一種基于移動最小二乘的LiDAR點(diǎn)云加密算法

吳建

(福州市勘測院，福建 福州 350108)

1 引 言

機(jī)載激光雷達(dá)(LiDAR，Light Detection and Ranging)集全球定位系統(tǒng)、慣性導(dǎo)航系統(tǒng)和激光掃描系統(tǒng)于一體，是一種快速獲取地表三維信息的主動式探測技術(shù)。機(jī)載LiDAR點(diǎn)云數(shù)據(jù)是由機(jī)載激光雷達(dá)系統(tǒng)直接快速得到的地表密集的高精度三維點(diǎn)坐標(biāo)。由于其包含豐富的地表信息且數(shù)據(jù)精度高，因此在生成高精度數(shù)字高程模型(DEM)、數(shù)字線劃圖(DLG)等方面，具有傳統(tǒng)攝影測量和地面常規(guī)測量技術(shù)無法取代的優(yōu)越性。

由于LiDAR系統(tǒng)對數(shù)據(jù)采集要求比較高，數(shù)據(jù)采集時天氣、地形等因素的影響，會造成數(shù)據(jù)成果密度達(dá)不到設(shè)計(jì)要求，以致不能滿足數(shù)據(jù)生產(chǎn)和對地表細(xì)節(jié)精確表達(dá)的需求，影響后續(xù)使用和相應(yīng)數(shù)據(jù)產(chǎn)品的生產(chǎn)[1]。因此需要對點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行加密處理，以提高點(diǎn)云密度，滿足后續(xù)生產(chǎn)和應(yīng)用需求。

有許多學(xué)者對點(diǎn)云數(shù)據(jù)或相關(guān)數(shù)字產(chǎn)品的密度提高方法進(jìn)行了研究。楊國雪指出，加密點(diǎn)云是彌補(bǔ)空中三角測量結(jié)果欠缺的好方法，加密提取同名點(diǎn)能夠解決弱紋理區(qū)域無法匹配的問題，避免三維模型變形的出現(xiàn)，提高三維模型的精度[3]。魏舟研究了點(diǎn)云數(shù)據(jù)抽稀與加密對微地形數(shù)據(jù)分析的影響，發(fā)現(xiàn)在較為復(fù)雜的區(qū)域需要更多的點(diǎn)對地表進(jìn)行描述，對觀測結(jié)果進(jìn)行抽稀、加密處理，使點(diǎn)云數(shù)據(jù)的排列更為合理，對微地形觀測有很重要的影響[2]。鄭鵬飛等進(jìn)行了點(diǎn)云曲面空間求交的研究，結(jié)果表明須提高相交區(qū)域的點(diǎn)云密度，以利于提高計(jì)算精度，提取更優(yōu)、更接近的曲面交線[4]。徐蘇維等的研究表明，三維TIN模型表面觀測點(diǎn)少，所建立的表面模型粗糙而不夠逼真，需要對表面數(shù)據(jù)進(jìn)行加密[5]。在現(xiàn)實(shí)產(chǎn)品生產(chǎn)中，為了更好地表現(xiàn)實(shí)體模型，有必要對已知數(shù)據(jù)進(jìn)行內(nèi)插加密，使得有更多的點(diǎn)或拓?fù)鋪磉M(jìn)行表現(xiàn)和分析，即根據(jù)有限采樣點(diǎn)重建逼真的三維模型。

在生產(chǎn)實(shí)踐中，解決點(diǎn)云密度較低的方法是對目標(biāo)區(qū)域重新進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，但是采用航空方式進(jìn)行數(shù)據(jù)采集需要重新設(shè)計(jì)方案，并利用機(jī)載激光雷達(dá)儀器對實(shí)驗(yàn)地區(qū)進(jìn)行掃描，需要耗費(fèi)大量的人力、財(cái)力、物力和時間，成本過高，且由于無法完全排除天氣、地形等外部因素的干擾，不能保證重新采集數(shù)據(jù)的密度一定能滿足要求。因此，為了提高數(shù)據(jù)的密度，降低生產(chǎn)成本，便于生產(chǎn)人員操作，可以采用一些內(nèi)業(yè)算法提高點(diǎn)云密度。

許多學(xué)者對點(diǎn)云加密的算法進(jìn)行了研究。鄭鵬飛等對曲面相交區(qū)域點(diǎn)云進(jìn)行二次加密處理，其結(jié)果可保證加密后形變精度，但此方法中參與計(jì)算的參考數(shù)據(jù)較少，可能會因存在誤差較大的點(diǎn)，而影響整體點(diǎn)云加密的精度。點(diǎn)云加密也可以采用插值方法實(shí)現(xiàn)[4]。許巍等研究了距離倒數(shù)加權(quán)插值法、最近鄰點(diǎn)插值法、移動平均插值法、局部多項(xiàng)式插值法、線性三角網(wǎng)插值法等方法，指出TIN是幾種插值方法中最好的[6]。但此方法也存在數(shù)據(jù)處理工作量大，效率較低的問題。段祝庚等利用基于局部搜索法的距離加權(quán)倒數(shù)(Inverse Distance Weighted，IDW)插值方法對冠層點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行插值，結(jié)果顯示該算法能有效去除森林冠層高度模型(Canopy Height Model，CHM)凹坑，同時保留冠層邊界及森林間隙[9]。但這一方法要求處理數(shù)據(jù)中離散點(diǎn)分布均勻，而且更適用于研究高度突變的樹木點(diǎn)云空間分布問題。

基于以上分析，本文基于移動最小二乘的原理，結(jié)合局部的點(diǎn)云分布及其高程值，對原始點(diǎn)云進(jìn)行上采樣，從而實(shí)現(xiàn)對初始點(diǎn)云的加密操作。采用以原點(diǎn)云數(shù)據(jù)為標(biāo)準(zhǔn)，對點(diǎn)云加密數(shù)據(jù)生成的DEM進(jìn)行精度評定；對人字形房屋點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行目視判讀，對比加密前后點(diǎn)云的吻合程度和密集程度以及對細(xì)節(jié)如屋脊等特征的顯示；通過目視判讀，對加密前后建筑物角點(diǎn)進(jìn)行對比的方法，來評價點(diǎn)云加密結(jié)果的精度，以此為基礎(chǔ)評價點(diǎn)云加密方法的可行性和可靠性。

2 點(diǎn)云加密

2.1 移動最小二乘法

對于離散點(diǎn)云，在已知曲線曲面形式的條件下，求曲線曲面擬合，可以簡單地使用最小二乘法估計(jì)參數(shù)；若曲線曲面形式未知，可以使用移動最小二乘法(Moving Least Squares)或者主曲線方法。Lancaster和Salkauskas最先在曲面生成中使用了移動最小二乘法，后來Belytschko將其應(yīng)用于無網(wǎng)格方法(有限元)中[17]。其原理如下：

定義在區(qū)域Ω上的函數(shù)u(x)，已知其在域內(nèi)N個節(jié)點(diǎn)x1，x2，…，xn的函數(shù)值，則其逼近函數(shù)表示為：

(1)

其中，Φ(x)稱為形函數(shù)，其表達(dá)式為：

Φ(x)=[Φ1(x)，Φ2(x)，…，Φn(x)]=pT(x)A-1(x)B(x)

(2)

式中，p為基函數(shù)矩陣，表示為：

=(p1，p2，…，pm)

(3)

A(x)=PTW(x)P

(4)

B(x)=PTW(x)

(5)

其中，pi(x)是基函數(shù)，m是基函數(shù)的個數(shù)，W(x)為權(quán)函數(shù)矩陣，表示為：

(6)

式中，w(x-xI)是具有緊支集特性的權(quán)函數(shù)，xI(I=1，2，…，n)為點(diǎn)x的緊支域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)。

移動最小二乘法與傳統(tǒng)的最小二乘法相比，有兩個比較大的改進(jìn)：

(1)擬合函數(shù)的建立不同。擬合函數(shù)不是采用傳統(tǒng)的多項(xiàng)式或其他函數(shù)建立，而是由一個系數(shù)向量a(x)和基函數(shù)p(x)構(gòu)成，a(x)是坐標(biāo)x的函數(shù)。

(2)引入緊支(Compact Support)概念，認(rèn)為點(diǎn)x處的值y只受x附近子域內(nèi)節(jié)點(diǎn)影響，這個子域稱作點(diǎn)x的影響區(qū)域，影響區(qū)域外的節(jié)點(diǎn)對x的取值沒有影響。在影響區(qū)域上定義一個權(quán)函數(shù)w(x)，如果權(quán)函數(shù)在整個區(qū)域取為常數(shù)，就得到傳統(tǒng)的最小二乘法[15]，稱為Φ(x)型函數(shù)。

移動最小二乘法可以取不同階的基函數(shù)以獲得不同的精度，取不同的權(quán)函數(shù)以改變擬合曲線(曲面)的光滑度，這是其他擬合方法無法實(shí)現(xiàn)的。

2.2 算法簡介

本實(shí)驗(yàn)采用上采樣的方法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。上采樣原本為信號處理領(lǐng)域的定義，是下采樣的逆過程，也稱增取樣(Upsampling)或內(nèi)插(Interpolating)。增取樣在頻分多路復(fù)用中的應(yīng)用是一個很好的例子。如果這些序列原先是以奈奎斯特頻率對連續(xù)時間信號取樣得到的，那么在進(jìn)行頻分多路利用之前必須對它們進(jìn)行上采樣。其原理可運(yùn)用于點(diǎn)云處理。在點(diǎn)云數(shù)據(jù)處理中，上采樣是一種表面重建方法，當(dāng)點(diǎn)云數(shù)據(jù)較研究所需要的少時，上采樣可以通過內(nèi)插目前擁有的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，幫助恢復(fù)原有的表面，這是一個復(fù)雜的猜想假設(shè)的過程。

在上采樣過程中，對于每一點(diǎn)，通過在一個有固定半徑和固定步長的圓內(nèi)創(chuàng)建點(diǎn)來采樣它的本地平面。然后，使用擬合的多項(xiàng)式，計(jì)算這個位置的法線，并沿著法線增加位移。為了拒絕噪聲點(diǎn)，增加了加密所需要的點(diǎn)個數(shù)的閾值，以估計(jì)局部多項(xiàng)式的擬合。這就保證了“弱鄰”的點(diǎn)(即噪音)不會出現(xiàn)在輸出中。所采用的加密方法可將相同數(shù)量的新樣本添加到所有的點(diǎn)上。其具體過程如下：

(1)對于每一點(diǎn)，設(shè)定搜索圓的半徑R和搜索步長S；

(2)使用擬合的多項(xiàng)式l(x，y)，計(jì)算這個位置的法線L，并沿著法線增加位移。

(3)根據(jù)搜索范圍內(nèi)點(diǎn)的高程值和擬合的局部多項(xiàng)式f(x，y)，計(jì)算插值點(diǎn)的坐標(biāo)[5]：

Z=f(x，y)

(7)

3 實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

實(shí)驗(yàn)采用山地、城市兩種地形的多組LiDAR點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行加密，數(shù)據(jù)格式為LAS1.0。其具體信息如表1所示：

點(diǎn)云數(shù)據(jù)量信息 表1

將加密結(jié)果與原始點(diǎn)云進(jìn)行比較以評定加密方法的精度。根據(jù)高程配色后顯示如圖1、圖2所示：

圖1 山地點(diǎn)云數(shù)據(jù)

圖2 城市點(diǎn)云數(shù)據(jù)

3.2 點(diǎn)云加密結(jié)果

點(diǎn)云加密前后數(shù)據(jù)量及點(diǎn)云密度對比 表2

數(shù)據(jù)71.595 575532 1271 586 9932 119 1206.508 021數(shù)據(jù)81.075 669381 3611 135 2151 516 5764.296 296數(shù)據(jù)92.041 784459 1711 363 0931 822 2648.389 948數(shù)據(jù)101.700 056619 700857 1521 476 8527.058 120

由表2可得，加密后點(diǎn)云數(shù)量和密度都得到了有效的提高，同時將生成的DEM格網(wǎng)間距均設(shè)定為 1 m，根據(jù)《機(jī)載激光雷達(dá)數(shù)據(jù)獲取技術(shù)規(guī)范CHT8024-2011》，其對應(yīng)的分幅比例尺為 1∶1 000，要求點(diǎn)云密度≥4點(diǎn)/m2，本方法所得的點(diǎn)云加密結(jié)果均滿足DEM生產(chǎn)的相應(yīng)要求。

3.3 評價方法

為全面驗(yàn)證方法的有效性和加密結(jié)果的可靠性，本文采用三種方法對點(diǎn)云加密的結(jié)果進(jìn)行精度評定：

①利用加密后的點(diǎn)云生成比例尺為1∶1 000的DEM，以原始點(diǎn)云為基準(zhǔn)進(jìn)行DEM精度評定，根據(jù)所得中誤差大小是否滿足規(guī)范要求，評價加密后點(diǎn)云的精度。本實(shí)驗(yàn)中生成的DEM分幅比例尺為 1∶1 000，根據(jù)《機(jī)載激光雷達(dá)數(shù)據(jù)獲取技術(shù)規(guī)范CHT8024-2011》，其高程中誤差要求如表3所示：

點(diǎn)云數(shù)據(jù)高程精度規(guī)范要求 表3

②人字形房屋是指存在屋脊線的房屋，因其屋頂表面由兩個相交的平面組成，且兩平面均傾斜，所以相比于屋頂為平面的房屋，點(diǎn)云數(shù)據(jù)的邊界和角點(diǎn)更復(fù)雜。本文對加密后的人字形房屋數(shù)據(jù)進(jìn)行目視判讀，并與原始點(diǎn)云的位置和形狀進(jìn)行疊加比較，判斷加密方法的可靠性和實(shí)用性。

③對于城市區(qū)域，建筑物是分布較為廣泛且數(shù)量較多，形狀又較為復(fù)雜的地物。由于大多數(shù)房屋為立方體或近似立方體形狀，房屋角點(diǎn)對于房屋形狀、位置等的描述至關(guān)重要，因此，對加密后建筑物角點(diǎn)進(jìn)行檢查，并和原始點(diǎn)云比較，可檢驗(yàn)加密方法是否可行和有效。

(1)加密后點(diǎn)云生成DEM精度檢查

利用加密后的點(diǎn)云生成DEM，再與原始點(diǎn)云作對比，進(jìn)行加密結(jié)果精度的評定。點(diǎn)云生成DEM會產(chǎn)生一定的誤差，但若結(jié)果仍滿足數(shù)據(jù)生產(chǎn)的要求，則可得點(diǎn)云同樣滿足精度要求。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表4所示：

點(diǎn)云加密生成DEM中誤差 表4

由表4可得，所有實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)生成的DEM都滿足 1∶1 000的DEM產(chǎn)品的生產(chǎn)要求，可見，利用本加密方法獲得的加密點(diǎn)云具有一定的有效性和可靠性，滿足規(guī)范要求。

(2)人字形房屋加密精度檢查

對人字形房屋點(diǎn)云的加密結(jié)果進(jìn)行目視判讀，通過對比分析，檢驗(yàn)屋頂點(diǎn)云密度，屋脊的點(diǎn)云分布，加密前后屋頂點(diǎn)云的吻合程度以及屋頂點(diǎn)云的整體形狀，評估點(diǎn)云加密結(jié)果。人字形房屋點(diǎn)云加密結(jié)果如圖3、圖4所示(圖中綠色點(diǎn)為加密前的地物點(diǎn)云，白色點(diǎn)為加密前的地面點(diǎn)云，紅色點(diǎn)為加密之后的點(diǎn)云)：

由圖3、圖4可得，人字形房屋點(diǎn)云加密結(jié)果與原點(diǎn)云吻合度較高，且較好地保留了房屋的形狀，由于點(diǎn)云數(shù)據(jù)量和點(diǎn)云密度都得到了增加，因此加密結(jié)果更利于建筑物的表達(dá)，由此可得本文采用的加密方法及其結(jié)果都具有較高的實(shí)用性。

圖3 部分人字形房屋點(diǎn)云加密結(jié)果1

圖4 部分人字形房屋點(diǎn)云加密結(jié)果2

(3)房屋角點(diǎn)加密精度檢查

由于角點(diǎn)是對房屋進(jìn)行描述和建模的關(guān)鍵數(shù)據(jù)，因此可利用房屋角點(diǎn)處的加密結(jié)果評估點(diǎn)云加密的可靠性。部分房屋點(diǎn)云加密結(jié)果如圖5(a)所示(圖中綠色點(diǎn)云為原始點(diǎn)云中的地物點(diǎn)，橙色點(diǎn)云為原始點(diǎn)云中的地面點(diǎn)，紅色點(diǎn)云為加密之后的點(diǎn)云，橢圓中為建筑物角點(diǎn))：

各角點(diǎn)的放大顯示對比如圖5(b)所示：

圖5 房屋1點(diǎn)云加密結(jié)果及角點(diǎn)顯示

各角點(diǎn)的放大顯示對比如圖6所示：

圖6 房屋2點(diǎn)云加密結(jié)果及角點(diǎn)顯示

圖6中所選的房屋2均為構(gòu)造較為復(fù)雜的房屋，由圖6可得，房屋角點(diǎn)都得到了很好的保留，且加密后房屋角點(diǎn)區(qū)域形狀更加清晰。由此可得，本文的加密方法，有利于對建筑物的描述和特征保留。

4 結(jié) 語

本文針對點(diǎn)云數(shù)據(jù)生產(chǎn)中出現(xiàn)的點(diǎn)云密度較低的問題，采用了基于移動最小二乘原理的上采樣方法，結(jié)合點(diǎn)云局部的地形特征，對點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行了加密。通過對加密后點(diǎn)云生成的DEM，人字形房屋點(diǎn)云以及建筑物角點(diǎn)分別進(jìn)行精度評定，得到如下結(jié)論：

(1)加密處理后，點(diǎn)云的數(shù)量和密度都得到很大提高。加密后的點(diǎn)云數(shù)據(jù)滿足制作 1∶1 000比例尺DEM的精度要求。因此，本方法可實(shí)現(xiàn)對密度較低的點(diǎn)云進(jìn)行有效的加密操作。

(2)通過對比加密前后人字形房屋點(diǎn)云和建筑物角點(diǎn)可知，本方法加密結(jié)果可在提高數(shù)據(jù)量和點(diǎn)云密度的基礎(chǔ)上，保證建筑物的形狀，角點(diǎn)和其他細(xì)節(jié)的完整性，有利于城市地區(qū)點(diǎn)云數(shù)據(jù)的后續(xù)處理和應(yīng)用。

在今后的工作中，將對增添加密后點(diǎn)云的類別和強(qiáng)度等信息，結(jié)合遙感影像和現(xiàn)有GIS數(shù)據(jù)提高算法精度并減少耗時等問題展開進(jìn)一步的研究和討論。