楊氏雙縫干涉實驗的條紋分布研究

李棟玉，時有明，張廷憲

楊氏雙縫干涉實驗的條紋分布研究

李棟玉，時有明，張廷憲

（曲靖師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，云南 曲靖 655011）

為了研究楊氏雙縫干涉實驗條紋的分布情況，通過理論推導(dǎo)結(jié)合Origin軟件仿真得出干涉條紋的分布圖像，計算出不同區(qū)間內(nèi)條紋的寬度。對干涉條紋寬度變化規(guī)律的曲線擬合分析顯示，條紋的寬度隨偏離圖樣中心距離的增加呈現(xiàn)指數(shù)增長，這一增長趨勢在遠(yuǎn)場區(qū)域非常明顯。對比教材中使用二次近似處理計算近場區(qū)域條紋寬度的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)當(dāng)-0.01 m≤≤0.01 m時，仿真結(jié)果與近似處理的計算結(jié)果一致。

雙縫干涉；干涉條紋；仿真實驗；光學(xué)實驗

牛頓在1704年出版了《光學(xué)》著作，書中認(rèn)為光是由一群具有一定速度的粒子組成，這演變?yōu)楹髞砉獾牧Ｗ訉W(xué)說；而惠更斯早在1690年在《光論》一書中提出了光的波動學(xué)說。1801年托馬斯·楊（Thomas Young）完成了著名的雙縫干涉實驗，證明光具有波動性，并在1807年出版的《自然哲學(xué)與機械學(xué)講義》一書中詳細(xì)描述了雙縫干涉實驗[1]。楊氏雙縫干涉實驗為光的波動理論發(fā)展奠定了堅實的基礎(chǔ)，此后，愛因斯坦和德布羅意等人提出光的波粒二象性理論，對物理學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動作用。2002年9月美國出版的《物理世界》雜志將楊氏雙縫干涉實驗評選為物理學(xué)史上最美的10個經(jīng)典實驗之一[2]。目前在有關(guān)波動光學(xué)的教材中主要采用“近似”的方法分析該實驗，得出的干涉條紋是等間距、均分布的典型特征[3-5]?！敖啤钡姆治鲋痪窒抻诮鼒鰠^(qū)域（觀測點離圖樣中心較近）的條紋分布，對遠(yuǎn)場區(qū)域（觀測點離圖樣中心較遠(yuǎn)）條紋的分布完全不適用。本文采用非近似理論推導(dǎo)和Origin軟件仿真，對楊氏雙縫實驗近場和遠(yuǎn)場的條紋線度分布特征進(jìn)行了定量研究。

1 理論推導(dǎo)

楊氏雙縫干涉實驗?zāi)Ｐ腿鐖D1所示。

光源S發(fā)出的光波波面?zhèn)鞑サ诫p縫S1和S2上，形成2列相干光源。單縫S處于雙縫S1和S2的對稱位置，光程SS1和光程SS2相等，不引入光程差。因此光源S1和S2具有相同的初相位0和圓頻率，其振動方程可表示為：

圖1 楊氏雙縫干涉實驗?zāi)Ｐ?/p>

S1和S2作為波源分別產(chǎn)生一列波動傳播到場點，并各自在點引起一個振動，點的兩個振動相對于波源S1和S2均有延遲，延遲的時間由S1和S2到點的距離1、2和波速1、2決定。點的兩個振動表達(dá)式為：

式中1和2是兩列光波的傳播速度，本實驗中兩列光波在空氣中傳播，因此1和2相等，均等于。根據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量疊加方法，可得點的光強為

而

其中：為周期，為光在空氣中的波長。

將式（6）代入式（5）得：

其中

從式（7）可知：場點疊加后的振幅P的取值取決于2-1。其實2-1即為兩束光的光程差。設(shè)雙縫之間的距離S1S2＝，雙縫到光屏的距離為，點的坐標(biāo)為。實驗中，一般是mm量級，是m量級。在近場條件下，從圖1中可得

而

由式（9）、式（10）和式（11）得

由式（14）可得出條紋間距與點的位置無關(guān)的結(jié)論，即條紋呈現(xiàn)均勻分布[3]。目前的波動光學(xué)教材均分析到此為止，未對遠(yuǎn)場情況下條紋的分布情況加以討論。上面的分析過程，采用了兩次近似處理，僅適用于近場條件。在波動光學(xué)的教材中，對何為近場、何時可以取近似計算未進(jìn)行詳細(xì)的探討，導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)該知識點時沒有一個確切的依據(jù)，使得客觀的知識融入了一定的主觀性。

以下為通過幾何關(guān)系嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赝茖?dǎo)2-1的取值。根據(jù)圖1的幾何關(guān)系可得：

將式（15）代入式（7），可以得出任意情況下（包含近場區(qū)域、遠(yuǎn)場區(qū)域）的光強分布函數(shù)[6-8]為

2 干涉條紋仿真

調(diào)整顯示區(qū)間便可觀察到楊氏雙縫干涉實驗的條紋分布。在光屏xoy平面內(nèi)，-0.005 m≤x≤0.005 m和-0.005 m≤y≤0.005 m區(qū)間范圍內(nèi)的干涉條紋如圖2所示。

表1 0~0.15 m范圍內(nèi)的擬合參數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)誤差

圖3 0~0.15 m范圍條紋寬度變化規(guī)律的曲線擬合

從圖3可看出：楊氏雙縫干涉條紋寬度在光場中的分布是非均勻的，在軸上隨著遠(yuǎn)離中心對稱位置，條紋的寬度呈現(xiàn)指數(shù)增長。明條紋的中心坐標(biāo)由光程差與波長之間的整數(shù)倍決定，可表示為：

從式（17）可以看出，由于干涉級數(shù)只能取整數(shù)，的取值將不再連續(xù)。在近場條件下，教材的處理方法采用兩次近似得到式（14）用于計算條紋的寬度?，F(xiàn)將模擬參數(shù)和代入式（14），計算得出近場條件下條紋的寬度為0.0011 m。

圖4 3 m≤x≤5 m、3 m≤y≤5 m區(qū)間范圍內(nèi)干涉條紋分布情況

圖5 3~5 m范圍條紋寬度變化規(guī)律的曲線擬合

表2 3~5 m范圍擬合參數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)誤差

3 結(jié)論

通過理論推導(dǎo)得出的非近似處理的光強分布函數(shù)，以及用Origin 9.0仿真得到的光強分布圖像表明，曲線擬合顯示條紋的寬度隨遠(yuǎn)離中心對稱位置呈指數(shù)函數(shù)的形式增加。在＝0.5 mm、＝1 m、＝550 mm 的參數(shù)條件下，–0.01 m≤≤0.01 m范圍內(nèi)仿真的條紋寬度結(jié)果與兩次“近似”計算得出的結(jié)果一致，該范圍可稱為近場區(qū)域。

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Study on fringe distribution of Young’s double slit interference experiment

LI Dongyu, SHI Youming, ZHANG Tingxian

(College of Physics and Electronic Engineering, Qujing Normal University, Qujing 655011, China)

double slit interference; interference fringes; simulation experiment; optical experiment

O436.1

A

1002-4956(2019)10-0120-03

10.16791/j.cnki.sjg.2019.10.028

2019-03-27

國家自然科學(xué)基金項目（31760341）資助；云南省教育廳科研項目（2015Y425）資助

李棟玉（1983—），女，四川綿陽，碩士，講師，主要研究方向為光譜信息挖掘。E-mail: ldy8304@163.com