圓形翅片管換熱器計算模型與算法收斂性研究

(上海交通大學(xué)制冷與低溫工程研究所 上海 200240)

翅片管換熱器在制冷空調(diào)領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛，常用作制冷設(shè)備中的核心換熱部件，具有傳熱效率高、結(jié)構(gòu)緊湊、價格低廉等優(yōu)點。傳統(tǒng)翅片管換熱器采用斷面為矩形的結(jié)構(gòu)，而在圓筒式空調(diào)機組中，為適應(yīng)機組的結(jié)構(gòu)特點，需要采用特制的斷面為圓形的翅片管換熱器。圓形翅片管換熱器特殊的結(jié)構(gòu)形式使其相比矩形翅片管換熱器具有空氣側(cè)阻力小、能耗低、旁通便利的優(yōu)勢。

利用數(shù)學(xué)建模的方法，對換熱器進行建模計算，能極大地擴展換熱器開發(fā)與研究內(nèi)容：根據(jù)環(huán)境要求設(shè)計合適結(jié)構(gòu)的產(chǎn)品；指導(dǎo)換熱器結(jié)構(gòu)優(yōu)化的變結(jié)構(gòu)計算；性能仿真計算代替部分實驗等。有關(guān)翅片管換熱器的計算研究已較為深入和成熟。 W. J. Lee等[1-3]通過求解質(zhì)量、動量、能量等守恒控制方程，對翅片管換熱器進行數(shù)值模擬，在此基礎(chǔ)上研究換熱器特性；何明勛等[4-7]采用CFD軟件對不同結(jié)構(gòu)的翅片管換熱器內(nèi)流場進行模擬，并與實驗結(jié)果對比分析，研究了換熱的影響因素；亦有部分研究[8-11]基于分布參數(shù)模型或集總參數(shù)模型，以傳熱學(xué)、熱力學(xué)為基礎(chǔ)通過參數(shù)的迭代求解實現(xiàn)翅片管換熱器的模型計算，并研究了翅片管換熱器的變工況與變結(jié)構(gòu)特性；王云龍[12]在傳熱機理研究的基礎(chǔ)上，采用穩(wěn)態(tài)集中參數(shù)模型，開發(fā)了翅片管式蒸發(fā)器的設(shè)計選型軟件，將數(shù)值算法應(yīng)用于實際工程中。對于圓形翅片管換熱器，目前基本沒有實驗與計算模型的研究，大大制約了其應(yīng)用推廣。因此，本文以普適的熱力學(xué)、傳熱學(xué)定律及數(shù)值分析為理論基礎(chǔ)，建立了圓形翅片管換熱器的設(shè)計計算與性能仿真計算的分排參數(shù)模型。此外，分排參數(shù)模型迭代較多且涉及節(jié)點參數(shù)傳遞，算法收斂限制條件較多，故對模型的關(guān)鍵算法問題進行了研究，通過增加計算參數(shù)判斷以及迭代極限值的合理計算完善了算法，在保證算法收斂與穩(wěn)定的同時增強算法的通用性。

1 模型概述

1.1 圓形翅片管換熱器

圓形翅片管換熱器的結(jié)構(gòu)如圖1所示，換熱管加工成圓弧形，沿徑向方向由內(nèi)至外排布?？諝鈧?cè)與水側(cè)的進、出口流路布置相反，以獲得更好的傳熱效率。

圖1 圓形翅片管換熱器結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of circular fin-tube heat exchanger

換熱器的計算包括設(shè)計計算與性能仿真計算：設(shè)計計算已知運行工況參數(shù)、負荷與部分結(jié)構(gòu)參數(shù)，計算求解所需換熱器的管排數(shù)；性能仿真計算已知空氣、水的進口參數(shù)及換熱器結(jié)構(gòu)，計算求解換熱器的運行性能參數(shù)與出口狀態(tài)。換熱器的基本結(jié)構(gòu)參數(shù)：1)換熱管參數(shù)：管外徑Do，管壁厚δt，內(nèi)圈換熱管圓弧對應(yīng)直徑D(i)，有效弧長對應(yīng)圓心角θe；2)翅片參數(shù)：翅片類型，翅片厚度δf，翅片間距sf(中心片距)；3)結(jié)構(gòu)布置：軸向管間距s1，徑向管間距s2，軸向管排數(shù)nv，徑向管排數(shù)np，回路形式(或回路數(shù))。

1.2 模型假設(shè)與物理方程

換熱器運行時大多處于穩(wěn)態(tài)或亞穩(wěn)態(tài)[13-14]，為方便數(shù)學(xué)模型的建立與推導(dǎo)，進行如下假設(shè)：

1) 空氣與管內(nèi)水的熱力狀態(tài)在每一排管中遵循集總參數(shù)規(guī)律；

2) 空氣和水流動的交叉流(流動方向相互垂直)近似按照全逆流方式進行處理；

3) 換熱管壁面沿四周均勻吸熱或放熱；

4) 管內(nèi)水的溫度沿徑向方向溫度分布均勻，不考慮管壁和水的軸向?qū)幔?/p>

5) 忽略換熱器的輻射換熱；

6) 空氣在空間上均勻地沿徑向通過換熱器。

在上述假設(shè)基礎(chǔ)上，模型采用以下的熱力學(xué)和傳熱學(xué)方程式進行求解。

空氣側(cè)能量守恒方程：

Qa1(i)=ρ1Va(h1(i)-h2(i))

(1)

式中：ρ1為進風密度，kg/m3；Va為循環(huán)風量，m3/s；h1(i)、h2(i)分別為第i排管的進、出風焓值，J/kg。

水側(cè)能量守恒方程：

Qw1(i)=Wcpwm(i)(tw2(i)-tw1(i))

(2)

式中：W為水的質(zhì)量流量，kg/s；cpwm(i)為第i排換熱管水的平均比熱容，J/(kg·K)；tw1(i)、tw2(i)分別為第i排換熱管的進、出水溫度，℃。

空氣側(cè)傳熱方程式：

(3)

式中：ξ(i)為第i排的析濕系數(shù)；ηs(i)為第i排翅片表面效率；αo(i)為第i排的管外側(cè)(空氣側(cè))傳熱系數(shù)，W/(m2·℃)；Fo(i)為第i排換熱管外表面總傳熱面積，m2；twallout(i)為第i排管束外壁溫度，℃。

水側(cè)傳熱方程式：

Qw2(i)=αi(i)Fi(i)[twallin(i)-(tw1(i)+tw2(i))/2]

(4)

式中：αi(i)為第i排的管內(nèi)側(cè)(水側(cè))傳熱系數(shù)，W/(m2·℃)；Fi(i)為第i排管內(nèi)側(cè)傳熱面積，m2；twallin(i)為第i排管束內(nèi)壁溫，℃。

管壁導(dǎo)熱方程式：

Qc(i)=2πλtLt(i)(twallout(i)-twallin(i))/ln(Do/Di)

(5)

式中：λt為紫銅管導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·℃)；Lt(i)為第i排換熱管總長，m；Di、Do分別為換熱管內(nèi)、外徑，m。

濕空氣熱濕比方程式(干工況下此方程不成立)：

(6)

式中：d1(i)、d2(i)為第i排換熱管的進、出風含濕量，kg/kg干空氣；dw(i)為機器露點溫度對應(yīng)的飽和含濕量，kg/kg干空氣；hw(i)為機器露點溫度對應(yīng)的飽和焓值，J/kg。

計算求解基于上述熱力學(xué)方程、傳熱學(xué)方程計算的總能量平衡，如式(7)所示。

Qa1(i)=Qa2(i)=Qw1(i)=Qw2(i)=Qc(i)

(7)

1.3 迭代邏輯與干、濕工況判別

在分析圓形翅片管換熱器的換熱過程時，由于供熱工況不涉及濕交換[8]，計算較簡單，因此只對供冷工況的計算進行分析。分排參數(shù)模型的問題求解可簡化成如圖2所示的單排換熱管逆流換熱計算。已知參數(shù)為各排的進風狀態(tài)t1(i)與ts1(i)、風量Va、出水溫度tw2(i)及水流量W，待求參數(shù)為出風狀態(tài)t2(i)與ts2(i)、進水溫度tw1(i)與換熱量Q(i)。求解方法為假設(shè)各排進水溫度tw1(i)，形成封閉的守恒方程組，二分法迭代得到最終正確的解。

圖2 計算模型簡化圖Fig.2 Schematic diagram of calculation model

求解過程中，對于矩形斷面翅片管換熱器，濕工況下的空氣側(cè)特性與干工況下的差異很大[15]。因此，模型的其中一個關(guān)鍵算法問題為如何根據(jù)輸入?yún)?shù)判明制冷干、濕工況的類別[16]。而對于圓形翅片管換熱器，因為采用分排參數(shù)模型，各排換熱管作為獨立的換熱單元進行換熱，所以每一排換熱管的迭代計算均需要判斷干、濕工況類別。

干、濕工況的類別取決于機器露點溫度是否高于進風露點溫度，機器溫度露點溫度由進水溫度與換熱器的結(jié)構(gòu)尺寸決定，而模型中各排的進水溫度是迭代假設(shè)值(求解量)，因此各排換熱管進水溫度迭代上下限的確定是模型關(guān)鍵的算法問題，其不僅影響干濕工況類型的判別，而且決定著迭代求解能否收斂。

2 收斂條件及條件方程

2.1 收斂條件

圓形翅片管換熱器的分排參數(shù)模型使用二分法進行迭代求解。在數(shù)學(xué)上，二分法是絕對收斂的迭代求解方法，但對于換熱器的計算，其反映實際物理過程，不合理的參數(shù)仍可能使算法無法正常運行，從而導(dǎo)致算法不收斂。在換熱器的迭代計算過程中，需要滿足以下兩個基本條件。

條件1：空氣側(cè)平均溫度>換熱管外壁溫度，如式(8)；此條件保證了制冷工況下傳熱的方向性。

tm(i)=(t1(i)+t2(i))/2>twallout(i)

(8)

條件2：出風溫度>對應(yīng)出風焓值對應(yīng)的等焓線與飽和線φ=100%的交點溫度，如式(9)。

t2(i)>ths(i)

(9)

其中，ths(i)=t(h2(i),φ=100%)。

濕工況下出風狀態(tài)2點根據(jù)式(6)確定，條件2限制了出風狀態(tài)2點必須在飽和線的上方；當計算過程中出現(xiàn)不滿足條件2的情況，等焓線與過程線會相交于飽和線的下方(即出風狀態(tài)相對濕度>100%)，這違背了物理規(guī)律，可能會使?jié)窨諝馕镄杂嬎愠隼碚摲秶斐刹皇諗?，故算法中需要避免這一點，焓濕圖如圖3所示。

圖3 條件2對應(yīng)的焓濕圖Fig.3 Psychrometric chart of condition 2

條件1、2限制了傳熱方向性及待求出風狀態(tài)點，使算法符合物理規(guī)律，保證后續(xù)的計算穩(wěn)定運行，是迭代收斂的重要條件。為滿足上述兩個條件，需對迭代變量進水溫度的范圍進行控制。各排進水溫度的范圍如式(10)：熱器的總進水溫度≤進水溫度<出水溫度。

tw1≤tw1(i)

(10)

利用上式可確定進水溫度的取值范圍，但對于進出水溫差較大的情況，換熱器外圈換熱管(即出水管路)的實際進水溫度較高，進水溫度下限值tw1,1(i)設(shè)為總進水溫度會使迭代時的進水溫度較小，出現(xiàn)不符合條件1或2的情況。因此，需設(shè)置合適的進水溫度迭代下限值，保證滿足條件1、2。

2.2 收斂條件方程

條件1、2不等式(式(8)、式(9))對應(yīng)的函數(shù)為：

f1=tm(i)-twallout(i)

(11)

f2=t2(i)-ths(i)

(12)

其中，出風溫度t2(i)與管外壁溫度twallout(i)的計算涉及參數(shù)較多，不僅受進水溫度tw1(i)的影響，還與進風溫度、風量、水流量、換熱器結(jié)構(gòu)等相關(guān)；保持其他變量相同，t2(i)與twallout(i)的表達式如下：

t2(i)=f(tw1(i),cpw,ρw,ω,twallout(i))

twallout(i)=f(tw1(i),cpw,ρw,ω)

采用多點計算的方法，保持出水溫度相同，通過曲線圖研究不同結(jié)構(gòu)尺寸下(換熱管圓弧直徑D=500、700、900 mm)單排換熱管的函數(shù)f1、f2隨進水溫度的變化趨勢，如圖4所示。

圖4 進水溫度對f1、 f2的影響Fig.4 Effect of water inlet temperature on f1, f2

由圖4可知，在3種不同的設(shè)置出水溫度下，不同尺寸下的f2曲線基本完全重合，換熱管結(jié)構(gòu)對函數(shù)f2影響可忽略。函數(shù)f1、f2與進水溫度呈線性關(guān)系，且為單調(diào)遞增函數(shù)，當換熱管進水溫度>某個臨界值，即可讓函數(shù)值>0，從而使條件1、2成立。因此，求取兩方程f1=0與f2=0零點所對應(yīng)的進水溫度作為各排進水溫度下限值，即可使迭代時滿足兩個基本條件，保證迭代收斂。

計算方法如下：

1) 假設(shè)進水溫度區(qū)間[-5,tw2(i)](水溫≥0 ℃，取-5 ℃保證收斂)，運用二分迭代法，取區(qū)間中間值為進水溫度；

2) 計算水側(cè)平均溫度，并據(jù)此計算水側(cè)的物性參數(shù)與傳熱系數(shù)；

3) 根據(jù)水側(cè)能量守恒方程(式(2))計算制冷量，再根據(jù)水側(cè)傳熱方程(式(4))與管壁導(dǎo)熱方程計算管外壁溫度twallout(i)；

4) 判斷干、濕工況，濕工況下根據(jù)熱濕比方程(式(6))計算出風溫度t2(i)，根據(jù)出風溫度計算空氣側(cè)平均溫度tm(i)；

5) 條件1：判斷不等式(13)是否成立，若成立，迭代收斂，此時假設(shè)的進水溫度tw1,a即為要求的零點；若不成立，對二分法迭代區(qū)間上、下限重新賦值，回到步驟(1)重新迭代計算。

(13)

條件2：判斷不等式(14)是否成立，步驟與條件1相同，計算得到對應(yīng)的進水溫度tw1,b。

(14)

6) 取tw1,a與tw1,b的較大值作為第i排換熱管進水溫度的迭代下限值tw1,1(i)。

3 結(jié)果分析

運用上述求零點算法可對圓形翅片管換熱器各排管的進水溫度下限進行計算。計算制冷工況：進風干/濕球溫度27/19.5 ℃，循環(huán)風量5 000 m3/h，進水溫度5～15 ℃，水流量6 000 kg/h。換熱器的基本結(jié)構(gòu)參數(shù)：Do=12.7 mm，δt=0.35 mm；翅片為正弦波紋片，δf=0.125 mm，sf=3.1 mm；s1=31.75 mm，s2=27.50 mm，nv=16，np=4；水路數(shù)32(水路形式為雙回路)；θe=316°，D(1)=700 mm。

圖5所示為條件1與條件2零點分別對應(yīng)的進水溫度tw1,a、tw1,b。由圖5可知：1)換熱器各排管條件1、2對應(yīng)的進水溫度tw1,a、tw1,b與總進水溫度tw1呈線性遞增趨勢，當總進水溫度較小時，tw1,atw1,b，此時情況相反，需以tw1,a作為迭代下限；2)由于換熱器水路形式為雙回路，第一、二排為出水排，第三、四排同時進水，因此第一排與二排、第三排與第四排的計算零點溫度接近，且更接近換熱器水流進口處的三、四排換熱管計算的tw1,a、tw1,b更低；3)當總進水溫度tw1較低時，接近換熱器水路出口的第一、二排換熱管計算的進水溫度下限>總進水溫度。以進水溫度為5 ℃的情況為例，計算的進水溫度下限為6.54 ℃(tw1,a=5.32 ℃，tw1,b=6.54 ℃)，計算中若以總進水溫度為迭代下限，就會出現(xiàn)在迭代區(qū)間的一部分范圍[5,6.54]內(nèi)不滿足條件2，出風相對濕度>100%，濕空氣物性計算超出理論范圍造成不收斂。因此，通過求解函數(shù)f1、f2零點的方法確定進水溫度迭代下限，能夠避免算法進入非合理區(qū)間，使迭代計算穩(wěn)定運行至收斂。

圖5 條件1與條件2零點分別對應(yīng)的進水溫度tw1,a、tw1,b的變化Fig.5 Variation law of inlet water temperature corresponding to zero point of condition 1 and condition 2

4 結(jié)論

本文對圓筒形翅片管換熱器的數(shù)值算法進行研究，根據(jù)熱力學(xué)規(guī)律和參數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系，建立了圓筒形翅片管換熱器的分排參數(shù)計算模型，設(shè)置各排進水溫度作為迭代變量。重點討論了算法的收斂性，建立了兩個基本迭代收斂條件，通過求解條件方程，得到正確的迭代變量下限值，保證算法穩(wěn)定收斂。通過程序計算驗證了收斂條件的合理性。主要結(jié)論如下：

1) 制冷工況下，選取換熱器總進水溫度作為迭代下限進行迭代計算時，可能出現(xiàn)空氣側(cè)平均溫度<換熱管外壁溫度，或出風相對濕度>100%的不合理情況；

2) 設(shè)置不同換熱器結(jié)構(gòu)參數(shù)和出水溫度進行程序計算，得到換熱器結(jié)構(gòu)對迭代變量下限值影響可忽略；迭代變量(即各排進水溫度)下限是換熱器總進水溫度的線性遞增函數(shù)；

3) 設(shè)置換熱器進水溫度范圍為5～15 ℃，進行程序驗證計算，進水溫度得到靠近水路出口處(水溫更高)換熱管的進水溫度下限更高：當進水溫度為5 ℃，第一、二排管迭代變量下限為6.54 ℃。此時迭代條件的應(yīng)用有效避免了算法進入不合理區(qū)間。