雙重介質(zhì)壓裂直井非穩(wěn)態(tài)井底壓力分析

劉海龍

中國石化石油勘探開發(fā)研究院, 北京 100083

0 前言

井底壓力的動態(tài)分析,一直以來都是油井動態(tài)分析重點內(nèi)容之一。通過實時分析井底壓力變化,不僅可以評價油井生產(chǎn)壓差的合理性,還可以實時調(diào)整油井油嘴大小,確保油井穩(wěn)產(chǎn),油藏合理、高效開發(fā)。

文獻調(diào)研發(fā)現(xiàn)井底壓力動態(tài)分析的主要特點在于井底壓力的求解方式[1-7]。目前主要有以下幾種方法:一是不考慮滲流壓力的傳播時間,利用格林函數(shù),求得控制方程的拉普拉斯空間域的解析解[8-9];二是把壓力傳播細分多段,每一段中壓力傳播半徑可用時間的函數(shù)表示,運用差分離散和穩(wěn)態(tài)逐次替換方法,求解控制方程的數(shù)值解[10-11];三是運用級數(shù)思想,并結(jié)合數(shù)值逼近算法,求解控制方程的數(shù)值解[12-13];四是在油井定產(chǎn)量生產(chǎn)的情況下,運用攝動方法,求解滲流控制方程的近似解[14-15];五是在無限大油藏條件下,采用玻爾茲曼變換方法,求解定產(chǎn)條件下滲流控制方程的精確解[16-18]。

前人在研究地層壓力方面,還存在一些不足之處,歸納如下:

1)滲流模型過于理想化,未充分考慮儲層裂縫與基質(zhì)之間的竄流。

2)地層壓力求解過程中,作了一些近似處理,影響了地層壓力的求解精度。

3)推導過程復雜且計算不方便。

4)格林函數(shù)是基于封閉油藏的,僅考慮了上下邊界,方法具有一定的局限性。

5)求解壓力方法在解決自相似性問題上效果較好,但是對于解決非線性滲流控制方程還存在一定誤差。

本文首先基于非均質(zhì)油藏多裂縫直井物理模型,建立了雙重介質(zhì)圓形油藏非定常流的滲流方程,通過引入裂縫與基質(zhì)的流體交換系數(shù),考慮了裂縫與基質(zhì)的竄流。采用無量綱變化方法、拉普拉斯變換方法和對稱二維滲流方程解析原理,求解了雙重介質(zhì)油藏非定常流在拉式空間域中的解析解,并通過Stehfest數(shù)值反演[19],得到了實數(shù)域中的壓力值,最后對影響壓裂直井的非定常流壓進行了敏感性因素分析。

1 數(shù)學模型

為簡化數(shù)學模型對地下流體的描述,作如下假設(shè):

1)流體為微可壓縮流體,具有基質(zhì)、裂縫兩種介質(zhì)。

2)考慮基質(zhì)與裂縫之間的竄流。

3)不考慮重力、毛管力。

油藏中心有一口壓裂直井生產(chǎn),見圖1,則雙重介質(zhì)壓裂直井的非定常流控制方程為[11-12]:

(1)

圖1 多裂縫直井儲層示意圖

初始條件:

pjD(rD,0)=0,j=m,f

(2)

邊界條件:

(3)

(4)

式中:

無量綱流動系數(shù)

彈性儲容比

式中:r,rw分別為滲流半徑和井筒半徑,m;L,h分別為裂縫半長和儲層有效厚度,m;km,kf分別為基質(zhì)和裂縫的滲透率,μm2;μ為黏度參數(shù),mPa·s;pm,pf分別為基質(zhì)和裂縫中流體壓力,MPa;p,pi分別為地層壓力和地層原始壓力,MPa;hm,hf分別為基質(zhì)和裂縫中的折算厚度,m;t為生產(chǎn)時間,s;q為流體產(chǎn)量,m3/d;ctm,ctf分別為基質(zhì)和裂縫的壓縮系數(shù),MPa-1;φm,φf分別為基質(zhì)和裂縫的孔隙度;S為表皮系數(shù)。

式(1)～(4),構(gòu)成了雙重介質(zhì)壓裂直井非定常流的瞬時壓力數(shù)學模型。

2 模型求解

運用拉普拉斯變換方法、恒等變換方法、分離變量方法、軸對稱變換解相似方法[20]等多種數(shù)學方法,并結(jié)合數(shù)值反演等數(shù)學思想,求解了雙重介質(zhì)壓裂直井非定常流的瞬時壓力數(shù)學模型。

式(1)～(4)拉普拉斯變換得:

(5)

初始條件:

(6)

邊界條件:

(7)

(8)

根據(jù)軸對稱二維滲流方程解的形式,設(shè)式(5)的解為:

(9)

式中:

式中：K0、K1為貝塞爾函數(shù)0階、1階變量；ε0、εn為虛宗0階、n階變量。

式(9)帶入式(5)得:

(10)

式(10)有解,必須滿足以下條件:

(11)

即:

(12)

式(12)的解為:

(13)

式(13)帶入式(9)得:

(14)

式中:

由式(14)可知,在裂縫與基質(zhì)交界面處,壓力相等,可求解出井底壓力的解析式為:

(15)

式(15)即為考慮了裂縫與基質(zhì)的竄流的雙重介質(zhì)圓形油藏非定常流的滲流方程拉普拉斯域的解析解模型,通過Stehfest數(shù)值反演方法[10],得到了實數(shù)域中的壓力值。

3 模型論證與分析

3.1 模型論證

本文基于非定常流,建立了雙重介質(zhì)圓形油藏非定常流的滲流方程拉普拉斯域的解析解模型,垂直壓裂井的裂縫條數(shù)分布具有隨機性,為便于數(shù)值模擬論證,假設(shè)垂直壓裂井的裂縫條數(shù)為5條,且均是關(guān)于井筒對稱分布。通過采用Eclipse軟件,進行相似油藏條件下的壓力分布模擬,進而與本文中的Stehfest數(shù)值反演[10]數(shù)值解進行對比分析。

Eclipse 2014軟件中的E 300最新模塊,在雙重介質(zhì)非均質(zhì)油藏中的應(yīng)用很好,本文利用該模塊進行井底壓力的模擬。首先將油藏設(shè)定為正方形邊界的油藏,其中正方形油藏中心有一口直井投產(chǎn),該直井經(jīng)過壓裂形成5條裂縫,邊界定壓,底水水驅(qū)開發(fā)。為便于描述井筒周圍的裂縫和基質(zhì)的交互關(guān)系,網(wǎng)格劃分采用角點網(wǎng)格,并且保證每條裂縫最少有三個網(wǎng)格。油藏半徑為 1 000 m,網(wǎng)格步長為25 m,水平方向上的網(wǎng)格數(shù)量為40*40個,縱向上,由于裂縫間距的情況不一,本文進行裂縫等間距模型論證，縱向上一條裂縫在一個模擬層中,自儲層開始,共計劃分5個模擬層,這樣數(shù)值模擬的網(wǎng)格總數(shù)為40*40*5=8 000個網(wǎng)格,網(wǎng)格剖分示意圖見圖2。計算所需參數(shù),見表1。軟件模擬的模擬解和本文數(shù)值反演計算的本文解對比見圖3。由圖3可知:兩者計算結(jié)果接近,相對誤差很小,控制在1%以內(nèi),表明本文的求解思路和方法是可信的。

a)油藏示意圖

b)網(wǎng)格剖分圖圖2 油藏網(wǎng)格剖分示意圖

表1 計算所需參數(shù)表

3.2 流動期劃分

通過Stehfest數(shù)值反演方法[10]求解式(15),得到實數(shù)域中的壓力值,然后可以做出壓力與時間、壓力導數(shù)與時間的雙對數(shù)圖,見圖4。由圖4可知:裂縫與基質(zhì)的竄流的雙重介質(zhì)圓形油藏非定常流的滲流壓力曲線可以分為早期線性流、中期徑向流、晚期球形流和邊界控制流四個階段。

圖3 兩種方法計算結(jié)果對比圖

圖4 壓力、壓力導數(shù)曲線圖

3.2.1 早期線性流

該階段主要是受井筒存儲效應(yīng)的作用,曲線表現(xiàn)為壓力與壓力導數(shù)相互重合,由漸進分析可知:該曲線段的斜率為1。

3.2.2 中期徑向流

該階段是裂縫中的流體徑向流過程,裂縫中的流體不斷地向基質(zhì)中供給流體,由于裂縫與基質(zhì)之間的竄流影響,漸進分析表明該階段的壓力導數(shù)曲線斜率明顯不等于0.5。

3.2.3 晚期球形流

該階段是非穩(wěn)態(tài)的流動階段。由于裂縫與基質(zhì)之間的竄流,流體在兩種介質(zhì)中的滲流速度差異明顯,壓力導數(shù)曲線表現(xiàn)為下凹的趨勢。漸進分析表明:裂縫與基質(zhì)的滲透率差異越大,壓力導數(shù)曲線小凹的趨勢就越明顯。

3.2.4 邊界控制流

該階段與油藏本身的邊界類型有關(guān)。當油藏的邊界類型為定壓邊界時,那么從能量角度來講,油藏有充足的外界能量供給,壓力可以持續(xù)傳導,直到整個系統(tǒng)處于擬穩(wěn)態(tài)。漸進分析表明:當系統(tǒng)處于擬穩(wěn)態(tài)時,壓力曲線的斜率為1。

4 敏感性分析

結(jié)合表1的參數(shù),采用單因子控制變量的方法,分別分析彈性儲容比、交換系數(shù)、滲透率比和裂縫半長等因素對考慮裂縫與基質(zhì)的竄流的雙重介質(zhì)圓形油藏非定常流的滲流壓力的影響。

4.1 彈性儲容比

彈性儲容比的實質(zhì)是基質(zhì)中流體的體積占整個基質(zhì)-裂縫系統(tǒng)流體體積的半分比,也就是說,彈性儲容比越小,基質(zhì)就越致密,基質(zhì)中的油氣當量占比就越小。彈性儲容比對壓力曲線的影響見圖5。由圖5可知:彈性儲容比主要影響中期徑向流,在曲線上表現(xiàn)為曲線“下凹”的寬度和深度；彈性儲容比越大,則壓力曲線的“下凹”就越不明顯,當彈性儲容比為0.95時,雙對數(shù)壓力曲線中的“臺階”段幾乎看不出來,壓力曲線近似于單一介質(zhì)壓力曲線的特征。這主要是因為當彈性儲容比越趨于1,則基質(zhì)-裂縫之間的竄流就不明顯,裂縫供給的流體就很少,裂縫作用不明顯,因此壓力曲線就越趨于單一介質(zhì)的壓力曲線特征。

圖5 彈性儲容比對壓力曲線的影響曲線圖

4.2 交換系數(shù)

圖6 交換系數(shù)對壓力曲線的影響曲線圖

交換系數(shù)表示的是基質(zhì)和裂縫之間流體滲流強度的物理量,交換系數(shù)越大,流體從基質(zhì)流向裂縫就越簡單,反之,則越困難。交換系數(shù)對壓力曲線的影響見圖6。由圖6可知:交換系數(shù)主要影響早期徑向流的出現(xiàn)時間,即曲線“下凹”段的時間；交換系數(shù)越大,則壓力曲線“下凹”段出現(xiàn)得越早。由于井筒存儲效應(yīng),在早期,交換系數(shù)對壓力曲線并沒有影響,隨著生產(chǎn)的進行,井筒中的積液被采出,裂縫和基質(zhì)開始向井筒供液。交換系數(shù)越大,流體從基質(zhì)流向裂縫越簡單,基質(zhì)-裂縫之間的竄流表現(xiàn)得越早。隨著裂縫中壓力的降低,當裂縫中的壓力與基質(zhì)中的壓力相等時,基質(zhì)-裂縫之間的竄流達到擬穩(wěn)態(tài),此時基質(zhì)-裂縫之間無流體交換,基質(zhì)和裂縫單獨向井筒供液,整個系統(tǒng)處于擬穩(wěn)態(tài),油井定產(chǎn)生產(chǎn)。壓力曲線表現(xiàn)為后期相互重合。

4.3 表皮系數(shù)

表皮系數(shù)對壓力曲線的影響見圖7。由圖7可知:表皮系數(shù)主要影響晚期球形流,即“駝峰”峰值的大小。表皮系數(shù)越大,則壓力曲線的“駝峰”峰值就越大,“駝峰”也就越高。這主要是因為,隨著表皮系數(shù)的增大,近井筒周圍的儲層所受到的污染就越嚴重,附加壓差就越大,那么同一時間內(nèi),流體被采出,井底流壓就必須更大,才能克服附加壓差的阻力,因此壓力曲線表現(xiàn)為“駝峰”變高。但是表皮系數(shù)不影響徑向流的快慢,對壓力曲線的斜率幾乎不存在影響,即不同表皮系數(shù)下的壓力曲線表現(xiàn)為相互平行。

圖7 表皮系數(shù)對壓力曲線的影響曲線圖

4.4 滲透率比

圖8 滲透率比對壓力曲線的影響曲線圖

裂縫與基質(zhì)的滲透率一般情況下是不同的,兩者的滲透率比值可以達上萬倍。為簡化研究,本文取滲透率梯度為10進行說明,即研究了裂縫與基質(zhì)滲透率比為1 000、100、10和1四種情況,計算結(jié)果見圖8。由圖8可知:當裂縫的滲透率一定時,隨著基質(zhì)滲透率的增加,裂縫與基質(zhì)的滲透率比降低,壓力曲線的“駝峰”峰值變小。這主要是因為基質(zhì)的滲透率增加,儲層中流體的流動性變強,儲層流體能夠在更小的驅(qū)替壓差下發(fā)生流動,因此井底壓力不需要很大,也能夠保證井口產(chǎn)量,所以在壓力曲線上就表現(xiàn)為隨著滲透率比的降低,井底壓力逐漸減小。需要注意的是,當滲透率比為1時,壓力曲線近似于單重介質(zhì)的壓力曲線特征,因為兩種介質(zhì)不存在流體流動性差異,裂縫與基質(zhì)之間的流體竄流消失,裂縫即是基質(zhì),基質(zhì)也近似于裂縫,與單重介質(zhì)的滲流無本質(zhì)差別。

4.5 裂縫半長

不同規(guī)模的水力壓裂下,壓開儲層的裂縫規(guī)模是有差異的。不同長度的裂縫,儲層中流體的流動截面積也是不一樣的,因此井底壓力也會存在差異。裂縫半長對壓力曲線的影響見圖9。由圖9可知:裂縫半長主要影響早期線性流和中期徑向流；隨著裂縫半長的減小,壓力傳播變慢,同一時間下,井底壓力降低。在早期線性流期間,隨著裂縫的增加,早期線性流的時間相對增長,即裂縫的規(guī)模越大,流體的滲流截面積就越大,改造區(qū)向井筒的供液量就越大,在井口產(chǎn)量一定的情況下,早期線性流的時間就越長。此外,裂縫規(guī)模僅僅改變了供液量的大小,基本上沒有影響到供液的快慢,因此同一時間下,不同裂縫半長的壓力曲線前期表現(xiàn)為近乎平行。漸進分析表明，此時的壓力曲線斜率為0.5。

圖9 裂縫半長對壓力曲線的影響曲線圖

5 結(jié)論

1)通過考慮裂縫與基質(zhì)的竄流,引入雙重介質(zhì)流體交換系數(shù),建立了雙重介質(zhì)壓裂直井的非穩(wěn)態(tài)井底壓力分析模型,通過數(shù)學變換和數(shù)值反演,得到井底流壓數(shù)值解,礦場數(shù)值模擬表明，兩者壓力值吻合很好,論證了模型的科學性。

2)壓力曲線可以分為早期線性流、中期徑向流、晚期球形流、邊界控制流四個階段。

3)早期線性流主要受裂縫半長和滲透率比的影響,裂縫半長越大,早期線性流時間越長；滲透率比越大,井底流壓越高。中期徑向流主要受彈性儲容比和交換系數(shù)的影響,彈性儲容比越大,竄流越不明顯；中期徑向流時間越長,交換系數(shù)越大,流體越早進入中期徑向流。晚期球形流主要受表皮系數(shù)的影響,表皮系數(shù)越大,晚期球形流出現(xiàn)越晚,井底壓力峰值越高。

4)井底壓力的動態(tài)分析,既能實時監(jiān)測油井產(chǎn)量,又能為油井的合理配產(chǎn)提供技術(shù)支持。