無(wú)能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)的多尺度量子諧振子算法

王德志 王鵬

摘 要：多尺度量子諧振子算法是一種基于量子理論構(gòu)建的智能優(yōu)化算法。能級(jí)穩(wěn)定過(guò)程是該算法的核心迭代過(guò)程之一，能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)是判斷算法是否達(dá)到暫穩(wěn)態(tài)的條件。通過(guò)對(duì)算法物理模型的分析，可知算法在初始采樣階段每一次迭代操作都是能級(jí)下降的過(guò)程，所以取消能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)，也可實(shí)現(xiàn)算法從高能態(tài)過(guò)渡到暫穩(wěn)態(tài)直至基態(tài)的進(jìn)化過(guò)程。無(wú)能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)的算法在6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上的結(jié)果顯示其在求解精度、成功率、迭代次數(shù)上均表現(xiàn)出了優(yōu)異的性能，算法的波函數(shù)顯示無(wú)能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)的算法仍然可以完成從高能態(tài)到基態(tài)的收斂，且無(wú)能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)的算法在結(jié)構(gòu)上更加簡(jiǎn)潔，易用性更高，實(shí)現(xiàn)難度更低。無(wú)能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)的多尺度量子諧振子算法能夠以更加簡(jiǎn)潔且有效的方式進(jìn)行應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：多尺度量子諧振子算法;優(yōu)化算法;能級(jí)穩(wěn)定;量子模型;成功率;波函數(shù)

中圖分類號(hào)：TP301.6

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Multi-scale quantum harmonic oscillator algorithm without energy level stability criterion

WANG Dezhi， WANG Peng*

School of Computer Science and Technology， Southwest Minzu University， Chengdu Sichuan 610041， China

Abstract：

Multi-scale quantum harmonic oscillator algorithm is an intelligent optimization algorithm based on quantum theory. The energy level stabilization process is one of the core iterative processes of the algorithm， and the energy level stability criterion is the condition for judging whether the algorithm reaches metastable state. Through the analysis of the physical model of the algorithm， it was considered that each iteration of the algorithm in the initial sampling stage is a process of energy level descent， so that the algorithm without energy level stability criterion was also able to realize the evolution from high energy state to metastable state until ground state. The results of the algorithm without energy level stability criterion on six standard test functions show the excellent performance of the algorithm in terms of solution accuracy， success rate and number of iterations. The wave function of the algorithm shows that the algorithm without energy level stability criterion can still converge from the high-energy state to the ground state， and is simpler in structure， easier to use and less difficult to implement. Multi-scale quantum oscillator algorithm without energy level stability criterion can be applied in a more concise and efficient way.

Key words：

multi-scale quantum harmonic oscillator algorithm; optimization algorithm; energy level stability; quantum model; success rate; wave function

0 引言

利用物理模型構(gòu)建智能優(yōu)化算法是一種非常有效的方法，例如模擬退火算法（Simulated Annealing Algorithm， SAA）是基于1953年提出的Metropolis選擇準(zhǔn)則構(gòu)造的[1]，核心思想是當(dāng)算法陷入局部最優(yōu)時(shí)，接受一個(gè)比當(dāng)前解更差的解，以此跳出局部最優(yōu)。量子粒子群優(yōu)化（Quantum-behaved Particle Swarm Optimization， QPSO）算法利用δ勢(shì)阱下的量子波函數(shù)構(gòu)造粒子進(jìn)化公式，通過(guò)不斷減小特征長(zhǎng)度逐步實(shí)現(xiàn)局域化的新解采樣，從而達(dá)到算法收斂的目的[2]。多尺度量子諧振子算法（Multi-Scale Quantum Harmonic Oscillator Algorithm， MQHOA）也是一種利用物理模型構(gòu)建的智能優(yōu)化算法，MQHOA利用量子波函數(shù)的概率解釋來(lái)模擬算法的采樣過(guò)程，從而完成算法的求解。文獻(xiàn)[3]給出了MQHOA的完整實(shí)現(xiàn)方法，并對(duì)算法進(jìn)行了詳細(xì)的介紹。另外MQHOA在多峰優(yōu)化問(wèn)題上也表現(xiàn)出了較好的性能，并提出了一種用于多模優(yōu)化的MQHOA的變種[4]。文獻(xiàn)[5]詳細(xì)闡述了MQHOA的物理模型和數(shù)學(xué)分析，通過(guò)與遺傳算法、模擬退火算法、粒子群算法和量子粒子群算法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明，MQHOA在收斂速度和最優(yōu)解精度方面具有競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)和優(yōu)越性。2016年，研究團(tuán)隊(duì)提出了具有能級(jí)穩(wěn)定過(guò)程的多尺度量子諧振子算法，算法的基本框架包括能級(jí)穩(wěn)定過(guò)程、能級(jí)降低過(guò)程和尺度降低過(guò)程[6]。MQHOA的特別之處在于采樣的方式是利用高斯分布的中心位置進(jìn)行采樣，這種采樣方式是非均勻采樣中的重要采樣方法，可以使重要區(qū)域的采樣密度相對(duì)較高，靠近最優(yōu)解的采樣密度相對(duì)較高，從而提高采樣效率、減少采樣次數(shù)。同時(shí)，MQHOA在實(shí)際工程領(lǐng)域也得到了應(yīng)用，在云計(jì)算任務(wù)調(diào)度[7]、相空間聚類[8]中都取得了

較好的效果。近期，算法又得到了進(jìn)一步的改進(jìn)，文獻(xiàn)[9]提出了一種具有嚴(yán)格亞穩(wěn)態(tài)約束MQHOA并在多模態(tài)優(yōu)化中得到應(yīng)用，MQHOA利用群統(tǒng)計(jì)策略來(lái)評(píng)估群體的狀態(tài)并忽略個(gè)體狀態(tài)，引入了嚴(yán)格的亞穩(wěn)態(tài)約束策略。增強(qiáng)了在局部區(qū)域找到更好質(zhì)量解決方案的能力。文獻(xiàn)[10]提出了一種具有截?cái)嗥骄€(wěn)定策略的MQHOA，并用于求解全局?jǐn)?shù)值優(yōu)化問(wèn)題。理論和實(shí)驗(yàn)分析表明，三重均值穩(wěn)定策略能在一定程度上提高收斂效率。

從構(gòu)建算法的物理模型來(lái)分析[11]，能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)并不是算法整體框架內(nèi)的必須條件。能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)的存在并沒(méi)有對(duì)應(yīng)的物理意義可以解釋，反而增加了算法采樣過(guò)程中不必要的動(dòng)作。本文嘗試將MQHOA中的能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)去除，進(jìn)一步簡(jiǎn)化MQHOA的基本框架，提出了一種無(wú)能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)的MQHOA，文中將有能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)的算法成為多尺度量子諧振子算法A版本（Multi-scale Quantum Harmonic Oscillator Algorithm A， MQHOA-A），無(wú)能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)的算法成為多尺度量子諧振子算法B版本（Multi-scale Quantum Harmonic Oscillator Algorithm B， MQHOA-B）。

1 MQHOA物理模型

多尺度量子諧振子算法以量子理論中波函數(shù)的物理意義為基礎(chǔ)，模擬諧振子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，建立了算法的基本思想。在量子力學(xué)中粒子出現(xiàn)的機(jī)率可以用波函數(shù)（wave function）進(jìn)行描述，但波函數(shù)既不能描述粒子的軌跡也不能描述粒子的形狀，對(duì)于任意粒子只能依據(jù)波函數(shù)給出其位置分布的概率。描述量子系統(tǒng)的方程稱為薛定諤方程，它可以寫(xiě)成如下的形式：

-h2m2x2+V（x） ψ（x）=Eψ（x）（1）

MQHOA算法將優(yōu)化問(wèn)題中的目標(biāo)函數(shù)f（x）看作薛定諤方程中的勢(shì)阱V（x），復(fù)雜目標(biāo)函數(shù)f（x）在全局最小值位置x0附近可以采用泰勒序列進(jìn)行展開(kāi)：

V（x）=f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+12f″（x0）（x-x0）2+…（2）

在f（x）的泰勒展開(kāi)中f（x0）為常數(shù)，在最小值位置x0處目標(biāo)函數(shù)f′（x0）=0，去除高次項(xiàng)，可以得到：

V（x）=f（x）f（x0）+（1/2） f″（x0）（x-x0）2（3）

函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題在這一對(duì)應(yīng)條件下就轉(zhuǎn)變?yōu)榍罅Ｗ釉趧?shì)阱約束條件下的基態(tài)波函數(shù)問(wèn)題?；鶓B(tài)波函數(shù)代表了量子系統(tǒng)中粒子在能量的基態(tài)時(shí)的概率分布，而在函數(shù)優(yōu)化中，采樣種群在目標(biāo)函數(shù)可行解空間內(nèi)不斷向最優(yōu)解的方向收斂的過(guò)程可以看作是能量不斷向基態(tài)遷移的過(guò)程，因此，基態(tài)波函數(shù)的概率分布可以看作是目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解的概率分布。定義算法當(dāng)前波函數(shù)ψ（x）2為k個(gè)正態(tài)概率分布N（xi，σ2s）的疊加。

ψ（x）2=∑ki=1N（xi，σ2s）=∑ki=112πσs e-（x-xi）22σ2s（4）

從概率上理解波函數(shù)ψ（x）2就是當(dāng)前迭代過(guò)程中全局最優(yōu)解的概率分布，MQHOA算法的全部迭代過(guò)程都是為了使波函數(shù)的概率分布向最優(yōu)解的位置集中。能級(jí)穩(wěn)定過(guò)程的基本操作是k個(gè)正態(tài)分布產(chǎn)生的新解不斷替換差解的過(guò)程。當(dāng)算法在迭代過(guò)程中滿足一定約束條件時(shí)即認(rèn)為算法在當(dāng)前能級(jí)下進(jìn)入暫穩(wěn)態(tài)，這一約束條件就是能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)。

從物理模型來(lái)看，算法在向最優(yōu)解收斂的過(guò)程本身就是能級(jí)不斷下降的過(guò)程。MQHOA中的能級(jí)穩(wěn)定過(guò)程在算法的整體框架下顯得冗余。能級(jí)穩(wěn)定的判據(jù)是人為設(shè)定的，在一定程度上與物理模型的實(shí)際過(guò)程不相符，算法在高能級(jí)時(shí)的穩(wěn)定狀態(tài)對(duì)應(yīng)于物理中的亞穩(wěn)態(tài)，此時(shí)采樣位置的概率分布一般是位于目標(biāo)函數(shù)的局部最優(yōu)位置附近，只有算法處于能量較低的基態(tài)時(shí)，算法才能在當(dāng)前尺度穩(wěn)定。本文提出的MQHOA-B算法，在新的框架下，算法更為簡(jiǎn)潔且更符合量子物理中能級(jí)變化的規(guī)律。無(wú)能級(jí)穩(wěn)定過(guò)程及其判據(jù)也能實(shí)現(xiàn)算法從高能態(tài)到基態(tài)的收斂。

2 MQHOA基本流程

2.1 MQHOA-A算法流程

MQHOA-A為有能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)的版本。算法包括能級(jí)穩(wěn)定過(guò)程、能級(jí)降低過(guò)程和尺度降低過(guò)程，分別對(duì)應(yīng)于偽代碼中的三個(gè)while循環(huán)。算法迭代的基本操作包括高斯采樣和3個(gè)收斂判據(jù)，需要主觀設(shè)定的參數(shù)只有采樣種群個(gè)數(shù)k，避免了多個(gè)控制參數(shù)造成的參數(shù)設(shè)定的困難。能級(jí)穩(wěn)定過(guò)程的引入，使MQHOA能在高能級(jí)的亞穩(wěn)態(tài)能進(jìn)行充分的搜索，保證了解的多樣性。雖然能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)的存在，可以增強(qiáng)粒子在尋優(yōu)過(guò)程中搜索能力，但是能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)是人為設(shè)定的，在一定程度上使算法在搜索過(guò)程中具有主觀性，并對(duì)尋優(yōu)結(jié)果有一定的影響。MQHOA-A的偽代碼如下所示。

有序號(hào)的程序——————————Shift+Alt+Y

程序前

1）

initialize k， σmin， MAX， MIN， σs=MAX-MIN

2）

randomly generate xi （i=1，2，…，k） in [MIN，MAX]

3）

calculate fi=f（xi），? fbest=fmin（xi）， xbest=xi

4）

calculate the standard deviation σk for all xi

5）

while （σs>σmin） do

6）

while （σk>σs） do

7）

while （Δσk>σs） do

8）

xi， generate xi′～N（xi，σs2）

9）

xi and xi′， if? f（xi′）

10）

calculate the standard deviation σk for all xi′

11）

Δσk=|σk-σk′|

12）

end

13）

update the worst solution： xworst=xmean

14）

end

15）

σs=σs/2

16）

end

17）

output xbest， f（xbest）

程序后

2.2 MQHOA-B算法流程

MQHOA-B為無(wú)能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)的版本。算法無(wú)需能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)即可實(shí)現(xiàn)第一階段的采樣過(guò)程，從代碼上看，直接帶來(lái)的改變就是減少一層循環(huán)。算法從三層循環(huán)變成兩層循環(huán)，新版本的算法在一個(gè)更加簡(jiǎn)潔的框架下同樣能完成算法的基本搜索過(guò)程。算法在無(wú)能級(jí)穩(wěn)定過(guò)程判據(jù)的情況下仍然實(shí)現(xiàn)了算法初始階段的采樣過(guò)程。無(wú)能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)的算法的整體流程更加符合量子體系中能量變化的特點(diǎn)，更加地貼合物理模型。去掉能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)，使算法在采樣過(guò)程中避免了主觀的人為干預(yù)，算法的求解過(guò)程更加客觀，提高了結(jié)果的可靠性。MQHOA-B的偽代碼如下所示。

有序號(hào)的程序——————————Shift+Alt+Y

程序前

1）

initialize k，σmin，MIN，MAX，σs=MAX-MIN

2）

randomly generate xi （i=1，2，…，k） in [MIN，MAX]

3）

calculate fi=f（xi）， fbest=fmin（xi），xbest=xi

4）

while （σs>σmin）? do

5）

while （σk>σs）? do

6）

xi，generate x′i～N（xi，σ2s）

7）

xi and x′i， if f（x′i）

8）

calculate the standard deviation σk for all x′i

9）

update the worst solution： xworst=xmean

10）

end

11）

σs=σs/2

12）

end

13）

output? xbest， f（xbest）

程序后

無(wú)能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)的算法具體迭代過(guò)程如下：

其中：k是可以人為設(shè)置的采樣種群個(gè)數(shù)，σmin表示每個(gè)維度上的收斂精度，目標(biāo)函數(shù)的定義域?yàn)閇MIN，MAX]，初始尺度σs=MAX-MIN，算法的結(jié)束條件為σs≤σmin。

步驟1 對(duì)于每個(gè)xi各自按正態(tài)分布N（xi，σ2s）生成k個(gè)采樣位置x′i。

步驟2 計(jì)算新位置的函數(shù)值，若f（x′i）

變化的絕對(duì)值，Δσk=σk-σ′k。對(duì)方差進(jìn)行更新σ′k：

σ′k ← σk。

步驟3 用k個(gè)當(dāng)前最優(yōu)采樣位置的均值替換最差解的位置：xworst=xmean。

步驟4 計(jì)算當(dāng)前最優(yōu)解位置方差σk，如果（σk<σs），

能級(jí)降低過(guò)程結(jié)束，否則轉(zhuǎn)到步驟1。

步驟5 尺度下降過(guò)程，尺度減半σs=σs/2，使算法在更小尺度下重復(fù)能級(jí)的不斷從高到低的過(guò)程，直至滿足收斂條件。

3 實(shí)驗(yàn)分析

3.1 實(shí)驗(yàn)說(shuō)明

選擇了6個(gè)常用的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)來(lái)檢測(cè)新框架下算法的性能，測(cè)試了所有函數(shù)在100維以內(nèi)的情況，對(duì)于Griewank函數(shù)的測(cè)試達(dá)到了500維，函數(shù)的定義域取值均為[-10，10]。算法的初始采樣個(gè)數(shù)為k=30，算法的收斂精度均為σmin=1×10-6，當(dāng)求解的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值與理論最優(yōu)值的差的絕對(duì)值小于等于1×10-6則認(rèn)為在這一次的求解成功，成功次數(shù)所占51次的比例即為成功率，用GDpercent表示。優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的維度用DIM表示，在一個(gè)維度為d的空間內(nèi)的粒子xi（i=1～k）可以寫(xiě)為Xi=[xi1，xi2，…，xid]，表示該粒子在d個(gè)方向上都是有信息分量的。優(yōu)化目標(biāo)均是尋找目標(biāo)函數(shù)的全局最小值，本文所選的測(cè)試函數(shù)理論最優(yōu)值均為0。實(shí)驗(yàn)主要關(guān)注算法的成功率、收斂情況以及波函數(shù)。所有仿真實(shí)驗(yàn)均在Intel Xeon CPU E5-1630 v3 @3.7GHz，16GB內(nèi)存的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行，程序采用Matlab 2016a實(shí)現(xiàn)。實(shí)驗(yàn)選用了6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)： f1（Ackley）、 f2（Levy）、 f3（Griewank）、 f4（Quadric）、 f5（Sum Square）、 f6（Zakharov）。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.2.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在實(shí)驗(yàn)的初始階段，對(duì)比了MQHOA-A和MQHOA-B的性能，并引入了QPSO算法作為參照。實(shí)驗(yàn)設(shè)置了相同的迭代次數(shù)，三種算法均設(shè)置最大迭代次數(shù)為10000×DIM。QPSO的種群規(guī)模為30，收縮擴(kuò)張系數(shù)α=1～0.5。主要關(guān)注三種算法求解的平均值、最優(yōu)值和方差，且每種算法得到的結(jié)果均是通過(guò)重復(fù)51次實(shí)驗(yàn)得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。如表1所示，其中下劃線數(shù)字為相對(duì)較優(yōu)的結(jié)果。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)MQHOA-B算法的基本測(cè)試結(jié)果與MQHOA-A的測(cè)試結(jié)果相比均表現(xiàn)出良好的性能。兩個(gè)版本算法的結(jié)果在平均值、最優(yōu)值和方差上無(wú)明顯差別。QPSO算法在函數(shù)f1的優(yōu)化中表現(xiàn)出較好的收斂性，但是在其他函數(shù)的收斂精度表現(xiàn)較差，總體的收斂能力不如MQHOA-A和MQHOA-B。由于QPSO采用的是δ勢(shì)阱模型，QPSO的優(yōu)勢(shì)在于收斂速度快，但是帶來(lái)的問(wèn)題是容易導(dǎo)致算法早熟和停滯，特別是在高維函數(shù)優(yōu)化中比較明顯。MQHOA-B在6個(gè)測(cè)試函數(shù)的30維和50維上的表現(xiàn)均與MQHOA-A保持在同一水平。兩個(gè)版本的算法均能以相對(duì)較高的精度找到函數(shù)的最優(yōu)解。MQHOA-B在一個(gè)更加簡(jiǎn)潔的框架下運(yùn)行，依舊能保證較高的求解精度和具有競(jìng)爭(zhēng)性的收斂能力。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)看，能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)并不是MQHOA的必要條件，去掉能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)，對(duì)算法的基本性能并沒(méi)有大幅度的影響，但是無(wú)能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)的算法（MQHOA-B）在結(jié)構(gòu)上更加清晰，更加符合物理模型，減少了人為干預(yù)帶來(lái)的不客觀因素。

3.2.2 成功率分析

如圖1（a）、圖1（b）、圖1（c）、圖1（d）、圖1（e）、圖1（f）所示，分別是MQHOA-A和MQHOA-B在函數(shù)f1、 f2、 f3、 f4、 f5、 f6上的成功率情況。從6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的結(jié)果來(lái)看，10維是一個(gè)臨界點(diǎn)，其中f1、 f2、 f3在10維以后成功率呈現(xiàn)下降趨勢(shì)。而在其他函數(shù)的優(yōu)化過(guò)程中并沒(méi)有出現(xiàn)明顯的變化，均能以100%的成功率找到最優(yōu)解。隨著函數(shù)維度的升高，兩個(gè)版本的算法的成功率逐漸下降，最后趨于零，總體趨勢(shì)基本一致。圖1（c）為算法在函數(shù)f3高維情況下的成功率變化情況，MQHOA-A與MQHOA-B在高維情況下均出現(xiàn)了較大的波動(dòng)，但是MQHOA-B要相對(duì)穩(wěn)定，總體的波動(dòng)較小。圖1（d）、圖1（e）、圖1（f）則分別反映了函數(shù)f4、 f5、 f6成功率情況，成功率均為100%。從圖1中可以看出，MQHOA-B和MQHOA-A的成功率變化基本呈現(xiàn)相同的趨勢(shì)，但是在高維情況下，MQHOA-B的成功率較為穩(wěn)定，波動(dòng)較小。

3.2.3 收斂性分析

收斂性是評(píng)價(jià)算法的重要指標(biāo)，本節(jié)對(duì)比了MQHOA-A和MQHOA-B在6個(gè)基本測(cè)試函數(shù)上的收斂情況。如圖2（a）和圖2（b）所示，分別是函數(shù)f1和f2在10維的時(shí)候收斂曲線，MQHOA-B算法均比MQHOA-A收斂得更快，且收斂精度均可達(dá)到1×10-5和1×10-10以上。

如圖3（a）和圖3（b）所示，分別是函數(shù)f5和f6在50維的時(shí)候的收斂曲線。MQHOA-B同樣能以較快的速度收斂，尤其在函數(shù)f5上，在迭代次數(shù)上比MQHOA-A大概少20萬(wàn)次便收斂到最優(yōu)解的位置。在函數(shù)f6上MQHOA-B與MQHOA-A基本保持在相同的收斂速度，但是在總的迭代次數(shù)依舊較少。

如圖4（a）和圖4（b）所示，分別是函數(shù)f3和f4在100維時(shí)的收斂曲線。MQHOA-B與MQHOA-A的收斂速度基本一致，但是總的收斂次數(shù)仍然較少。

綜上，MQHOA-B在收斂速度上基本與MQHOA-A持平，但是總的迭代次數(shù)較少。說(shuō)明MQHOA-B能夠以較少的迭代次數(shù)收斂到最優(yōu)解位置，尤其是在高維函數(shù)上，體現(xiàn)了MQHOA-B在高維函數(shù)優(yōu)化上的競(jìng)爭(zhēng)力。

3.2.4 波函數(shù)分析

MQHOA的波函數(shù)代表了算法在尋優(yōu)過(guò)程中解的概率分布，反映了算法的能級(jí)變化過(guò)程。在采樣的初始階段，算法處于高能級(jí)狀態(tài)，隨著迭代的進(jìn)行，算法逐漸向最優(yōu)解的方向移動(dòng)，能級(jí)逐漸下降，當(dāng)算法到達(dá)最優(yōu)解的位置時(shí)，能級(jí)處于基態(tài)。如圖5（a）、圖5（b）、圖5（c）、圖5（d）表示MQHOA-A在優(yōu)化2維Griewank函數(shù)時(shí)，尺度收縮過(guò)程中的三維波函數(shù)變化情況;圖5（e）、圖5（f）、圖5（g）、圖5（h）為對(duì)應(yīng)的三維波函數(shù)平面投影。如圖6（a）、圖6（b）、圖6（c）、圖6（d）表示MQHOA-B在優(yōu)化2維Griewank函數(shù)時(shí)，尺度收縮過(guò)程中的三維波函數(shù)變化情況;圖6（e）、圖6（f）、圖6（g）、圖6（h）為對(duì)應(yīng)的三維波函數(shù)平面投影。

算法的波函數(shù)表示了函數(shù)可行解區(qū)域中最優(yōu)解的概率分布，根據(jù)式（4），當(dāng)xi和σs已知時(shí)，即可得到算法在當(dāng)前尺度下的波函數(shù)，即目標(biāo)函數(shù)自變量x的概率分布。

如圖5所示，隨著尺度的下降，MQHOA-A算法從高能態(tài)迅速下降到基態(tài)，算法在σs=0.625的尺度下迅速收斂到最優(yōu)解位置附近，由于能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)的約束，算法能夠較快地收斂至基態(tài)，從而獲取目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。如圖6所示，從圖6（a）到圖6（b）可以看出，MQHOA-B較MQHOA-A能級(jí)下降得較緩慢，在能級(jí)下降的初始階段，跳出局部最優(yōu)解的能力較弱。但是，在能級(jí)下降后期，MQHOA-B與MQHOA-A同樣收斂到基態(tài)，獲取目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。兩個(gè)版本算法的波函數(shù)再一次印證了能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)的非必要性，雖然能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)能夠在一定程度上加強(qiáng)算法從高能態(tài)下降到基態(tài)的能力，但是在無(wú)能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)約束的情況下，算法依然能夠完成能級(jí)下降操作并收斂至目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解位置。

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)具有能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)的MQHOA提出了一種更加簡(jiǎn)潔的算法框架，新算法無(wú)能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)也能表現(xiàn)出較好的性能。通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析，無(wú)能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)的算法在部分函數(shù)上的成功率和收斂情況均比有能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)的算法更加優(yōu)異。無(wú)能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)的算法更加符合量子理論體系的物理模型，在算法的尋優(yōu)過(guò)程中，可以認(rèn)為每一次迭代都是算法向著能級(jí)較低的方向收斂，即向著目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解的方向移動(dòng)。無(wú)能級(jí)穩(wěn)定判據(jù)的算法結(jié)構(gòu)更簡(jiǎn)單，實(shí)現(xiàn)更容易，可以更好地應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題的求解。在實(shí)際解決實(shí)際工程問(wèn)題或者復(fù)雜問(wèn)題時(shí)候，推薦使用更加簡(jiǎn)潔的MQHOA-B算法。

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This work is partially supported by the National Natural Science Foundation of China （60702075， 71673032）， the Fundamental Research Funds for the Central Universities ， Southwest Minzu University（2019NYB22）.

WANG Dezhi， born in 1992， M. S. candidate. His research interests incude parallel computing， quantum computing.

WANG Peng， born in 1975， Ph. D.， professor. His research interests include parallel computing， quantum computing.