一類具有非線性捕獲項(xiàng)的捕食系統(tǒng)概周期解的存在性

魏臻

(福建師范大學(xué)福清分校電子與信息工程學(xué)院,福建 福清 350300)

1 引言

Voterra在1931年提出了捕食系統(tǒng)

對(duì)該模型,大量學(xué)者已經(jīng)作了深入研究,但單純的微分方程無法全面準(zhǔn)確描述生物系統(tǒng)的某些性質(zhì).捕獲量作為研究種群動(dòng)力學(xué)行為的一個(gè)重要因素,近年來已引起學(xué)者的興趣[1-3].文獻(xiàn)[4]改進(jìn)了系統(tǒng)(1),加入了非線性捕獲項(xiàng),如下:

使之更加合理化,研究了平衡解的穩(wěn)定性以及分支,討論了系統(tǒng)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.

在系統(tǒng)(2)中,作者假設(shè)系統(tǒng)的系數(shù)均為正常數(shù),這在自然界中是不存在的,自然界中環(huán)境會(huì)隨著時(shí)間的變化而變化.因此,考慮系統(tǒng)的系數(shù)會(huì)隨時(shí)間變化的非自治模型更為合理.另一方面,在自然界中,一個(gè)物種的生存資源通常情形下是有限的,進(jìn)一步考慮了捕食者種群的密度制約因素,用q(t)y2來表示,這是比較合理的.

本文研究具有密度制約項(xiàng)和非線性捕獲項(xiàng)的非自治捕食系統(tǒng)

其中x(t),y(t)表示t時(shí)刻食餌和捕食者的種群密度,g(t)表示捕獲能力,E(t)表示收獲的捕撈努力,a(t),b(t),c(t),d(t),e(t),q(t),g(t),E(t),m1(t),m2(t)是[0,+∞)上非負(fù)連續(xù)的概周期函數(shù).

由于環(huán)境變化非嚴(yán)格意義上的周期性變化,用概周期性變化來描述更合適,并且概周期現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)中更容易見到,在許多實(shí)際問題中,考察其概周期現(xiàn)象更切合實(shí)際.因此研究系統(tǒng)(3)的概周期性是必要的,目前尚未見這方面的工作.

2 持久性和全局漸近穩(wěn)定性

3 概周期解的存在性

此外,設(shè)(6)式對(duì)t≥t0≥0有解位于緊集S中,S?D,則(7)式在D中有唯一概周期解p(t),p(t)位于S中,它是一致漸近穩(wěn)定的,且mod(p)?mod(f).

定理 3.1如果概周期系統(tǒng)(3)滿足條件(H1)和(H2),則系統(tǒng)(3)存在唯一的正概周期解,且此解是全局漸近穩(wěn)定的.

證明系統(tǒng)(3)的伴隨系統(tǒng)為

其中ξ(t)介于X1(t)和X2(t)之間,η(t)介于Y1(t)和Y2(t)之間.

令N=min{N1,N2}.則D+V(t)≤ ?μN(yùn)[|X1(t)?X2(t)|+|Y1(t)?Y2(t)|]滿足引理3.1條件(iii).故概周期系統(tǒng)(3)存在唯一的正概周期解,且是一致漸近穩(wěn)定的.又由定理2.2知,系統(tǒng)(3)存在唯一的全局漸近穩(wěn)定的正概周期解.

4 例子和數(shù)值模擬

滿足條件(H2).設(shè)初始條件為(x(0),y(0)=(1,1),(0.5,0.5),(1.2,0.8),(0.6,1.5),從圖1可以看出存在唯一的正概周期解,且是全局漸近穩(wěn)定的.

圖1 系統(tǒng)(9)的概周期解