∑nki=1 xi∈Xkxi）/nk（3）

其中：Xk表示屬于第k類的所有樣本點，nk表示第k類樣本點的數(shù)目。

K-means聚類算法的具體流程如下：

1） 給定初始樣本點X，分類數(shù)目K以及終止條件ε>0（或最大迭代數(shù)目MAXGEN）。

2） 初始化聚類中心0= （01，02，…，0K），并計算聚類損失函數(shù)f，令gen=0。

3） 計算dgenik以及gen=（gen1，gen2，…，genK）。

4）計算fgen+1，如果‖fgen+1-fgen‖<ε（gen>MAXGEN），則停止迭代;否則令gen=gen+1，返回步驟3）。

3 金字塔演化策略

3.1 PES基本思想

將種群分為不同的層次，層內(nèi)個體相互競爭，層間個體相互協(xié)作，分布在底層的個體競爭范圍較廣，數(shù)量較多;分布在上層的個體競爭范圍相對較小，數(shù)量較少。每層中的個體之間相互競爭，優(yōu)秀的個體有上升到更高層的機會。例如，一家企業(yè)公司的組成可以由金字塔結構進行表示：由決策層做出一些重大決策，然后由管理層傳遞命令，最后由基層進行實現(xiàn)，通過層與層之間的信息交互達到協(xié)作的目的。層與層之間不是固定的，而是存在競爭協(xié)作流動的，如果個體業(yè)績做好了，他會在同層之中脫穎而出，會有上升的機會;反之，則有可能被淘汰[13]。

PES整體框架是一個金字塔形狀，由探索層、傳遞層、開采層組成，同層個體之間存在競爭關系，層與層之間存在協(xié)作關系。

如圖1所示，在PES中，通過對種群進行適應度評估，適應度值較小的個體側(cè)重于探索工作，被分配到第4層;適應度值中等的個體負責開采、探索與傳遞工作，被分到2、3層;適應度值最大的個體側(cè)重于開采工作，被分到第1層;由下至上每層個體數(shù)逐漸減少。

3.2 層內(nèi)競爭

由于不同層分工的不同，競爭策略也不一樣。探索層個體為了探索發(fā)現(xiàn)一些潛在優(yōu)質(zhì)個體，它們的產(chǎn)生具有較大的不確定性，產(chǎn)生范圍較廣（即搜索半徑大）;傳遞層位于探索層與開采層之間，個體不確定性有所限制，其主要是構建開采與探索之間的橋梁并完成開采初步篩選，同時把潛在的優(yōu)秀個體傳輸給上一層;而位于頂層的開采層，它具有足夠強的開采能力去開采和深挖，可以把每一個潛在優(yōu)秀個體所對應的區(qū)域開采完全[12]。

3.3 層間協(xié)作

層間協(xié)作主要由兩部分組成：傳遞過程與孵化過程。對于不同層之間，通過優(yōu)秀個體向上傳遞進行升層操作;對于傳遞上去的新的潛在優(yōu)秀個體，需要進行保護培養(yǎng)政策來孵化，充分挖掘他的潛力，而不是直接與該層中的優(yōu)秀個體競爭[12]。

4 基于K-means的PES彩色圖像量化算法

由于K-means聚類算法對初始值敏感、易陷入局部極小值而得不到全局最優(yōu)解。本文將具有全局尋優(yōu)能力且考慮種群之間相互協(xié)作的PES和K-means聚類算法結合起來，將K-means聚類算法的聚類損失函數(shù)作為新算法的粒子適應度函數(shù)，將類內(nèi)均方誤差作為評價準則，對彩色圖像進行不同量化級的量化。

4.1 參數(shù)設置

給定K作為彩色圖像量化后的色彩量化級，本文取K=16、32、64，各層種群個體數(shù)量所占比例divide=（0.1，0.2，0.3，0.4）[12]，各層搜索鄰域半徑R=（1，3，6，8），各層傳遞比例trans=（0.2，0.4，0.6）[12]，加速步長lamta=0.3，迭代的最大次數(shù)MAXGEN=200[10]。

4.2 種群初始化

由于彩色圖像包括R、G、B三種顏色，設self（N，3）是大小為m×n的圖像Y所有顏色構成的矩陣，根據(jù)下列公式可以將原圖像中不同顏色提取出來。

Dif_X0=unique（self，′rows′）（4）

其中：Dif_X0為原圖像中不同顏色的集合，self表示一幅圖像的所有顏色;rows是一個參數(shù)設置，用來獲取矩陣self中不同行向量構成的矩陣;N=m×n，unique函數(shù)是把self（N，3）的不重復元素提取出來;再選取原圖像中不同的K種顏色作為一個個體，記作：X（K，3，i）（i=1，2，…，NIND，NIND表示種群個數(shù)）。則初始種群X可記為X（K，3，NIND），其中每一個個體都被表示成一個K×3的矩陣。

4.3 個體更新

根據(jù)式（2）計算每個個體的適應度值，將個體按照適應度值大小順序以及分層比例進行分層。在分配過程中：

num（i）=cumsum（length（F）×divided）（5）

其中：F是經(jīng)排序后的種群適應度值向量，cumsum是對向量進行累計求和，num（i）是每層所分配的最后一個個體在適應度向量中所占的位置。

根據(jù)式（5）中的num（i），將全部種群個體分別分配到探索層、傳遞層2、傳遞層1和開采層，具體操作如下：

Xi′=X′（1：num（i）），?? ????i=1

X′（num（i-1）+1：num（i）），i=2，3，4（6）

Fi=F（1：num（i）），?????? i=1

F（num（i-1）+1：num（i）），i=2，3，4（7）

其中：Xi′表示每層個體，F(xiàn)i表示每層個體的適應值。

通過式（5）～（7），將種群個體根據(jù)適應值大小合理地分配給每一層。為了尋得最優(yōu)解，每一層的個體都需要進行探索過程、加速過程、傳遞過程以及聚類過程。

4.3.1 探索過程

由于每一層的任務側(cè)重點不同，分工和探索半徑也不同，第四層主要側(cè)重探索，新個體的產(chǎn)生需要較大的隨機性，因此該層探索半徑較大。第一層的個體適應性較好，主要側(cè)重于開采，為了把每一個潛在優(yōu)秀個體所對應的區(qū)域開采完全，需要對其設置一個較小的探索半徑，搜索半徑反映了個體的開采與探索的能力。在文獻[12]中，每一層的搜索半徑是依據(jù)變量的上界U與下界L而選擇，如PES將第1層的搜索半徑設置為0.03*（U-L），第2層設置為0.05*（U-L），第3層設置為0.1*（U-L），第4層設置為0.55*（U-L）。在本文中，所研究的色彩值的每個分量是0～255之間的一個整數(shù)，為了方便起見，本文從第1層～第4層的搜索半徑依次設為1、3、6、8。 當然，搜索半徑的大小影響著算法的尋優(yōu)能力，如果設置得過大，則算法的全局搜索能力變強，但局部搜索能力會變?nèi)酰粗嗳?，它與差分進化算法中的收縮因子F、遺傳算法中的交叉概率Pc等有著相似的作用，是影響算法性能的一個人為設置的參數(shù)。設每層探索半徑為Ri（i=1，2，3，4），則：

xnew=x+randperm（2*Ri+1，3）-Ri-1（8）

其中：xnew表示由原來個體x探索出的新個體。整個式（8）保證了個體x是在以自身為中心，半徑為Ri的鄰域內(nèi)搜索。

4.3.2 加速過程

在探索到新個體之后，為了能夠更好地完成初步篩選的功能，對其進行加速操作。加速規(guī)則如下：

xspeed=xnew+ceil（λ（xnew-x））， f（x）≥f（xnew）

x+ceil（λ（x-xnew）），f（x）

其中： f為適應度函數(shù)，xnew-x，x-xnew表明個體加速過程是朝著更優(yōu)的方向進行的。步長值設置為小數(shù)，是為了避免差值較大而錯過最優(yōu)解，經(jīng)過調(diào)試，本文暫時將其設置為0.3。

4.3.3 傳遞過程

除了第一層，其他各層的傳遞過程均是從該層得到的新群體中選取一定比例的個體向上一層進行傳遞，然后按照規(guī)模為2的隨機聯(lián)賽規(guī)則選取每一個被傳遞的個體。

傳遞過程充分體現(xiàn)了層與層之間的相互協(xié)作，優(yōu)秀的個體得到了晉升的機會，上升到上一層，在新的一層中會與同層個體再次進行競爭以獲得上升到更高層的機會。

4.3.4 K-means聚類

對每一個由探索、加速過程得到的新個體都需要進行K-means聚類。首先根據(jù)式（3）得到新的聚類中心，即新的個體;然后根據(jù)式（2）計算新個體的適應度值;最后將新舊個體的適應度值進行比較，并選擇一定比例的優(yōu)質(zhì)個體傳遞到上一層。

4.4 整合新種群

將每一層探索并聚類后的新個體、加速并聚類后的新個體、以及傳遞而來的新個體整合在一起，按照輪盤賭規(guī)則從中選擇同等數(shù)量的個體作為該層新個體。

4.5 算法流程

步驟1 確定參數(shù)，給定K作為彩色圖像的色彩量化級，確定種群規(guī)模NIND，以及各層種群個體所占比例divide，迭代的最大次數(shù)MAXGEN;

步驟2 種群初始化，隨機選取原圖像中的K種不同顏色作為一個個體x，構造初始種群，記為X（K，3，NIND）;

步驟3 種群分層，按照式（2）計算每個個體的適應值，將總的個體按適應值從大到小的排序，并根據(jù)式（5）、（6）、（7）進行分層;

步驟4 對個體進行更新，每層個體通過探索、K-means聚類、加速、K-means聚類過程進行更新，并從整合后的群體中按比例選取一定數(shù)量個體傳遞到上一層;

步驟5 終止條件判斷，如果gen>MAXGEN，則終止，并根據(jù)得到最優(yōu)的色彩結果對原彩色圖像Y進行量化，畫出量化圖像Y′;否則令gen=gen+1，X=NewX，重新回到步驟3。

4.6 時間復雜度分析

設最大迭代次數(shù)為MAXGEN，種群規(guī)模為NIND，色彩量化級為K，由4.5節(jié)知，在一個完整的循環(huán)過程，第3步、第4步與第5步為并列操作，語句的執(zhí)行頻度均為f（n）=NIND·K，則對于算法的全部循環(huán)過程，語句的執(zhí)行頻度為f（n）=

MAXGEN·NIND·K， 因此本文算法的時間復雜度可表示為T（n）=O（f（n））=O（MAXGEN·NIND·K），K-means聚類算法與探索等過程是并列的，并沒有增加PES的時間復雜度，因此本文算法的時間復雜度與PES算法保持一致。

5 仿真實驗

為驗證算法的有效性，實驗對文獻[10]中的大?。ǚ直媛剩?12×512的4幅標準測試圖像進行量化，如圖2（a）前4幅圖像所示，將本文新算法與K-means算法、PSO算法、DE/best/1算法以及基于PES的算法對彩色圖像量化結果進行比較。這里用類內(nèi)均方誤差MSE作為對比量。根據(jù)已有文獻參數(shù)顯示，在PSO算法和DE/best/1算法中，均有以下設置：種群規(guī)模為100，最大迭代次數(shù)為200，算法均運行10次，記錄10次實驗中最小的MSE值。因此本文算法參數(shù)設置為種群規(guī)模100，最大迭代次數(shù)200，加速步長為0.3，同樣運行10次，記錄10次實驗中的最小MSE值。

以16色彩量化級的圖像為例，本文展示了5種不同算法的量化圖像，如圖2前4幅圖像中的（b）～（f）所示，同時以Lenna、Baboon圖像為例展示了部分細節(jié)效果，如圖2后2幅圖像Detail-L與Detail-B中的（b）～（f）所示。其中每幅圖中的 （b）、（c）、（d）、（e）和（f）分別表示本文算法、PES、DE/best/1、PSO、K-means聚類算法的量化圖像。需要指出的是，DE/best/1、PSO、K-means這三種算法的量化圖像效果來源于文獻[10]。表1為PES、DE/best/1、PSO、K-means以及本文算法分別對Pepper、Airplane、Lenna、Baboon這四幅圖像10次量化后的最小MSE值比較。表2為本文算法與其他算法在3個量化級、3幅圖像的MSE值的平均差值比。

圖2前4幅圖像分別展示了不同算法在色彩量化級為16時的量化圖像;圖2后兩幅圖像分別展示了圖2（a）中Lenna與Baboon兩幅圖像黑框部位不同算法的細節(jié)效果，通過圖像對比可以看出，本文算法得到的量化圖像與原圖像更加貼近。

通過表1數(shù)據(jù)可以看出：

1） 對于圖像Pepper、Baboon，無論色彩量化級為k=16、k=32或k=64，基于PES的算法的MSE值都低于PSO 算法、DE/best/1算法以及K-means的MSE值，且色彩量化級越少，兩者差別越大。

2） 對于圖像Lenna，無論色彩量化級為k=16或k=32，基于PES的算法的MSE值都低于PSO 算法、DE/best/1算法以及K-means的MSE值。但當k=64時，K-means算法的MSE值低于PES算法的MSE值。

3） 對于圖像Airplane，在3個色彩量化級，基于PES的算法的MSE值僅低于PSO算法的MSE值。與DE/best/1算法和K-means算法相比，其MSE值都比較大，量化結果較差。

以上結果分析表明，基于PES的算法總體比PSO 算法和DE/best/1算法的量化效果好，這也體現(xiàn)了作為智能算法，以往智能算法只把問題的核心放在個體的競爭上，而忽略了種群層間相互協(xié)作的不足，以及PES算法通過人才培養(yǎng)機制綜合考慮種群層內(nèi)競爭、層間合作的優(yōu)勢之處。但K-means作為經(jīng)典的聚類算法，具有較強的局部搜索能力，其聚類效果以及收斂速度是極好的。從表1數(shù)據(jù)可以看出，隨著色彩量化級的增加， K-means量化效果也逐漸增強，當k=64時，其量化效果優(yōu)于PES的量化效果。

本文新算法綜合考慮PES和K-means的優(yōu)缺點，首先通過具有全局尋優(yōu)能力的PES智能算法避免了K-means聚類算法易陷入局部最優(yōu)的缺點，然后結合K-means聚類算法聚類效果好的優(yōu)點，最后對原圖像進行量化。從表1可以看出，在k=16、32、64時，新算法所得MSE值均比其他算法小，這說明了該算法在克服了K-means聚類算法對初始點敏感和易陷入局部最優(yōu)的問題后展現(xiàn)出的優(yōu)越性。從表2可以看出，新算法對于Pepper、Airplane、Lenna三幅圖像量化后的MSE平均差值比為：比PES低12.25%，比DE/best/1低15.52%，比PSO低58.33%，比K-means低15.06%。以上分析均表明，新算法的量化效果優(yōu)于其他智能算法以及K-means聚類算法。

6 結語

本文把將PES用于彩色圖像顏色量化中，將K-means聚類算法中的聚類損失函數(shù)作為個體適應度函數(shù)，提出了一種基于K-means的PES彩色圖像量化方法。本方法充分利用了PES的特點，較好地解決了彩色圖像顏色量化中K-means聚類算法對初值選擇很敏感的問題，同時考慮了種群個體在優(yōu)化過程中層內(nèi)個體相互競爭與層間個體相互協(xié)作的問題，平衡了算法開采與探索、協(xié)作與競爭的矛盾，讓協(xié)作和競爭變得高效。仿真實驗表明，新算法對彩色圖像的量化效果優(yōu)于粒子群等智能算法以及K-means聚類算法的量化效果，并且可以產(chǎn)生較好的視覺效果。

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This work is partially supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities （2017IB014），

the Humanities and Social Sciences Research Project of Ministry of Education of the Peoples Republic of China （13YJCZH060）.

LI He， born in 1994， M. S. candidate. Her research interests include applied mathematics， image processing.

JIANG Dengying， born in 1976， Ph. D.， professor. Her research interests include applied mathematics.

HUANG Zhangcan， born in 1960， Ph. D.， professor. His research interests include intelligent computing， image processing.

WANG Zhanzhan， born in 1993， M. S. candidate. His research interests include intelligent computing.