基于格蘭杰因果的神經(jīng)元功能連接分析

汪躍萍 朱云國

（銅陵學(xué)院，安徽 銅陵 244061）

一、引言

多通道神經(jīng)信號(hào)記錄技術(shù)的發(fā)展，了解多神經(jīng)元如何協(xié)同工作以及神經(jīng)元的連接關(guān)系，能為獲得某種特定腦功能活動(dòng)提供幫助[1,2]。在伸展抓握過程，神經(jīng)元在不同的動(dòng)作時(shí)段都伴隨中神經(jīng)元放電，分析在動(dòng)作謀劃時(shí)段和動(dòng)作執(zhí)行時(shí)段神經(jīng)元放電活動(dòng)的差異性，為我們接下來分析神經(jīng)元的連接關(guān)系打下基礎(chǔ)。本文通過基于copula（連接）函數(shù)的Granger Causality（格蘭杰因果關(guān)系）去生成格蘭杰因果網(wǎng)絡(luò)[3]，引入網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜性去分析神經(jīng)元在動(dòng)作執(zhí)行時(shí)段與動(dòng)作謀劃時(shí)段的連接水平。

二、方法

（一）格蘭杰因果網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建

1.連接函數(shù)

Copula函數(shù)是將多變量聯(lián)合累積分布函數(shù)與各變量邊緣累積分布函數(shù)連接起來的函數(shù)[4,5]。若Y是多變量的聯(lián)合分布函數(shù)，Yi是各變量的邊緣累積分布函數(shù)，C為多變量的連接函數(shù)，則Y（x1,x2,…,xn）=C（Y1（x1）,Y2（x2）,…Yn（xn））。

推論1設(shè)x與y的聯(lián)合分布函數(shù)是H（x,y），它們的各變量的邊緣分布函數(shù)分別是 F（x）和 G（y），C為相應(yīng)的連接函數(shù)，F(xiàn)-1（u）、G-1（v）分別為 F（x）、G（y）的反函數(shù)，那么對(duì)于連接函數(shù)C定義域內(nèi)的任意u,v均有：

通過 C（u,v）的密度函數(shù) c（u,v）和邊緣分布函數(shù) F（x）、G（y）可以求出分布函數(shù) H（x,y）的概率密度函數(shù)：

2.格蘭杰因果關(guān)系

已知變量X及變量Y的歷史所有信息，來預(yù)測當(dāng)前時(shí)刻的變量X的概率分布要比不包含變量Y的歷史所有信息來預(yù)測當(dāng)前時(shí)刻的變量X的概率分布預(yù)測效果要好，能夠表明Y對(duì)于X的將來變化的預(yù)測有幫助，則表明Y是X的格蘭杰原因。f（Xp|Xh，Yh）表示的就是在已知X以及Y的歷史所有信息這樣的條件下對(duì)X的預(yù)測效果，f（Xp|Xh）表示的就是不包含Y的歷史所有信息對(duì)X進(jìn)行的預(yù)測效果[6]。其中X，Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，f是條件概率函數(shù)。

根據(jù)格蘭杰因果定義，得到格蘭杰因果關(guān)系式[7,8]：

公式3中的E表示該樣本空間的期望值。公式3是在未知模型的情況下直接進(jìn)行概率估計(jì)，可以分析神經(jīng)元與神經(jīng)元非線性關(guān)系以及高階的因果關(guān)系。

3.基于連接函數(shù)的格蘭杰因果

圖1 同時(shí)記錄的神經(jīng)元放電序列

如圖1所示，同時(shí)記錄的兩個(gè)神經(jīng)元X，Y放電信息，定義Y神經(jīng)元作為觸發(fā)神經(jīng)元，神經(jīng)元X為目標(biāo)神經(jīng)元，分析Y是否為X的格蘭杰因果原因，X是否為Y的格蘭杰因果的結(jié)果。由圖1知，神經(jīng)元X有N 次放電時(shí)刻，放電時(shí)刻記錄為｛TX,1,TX,2,…，TX，N｝，神經(jīng)元Y有M次的放電時(shí)刻,放電時(shí)刻為｛TY,1,TY,2,…，TY，M｝。

TXX表示神經(jīng)元X兩次放電間隔時(shí)間，｛TX,2-TX,1，TX,3-TX,2，…TX，N-TX,N-1｝,TYX表示神經(jīng)元 Y 與神經(jīng)元 X 兩次相鄰放電間隔時(shí)間，圖1中由于TX,N-1與TX,N-2有相同觸發(fā)神經(jīng)元 TY,M-1，TYX為｛TX,2-TY,1，…，TX，N-2-TY,M-1，TX，N-1-TY，M-1，TX,N-TX,M｝。

用f（TXX）表示TXX的概率分布函數(shù)，表示不包含神經(jīng)元Y的歷史所有信息來預(yù)測當(dāng)前時(shí)刻的神經(jīng)元X的概率分布。f（TXX）表示的是可預(yù)測性，所以可以將 f（TXX）來表示 f（Xp|Xh）。 就將式（3）轉(zhuǎn)換成式（4）。

由連接函數(shù)的定義可知：

得到基于連接函數(shù)的格蘭杰因果式：

（二）網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)復(fù)雜性

伸展抓握動(dòng)作過程，分析動(dòng)作謀劃時(shí)段與動(dòng)作執(zhí)行時(shí)段的神經(jīng)元格杰因果網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性，引入式（8）計(jì)算網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)復(fù)雜性比例。

式（8）中分子GC表示伸展抓握過程動(dòng)作執(zhí)行時(shí)段格蘭杰因果連接矩陣，分母gc表示伸展抓握過程動(dòng)作謀劃時(shí)段格蘭杰因果連接矩陣。

三、實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在伸展抓握過程，主要分析動(dòng)作謀劃時(shí)段以及動(dòng)作執(zhí)行時(shí)段。由于在動(dòng)作謀劃時(shí)段放電神經(jīng)元數(shù)目比較少，考慮到在動(dòng)作謀劃時(shí)段和動(dòng)作執(zhí)行時(shí)段進(jìn)行對(duì)比，選取7個(gè)放電比較多的神經(jīng)元來分析。選取的兩組數(shù)據(jù)結(jié)果，第一組數(shù)據(jù)記錄的是4,11,12,13,14,15,16這7個(gè)神經(jīng)元90次試驗(yàn)放電結(jié)果，第二組數(shù)據(jù)來源是神經(jīng)元4,9,11,12,14,15,16這7個(gè)神經(jīng)元90次試驗(yàn)放電結(jié)果。數(shù)據(jù)記錄的復(fù)雜性結(jié)果如表1、表2所示。

表1 第一組90次試驗(yàn)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)復(fù)雜性分布

表2 第二組90次試驗(yàn)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)復(fù)雜性分布

由表1、表2知，1號(hào)目標(biāo)物體抓握角度為 45°、90°、135°，6號(hào)目標(biāo)物體抓握角度為45°網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜性比例都是大于1，且總的90次試驗(yàn)結(jié)果中網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜性比例也是大于1。也就表明伸展抓握過程中，神經(jīng)元格蘭杰因果連接在動(dòng)作執(zhí)行時(shí)段要比動(dòng)作謀劃時(shí)段連接要強(qiáng)。發(fā)現(xiàn)在動(dòng)作執(zhí)行時(shí)段，神經(jīng)元功能連接網(wǎng)絡(luò)要較動(dòng)作謀劃時(shí)段的神經(jīng)元功能連接網(wǎng)絡(luò)更為復(fù)雜，從而驗(yàn)證初級(jí)運(yùn)動(dòng)皮層主要功能就是動(dòng)作執(zhí)行。

四、結(jié)論

在完成伸展抓握過程，動(dòng)作執(zhí)行時(shí)段與動(dòng)作謀劃時(shí)段對(duì)比，神經(jīng)元與神經(jīng)元之間會(huì)出現(xiàn)更多的格蘭杰因果連接。出現(xiàn)在動(dòng)作執(zhí)行時(shí)段，神經(jīng)元連接更為復(fù)雜這一現(xiàn)象的原因在于：動(dòng)作執(zhí)行時(shí)段，獼猴的運(yùn)動(dòng)皮層的神經(jīng)系統(tǒng)需要對(duì)實(shí)時(shí)的外界反饋?zhàn)龀龇磻?yīng)，完成持續(xù)的輸入輸出的閉環(huán)動(dòng)作控制，所以需要神經(jīng)元之間更加頻繁的交互，需要交流更復(fù)雜的信息，更復(fù)雜的協(xié)助。在動(dòng)作謀劃時(shí)段，主要任務(wù)是自我確認(rèn)和準(zhǔn)備對(duì)應(yīng)的任務(wù)目標(biāo)，也很可能是獼猴會(huì)對(duì)動(dòng)作執(zhí)行的時(shí)段的提前預(yù)演，但這些所處理的信息與比動(dòng)作執(zhí)行時(shí)段所處理的動(dòng)作學(xué)信息要少得多，所以獼猴在動(dòng)作謀劃時(shí)段的神經(jīng)元功能連接相對(duì)簡單，從而驗(yàn)證初級(jí)運(yùn)動(dòng)皮層主要功能就是動(dòng)作執(zhí)行。