地震作用下建筑結(jié)構(gòu)的靜態(tài)輸出反饋H2/H∞控制

段 寅，許慶虎

(1.淮南聯(lián)合大學(xué)建筑工程系，安徽 淮南 232001；2.安徽建筑大學(xué)土木工程學(xué)院，安徽 合肥 230601)

近年來，建筑結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制研究已經(jīng)受到了越來越多的關(guān)注[1]。H∞控制算法作為一種常用的主動(dòng)控制策略，在建筑結(jié)構(gòu)的抗震控制中有著廣泛的應(yīng)用[2-4]。然而H∞控制算法雖然能夠較好地解決系統(tǒng)的魯棒性，卻犧牲了系統(tǒng)的其他性能[5]。鑒于此，綜合了H∞控制的魯棒性和H2控制的調(diào)節(jié)性能的混合H2/H∞控制方法具有重要的研究?jī)r(jià)值。文獻(xiàn)[6]采用動(dòng)態(tài)縮聚法對(duì)20層建筑結(jié)構(gòu)降階模型設(shè)計(jì)了H2/H∞控制器。控制器的魯棒性避免了忽略高階模態(tài)而引起的不穩(wěn)定溢出問題，保證了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[7]基于線性矩陣不等式技術(shù)提出了混合H2/H∞控制策略，用以降低地震作用下建筑結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)，并通過數(shù)值模擬對(duì)該方法的可行性和有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)了多目標(biāo)H2/H∞混合控制器，通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)的H∞性能來提高H2性能，從而進(jìn)一步抑制結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和抑制性能。文獻(xiàn)[9]應(yīng)用線性矩陣不等式技術(shù)，研究了基于狀態(tài)反饋的分散H2/H∞魯棒控制方法，對(duì)一個(gè)多自由度的高層建筑結(jié)構(gòu)進(jìn)行了數(shù)值分析，探討了分散控制策略的適用性。文獻(xiàn)[10]考慮了建筑結(jié)構(gòu)模型參數(shù)的不確定性，推導(dǎo)了輸出反饋H2/H∞魯棒控制方法的設(shè)計(jì)過程，并與LQG控制方法進(jìn)行了對(duì)比，說明了該方法的優(yōu)越性。

在以往控制器的設(shè)計(jì)中，通常不考慮驅(qū)動(dòng)器的飽和特性，即認(rèn)為驅(qū)動(dòng)器是理想化的，出力值可以無限大。而驅(qū)動(dòng)器在實(shí)際應(yīng)用中是有最大出力值限定的，因此理想驅(qū)動(dòng)器與實(shí)際情況是不相符的，可能會(huì)導(dǎo)致控制系統(tǒng)的失效。本文將H2/H∞控制理論與靜態(tài)輸出反饋控制策略相結(jié)合，提出了基于線性矩陣不等式(LMI)技術(shù)的靜態(tài)輸出反饋H2/H∞控制方法，綜合了H∞控制的魯棒性和H2控制的調(diào)節(jié)性能，使得控制系統(tǒng)的性能更加均衡。在控制器的設(shè)計(jì)過程中考慮了驅(qū)動(dòng)器的飽和特性，即限定了驅(qū)動(dòng)器的最大出力值，與理想驅(qū)動(dòng)器相比更加符合控制系統(tǒng)的實(shí)際情況。將提出的控制算法應(yīng)用于地震作用下的8層建筑結(jié)構(gòu)剪切模型中，數(shù)值仿真分析結(jié)果表明了該方法的適用性，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性和魯棒性[11]。輸出反饋保持了系統(tǒng)的能控性和能觀性不變，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，只用到外部可測(cè)信號(hào)[12]，從技術(shù)的角度來說實(shí)際應(yīng)用更易于實(shí)現(xiàn)。

1 建筑結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的描述

對(duì)于地震作用下具有n個(gè)自由度的受控集中質(zhì)量結(jié)構(gòu)模型，運(yùn)動(dòng)方程可表示為

(1)

式中：x(t)∈Rn×1表示結(jié)構(gòu)相對(duì)地面的位移向量；M，C，K∈Rn×n分別表示結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；u(t)∈Rr×1表示控制力向量，w(t)表示地震激勵(lì)向量；Tu∈Rn×r，Tw∈Rn×1分別表示控制力和外激勵(lì)的位置矩陣。

將式(1)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間形式：

(2)

(3)

其中，In×n為n×n維單位矩陣；0n×n，0n×r，0n×1分別為n×n維、n×r維、n×1維零矩陣。

2 H2/H∞控制方法描述

考慮如圖1所示的系統(tǒng)，其中S(s)和G(s)分別是受控對(duì)象模型和控制器模型，該受控系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可表示為

(4)

式中：Z為狀態(tài)向量，u為控制力輸入，w是外部擾動(dòng)輸入，Z∞和Z2分別表示與H∞和H2性能指標(biāo)相關(guān)的控制輸出，A為系統(tǒng)矩陣，C∞，C2為狀態(tài)向量影響矩陣，B，D∞，D2為控制力影響矩陣，E為外部擾動(dòng)影響矩陣。

圖1 魯棒H2/H∞控制系統(tǒng)示意圖

H2/H∞控制器設(shè)計(jì)應(yīng)使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足以下性質(zhì)[13]61-63：

(1) 閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的；

(2) 從w到Z∞的閉環(huán)傳遞函數(shù)TZ∞w(s)的H∞范數(shù)不超過給定的上界γ1，即‖TZ∞w(s)‖∞<γ1，以保證閉環(huán)系統(tǒng)具有良好的魯棒性；

(3) 從w到Z2的閉環(huán)傳遞函數(shù)TZ2w(s)的H2范數(shù)不超過給定的上界γ2，即‖TZ2w(s)‖2<γ2，以保證閉環(huán)系統(tǒng)的性能處于一個(gè)較好的水平。

考慮一個(gè)靜態(tài)輸出反饋的控制器u(t)=Gy(t)=GCyZ(t)并應(yīng)用到系統(tǒng)(4)，得到閉環(huán)系統(tǒng)：

(5)

定理1對(duì)于系統(tǒng)(4)和一個(gè)給定標(biāo)量γ1>0，且以下優(yōu)化問題

minγ2

(6)

有一個(gè)最優(yōu)解X，Y，則系統(tǒng)(4)的輸出反饋H2/H∞控制問題是可解的。

證明：引入Lyapunov函數(shù)V(Z(t))=ZT(t)PZ(t)，其中P為對(duì)稱正定矩陣，V(Z(t))關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

ZT(t)[P(A+BGCy)+(A+BGCy)TP]Z(t)+

wT(t)ETPZ(t)+ZT(t)PEw(t)

(7)

在零初始條件下，引入下列指標(biāo)

(8)

(9)

將式(7)代入式(9)，整理得

(10)

根據(jù)文獻(xiàn)[14]中的引理1，式(10)等價(jià)于

(11)

由于系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，有V(Z(∞))=0，且系統(tǒng)的初始條件為Z(0)=0，因此上式成立的充分條件為

(C∞+D∞GCy)T(C∞+D∞GCy)+

PA+ATP+(PBGCy)+(PBGCy)T+

(12)

對(duì)上式分別左乘和右乘P-1，得

P-1(C∞+D∞GCy)T(C∞+D∞GCy)P-1+

AP-1+P-1AT+(BGCy)P-1+P-1(BGCy)T+

(13)

令X=P-1，Y=GCyX=GCyP-1，式(13)等價(jià)于

(C∞X+D∞Y)T(C∞X+D∞Y) <0

(14)

根據(jù)矩陣的Schur補(bǔ)性質(zhì)[13]8-9，式(14)等價(jià)于定理1中的條件(i)。

根據(jù)文獻(xiàn)[13]60，性質(zhì)(3)的充要條件是存在一個(gè)對(duì)稱正定矩陣P1，W，使得

(A+BGCy)P1+P1(A+BGCy)T+EET<0

(15)

(16)

(17)

令X=P1，即可得到定理1中的條件(ii)和(iii)，定理1得證。

輸出反饋控制器u(t)=Gy(t)=GCyZ(t)中的增益矩陣G需要經(jīng)過一定的處理后才能分離出來。求解增益矩陣G的步驟為[15-16]：

(1)尋找一個(gè)n×(n-p)維滿秩矩陣Qy，使CyQy=0；

(2)求解線性矩陣不等式(6)，設(shè)

Y=YcCy

(18)

其中，Xq和Xc分別為(n-p)×(n-p)維和n×n維對(duì)稱矩陣，Yc為m×p維矩陣。

(3)求解增益矩陣G

(19)

3 算例仿真與分析

以一棟8層建筑結(jié)構(gòu)剪切模型為算例，假定每一樓層均設(shè)置主動(dòng)控制器，結(jié)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)形式采用層間驅(qū)動(dòng)方案，如圖2所示。該結(jié)構(gòu)模型的參數(shù)為：mi=3.456×105kg，ki=3.404×108N/m，ci=1×105N·s/m，(i=1， 2，…， 8)。地震輸入選用El Centro波，加速度峰值為3.417m/s2，持時(shí)30s，采樣步長(zhǎng)為0.02s。

圖2 8層建筑結(jié)構(gòu)模型

考慮結(jié)構(gòu)驅(qū)動(dòng)器的出力限制，并具有以下的形式[17]：

(20)

式中：[fmax]i為驅(qū)動(dòng)器的最大出力值，vi(t)為相應(yīng)的層間速度，sgn(x)=x/|x|為正負(fù)號(hào)函數(shù)。

結(jié)構(gòu)各層驅(qū)動(dòng)裝置的布置方案如表1所示。

表1 建筑結(jié)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)器布置方案

首先采用第2節(jié)所述的控制方法設(shè)計(jì)靜態(tài)輸出反饋H2/H∞控制器，與H2和H∞性能指標(biāo)相關(guān)的輸出為

Z∞=Q∞[d1，d2，…，d8，u1，u2，…，u8]T，

Z2=Q2[a1，a2，…，a8，u1，u2，…，u8]T

其中，di，ai和ui(i=1，2，…，8)分別表示第i層的位移、加速度和控制力。經(jīng)過試算，相應(yīng)的參數(shù)分別取為

為了說明本文提出的靜態(tài)輸出反饋H2/H∞控制方法的有效性，將計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)LQR控制方法進(jìn)行比較。表2給出了地震作用下結(jié)構(gòu)的位移峰值和層間位移峰值對(duì)比，表3給出了地震作用下建筑結(jié)構(gòu)的加速度峰值對(duì)比。圖3～6分別給出了地震作用下結(jié)構(gòu)的絕對(duì)位移峰值、層間位移峰值、加速度峰值和最大控制力。

表2 建筑結(jié)構(gòu)的位移和層間位移峰值對(duì)比

由表2數(shù)據(jù)和圖3可得，靜態(tài)輸出反饋H2/H∞控制方法的位移控制效果達(dá)到65.65%～69.17%，平均控制率為67.67%；LQR控制方法的位移控制效果達(dá)到65.15%～66.67%，平均控制率為66.12%；由表2和圖4可知，靜態(tài)輸出反饋H2/H∞控制方法的層間位移控制效果達(dá)到54.92%～69.17%，平均控制率為64.05%；LQR控制方法的層間位移控制效果達(dá)到58.20%～66.67%，平均控制率為63.46%；由表3數(shù)據(jù)和圖5可知，靜態(tài)輸出反饋H2/H∞控制方法的加速度控制效果達(dá)到32.40%～56.98%，平均控制率為46.34%；LQR控制方法的加速度控制效果達(dá)到27.84%～52.62%，平均控制率為42.31%。由上述數(shù)據(jù)對(duì)比可知，本文提出的輸出反饋H2/H∞控制方法在各項(xiàng)動(dòng)力響應(yīng)平均控制率上均優(yōu)于LQR方法。

圖3 位移峰值 圖4 層間位移峰值

圖5 加速度峰值 圖6 最大控制力

表3 建筑結(jié)構(gòu)的加速度峰值對(duì)比 /(m·s-2)

圖7和圖8分別給出了地震作用下結(jié)構(gòu)頂層的層間位移反應(yīng)和加速反應(yīng)時(shí)程曲線。可以看出受控結(jié)構(gòu)的層間位移和加速度幅值均得到了有效抑制。

圖7 頂層層間位移反應(yīng)時(shí)程

圖8 頂層加速度反應(yīng)時(shí)程

4 結(jié)論

本文將H2/H∞控制理論與靜態(tài)輸出反饋控制策略相結(jié)合，提出了基于線性矩陣不等式(LMI)技術(shù)的靜態(tài)輸出反饋H2/H∞控制方法，并首次應(yīng)用于建筑結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制問題中。本方法在控制器的設(shè)計(jì)過程中考慮了驅(qū)動(dòng)器的飽和特性，即限定了驅(qū)動(dòng)器的最大出力值，并對(duì)地震作用下的8層建筑結(jié)構(gòu)剪切型模型進(jìn)行了數(shù)值模擬與分析：

(1)本文提出的方法綜合了H∞控制的魯棒性和H2控制的調(diào)節(jié)性能，使得控制系統(tǒng)的性能更加均衡，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性；

(2)數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，本文提出的控制方法能夠有效地抑制地震作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)，結(jié)構(gòu)絕對(duì)位移、層間位移和加速度的平均控制率分別比LQR方法高出1.55%、0.59%和4.03%，證明了該方法在建筑結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制領(lǐng)域應(yīng)用的有效性和適用性；

(3)輸出反饋保持了系統(tǒng)的能控性和能觀性不變，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，只用到外部可測(cè)信號(hào)，從技術(shù)的角度來說實(shí)際應(yīng)用更易于實(shí)現(xiàn)。