基于移動(dòng)APP 的離散數(shù)學(xué)翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式研究

孟 慧，趙 珊，雷東記

（1.河南理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，河南 焦作 454000；2.河南理工大學(xué) 安全科學(xué)與工程學(xué)院，河南 焦作 454000）

0 引 言

離散數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，是計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程之一[1]。學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)有益于學(xué)生概括抽象能力、邏輯思維能力、歸納構(gòu)造能力的提升，有益于學(xué)生完整、規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度的培養(yǎng)。離散數(shù)學(xué)不僅要求學(xué)生掌握基本的理論知識(shí)，而且還要求具備一定的動(dòng)手能力，并且能夠運(yùn)用理論知識(shí)解決實(shí)際問題。

離散數(shù)學(xué)具有內(nèi)容多而零散的特點(diǎn)，在有限的學(xué)時(shí)下，單一的傳統(tǒng)授課模式表現(xiàn)出來的是以概念、定理、性質(zhì)為主的介紹。通過對(duì)學(xué)生的調(diào)研發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中對(duì)為什么學(xué)以及學(xué)了有什么用很茫然，往往會(huì)認(rèn)為離散數(shù)學(xué)沒有實(shí)用價(jià)值，從而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)離散數(shù)學(xué)不夠重視，學(xué)習(xí)積極性不高。

隨著移動(dòng)通信和智能終端的快速發(fā)展和普及，用戶越來越傾向于使用手機(jī)訪問應(yīng)用系統(tǒng)。移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)對(duì)傳統(tǒng)課堂教學(xué)模式也產(chǎn)生了巨大的沖擊。如果將手機(jī)移動(dòng)教學(xué)平臺(tái)與傳統(tǒng)課堂有效地結(jié)合起來，使手機(jī)變成有利的學(xué)習(xí)工具，實(shí)現(xiàn)課堂內(nèi)外信息的即時(shí)互動(dòng)，則能有效地推動(dòng)教學(xué)方式的改革。文獻(xiàn)[2]設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)了離散數(shù)學(xué)移動(dòng)端輔助教學(xué)系統(tǒng)，但沒有給出具體的教學(xué)模型和實(shí)施過程。文獻(xiàn)[1]提出了基于移動(dòng)終端的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式研究，但文中缺少具體的實(shí)施過程。以移動(dòng)APP 作為學(xué)習(xí)平臺(tái)，根據(jù)學(xué)習(xí)者自身的個(gè)體差異和課程內(nèi)容的不同難易程度，通過引入知識(shí)點(diǎn)測(cè)評(píng)和教學(xué)反饋機(jī)制，動(dòng)態(tài)調(diào)整課堂授課形態(tài)，能夠幫助學(xué)生對(duì)于碎片化時(shí)間的管理和利用，讓學(xué)生真正實(shí)現(xiàn)“隨時(shí)、隨地、隨身”學(xué)習(xí)。

1 離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)模式改革的研究動(dòng)機(jī)

1.1 學(xué)習(xí)者分析

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，高校學(xué)生個(gè)體之間存在著巨大的差異，主要表現(xiàn)在學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)體系、學(xué)習(xí)動(dòng)力動(dòng)機(jī)等方面[3]。

首先，學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系不同。雖然絕大部分學(xué)生是通過高考進(jìn)入高等院校學(xué)習(xí)，但是由于不同省份高考的大綱和錄取分?jǐn)?shù)線并不相同，因此即使是坐在同一間教室里的學(xué)生，其知識(shí)結(jié)構(gòu)體系也不盡相同，而一個(gè)人的知識(shí)結(jié)構(gòu)又決定了其思考問題和解決問題的思路。知識(shí)結(jié)構(gòu)越豐富、越完善，其接受能力和理解能力就越強(qiáng)。知識(shí)體系結(jié)構(gòu)的差異對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程有一定的影響。

其次，學(xué)習(xí)動(dòng)力動(dòng)機(jī)決定了學(xué)生的學(xué)習(xí)方向、學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)進(jìn)程，學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的強(qiáng)弱直接影響學(xué)習(xí)過程的穩(wěn)定性和持久性，這也是導(dǎo)致離散數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)差異性的重要原因。有些學(xué)生從大學(xué)入學(xué)就以考研作為本科階段學(xué)習(xí)的主要任務(wù)和目標(biāo)，而有些學(xué)生是計(jì)劃以就業(yè)作為主要目標(biāo)。如果在教學(xué)過程中不能體現(xiàn)出學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的差異，就必然會(huì)導(dǎo)致部分學(xué)生因動(dòng)力不足而掉隊(duì)。

1.2 課程內(nèi)容分析

目前，離散數(shù)學(xué)教材內(nèi)容一般由數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)和圖論4 部分組成[4-5]。由于教材組織內(nèi)容繁多、結(jié)構(gòu)松散、邏輯性差，教師很難再有時(shí)間介紹該門課程的具體應(yīng)用及與后續(xù)專業(yè)課程之間的關(guān)系[6]。實(shí)際上，對(duì)于課程中的不同部分，可以根據(jù)難易程度采用不同的教學(xué)組織方式。例如，對(duì)于數(shù)理邏輯和代數(shù)系統(tǒng)部分，定義和概念本身就比較抽象，即使對(duì)于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生也有不小的難度，因此，在課程組織上可以采用以課堂理論教學(xué)為主、自主學(xué)習(xí)為輔的教學(xué)模式；而對(duì)于集合論和圖論部分，定義相對(duì)簡(jiǎn)單，易于理解，而且學(xué)生之前對(duì)有些內(nèi)容已有所了解，因此學(xué)生可以通過移動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，教師在課堂上僅對(duì)共性問題進(jìn)行講解。具體實(shí)現(xiàn)情況見表1。

表1 課程內(nèi)容劃分

2 基于移動(dòng)端教學(xué)模式的設(shè)計(jì)

離散數(shù)學(xué)混合式教學(xué)課堂可基于Android/IOS 系統(tǒng)，并在終端選用合適的移動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行移動(dòng)學(xué)習(xí)。教學(xué)可以選用藍(lán)墨云班課APP，它除了具有傳統(tǒng)學(xué)習(xí)平臺(tái)的功能外，還具有手機(jī)簽到、分組討論、頭腦風(fēng)暴、調(diào)查問卷、學(xué)習(xí)評(píng)估報(bào)告、手機(jī)搖一搖搶答、投票問卷等功能，其簡(jiǎn)單便捷、功能齊全、趣味性強(qiáng)，能滿足教師和學(xué)生課堂內(nèi)外的各項(xiàng)需求，并實(shí)現(xiàn)移動(dòng)環(huán)境下的即時(shí)互動(dòng)。軟件分為教師端和學(xué)生端，首先在教師端創(chuàng)建課程，課程創(chuàng)建發(fā)布后會(huì)產(chǎn)生唯一的二維碼和課程號(hào)，學(xué)生可以通過二維碼的掃描加入班級(jí)，進(jìn)入后即可下載課程資源，進(jìn)行自主學(xué)習(xí)并參加課堂活動(dòng)。這樣，學(xué)生就可以通過訪問APP實(shí)現(xiàn)時(shí)時(shí)可學(xué)、處處能學(xué)、人人皆學(xué)。

基于移動(dòng)學(xué)習(xí)的混合式教學(xué)模式具體分為3個(gè)過程階段，即課前、課中和課后。具體教學(xué)模型如圖1 所示。其中，移動(dòng)學(xué)習(xí)主要發(fā)生在課前和課后兩個(gè)環(huán)節(jié)中。在此，教師應(yīng)當(dāng)注意到，學(xué)生課外不一定有大塊、連續(xù)、完整的時(shí)間能夠用于學(xué)習(xí)。因此，在資源整理和創(chuàng)建時(shí)，應(yīng)主要以知識(shí)點(diǎn)為單位，使學(xué)生便于進(jìn)行微型學(xué)習(xí)[7]，以真正實(shí)現(xiàn)利用零碎的小時(shí)間產(chǎn)生大效率。

圖1 基于移動(dòng)APP 的翻轉(zhuǎn)式課堂教學(xué)模型

2.1 課前階段

課前階段，進(jìn)行課前學(xué)習(xí)資源和學(xué)習(xí)任務(wù)的推送。教師可以登錄Web 端進(jìn)行課程資源的制作與整合，在資源庫中上傳各種教學(xué)資料，包括教學(xué)大綱、電子課件、教案、教學(xué)視頻、微課以及與課程相關(guān)的網(wǎng)絡(luò)鏈接等。通過云班課教學(xué)平臺(tái)的即時(shí)推送，實(shí)現(xiàn)學(xué)生不受時(shí)空限制的移動(dòng)學(xué)習(xí)。為了保證學(xué)習(xí)質(zhì)量，學(xué)習(xí)資源時(shí)長(zhǎng)不宜過長(zhǎng)，每個(gè)資源控制在3～5min，教師在制作教學(xué)視頻時(shí)，盡量以知識(shí)點(diǎn)為單位，做到短小精悍，保證學(xué)生有效時(shí)間內(nèi)的學(xué)習(xí)效果。學(xué)生完成預(yù)習(xí)任務(wù)，通過APP 測(cè)試進(jìn)行摸底，最終，軟件能自動(dòng)形成整體統(tǒng)計(jì)分析和個(gè)人統(tǒng)計(jì)分析。統(tǒng)計(jì)結(jié)果包括學(xué)生平均成績(jī)、各題正確率的統(tǒng)計(jì)圖表等。教師在討論答疑區(qū)設(shè)置活動(dòng)，學(xué)生對(duì)課前學(xué)習(xí)中遇到的問題或感受通過文字、圖片和語音進(jìn)行留言。對(duì)部分問題，老師和學(xué)生可以互答。教師通過班課的“測(cè)驗(yàn)”“調(diào)查問卷”檢查學(xué)生自主學(xué)習(xí)請(qǐng)況，形成新的學(xué)情分析，靈活對(duì)課堂講授內(nèi)容及教學(xué)方法作出調(diào)整和改進(jìn)。

2.2 課上階段

課堂上實(shí)行以問題和目標(biāo)為導(dǎo)向的教學(xué)模式。教師對(duì)較難易錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行歸納和分類，并精心設(shè)計(jì)課堂過程。其中，2/3 的課堂時(shí)間以教師講解為主，根據(jù)學(xué)生課前任務(wù)完成和自我測(cè)試的情況，對(duì)正確率在80%以上的知識(shí)點(diǎn)可以一帶而過，對(duì)正確率在60%～80%的知識(shí)只需簡(jiǎn)單講解，而對(duì)正確率在60%以下的知識(shí)，則需要詳細(xì)和重點(diǎn)講解。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)理解吸收，并進(jìn)行有效的內(nèi)化，同時(shí)讓學(xué)生把握課程的重點(diǎn)。在此過程中，教師可以利用移動(dòng)軟件中的搖一搖、搶答等隨機(jī)性很強(qiáng)的方式完成課堂提問和回答，并給予學(xué)生一定的激勵(lì)值，既游戲化教學(xué)，增強(qiáng)課堂的趣味性，又激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，同時(shí)，教師對(duì)學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)做到心中有數(shù)。另外1/3 的課堂時(shí)間以自主討論交流為主，由教師布置小組任務(wù)，學(xué)生通過班課隨機(jī)分組或線下分組進(jìn)行小組合作、交流討論，并動(dòng)手實(shí)踐，教師設(shè)計(jì)評(píng)分點(diǎn)和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)并開展互評(píng)，鼓勵(lì)學(xué)生積極進(jìn)行學(xué)習(xí)成果匯報(bào)。由教師負(fù)責(zé)總結(jié)指導(dǎo)并對(duì)成果及時(shí)給予肯定，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心。

除此之外，基于APP 軟件的強(qiáng)大功能，教師還可以通過手機(jī)移動(dòng)終端發(fā)起簽到，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生的快速點(diǎn)名，這種方式幾乎在數(shù)秒中就能完成，尤其在人數(shù)較多的課堂中，能極大地節(jié)省課堂時(shí)間。課程結(jié)束后，藍(lán)墨云班課平臺(tái)自動(dòng)匯總整個(gè)學(xué)期的簽到情況，并根據(jù)教師對(duì)出勤情況經(jīng)驗(yàn)值的設(shè)定，得到該部分的平時(shí)成績(jī)。

2.3 課后階段

在課后階段，教師運(yùn)用系統(tǒng)數(shù)據(jù)進(jìn)行教學(xué)診斷，同時(shí)，對(duì)課堂內(nèi)容進(jìn)行有效的延伸和拓展；針對(duì)學(xué)生的個(gè)體差異，有選擇性地布置課外作業(yè)；定期引入專題討論，啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，提升學(xué)生的抽象概括能力、歸納構(gòu)造能力、編程思維能力。經(jīng)過深入的思考和討論，學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度進(jìn)一步提升，同時(shí)也會(huì)提高興趣，增強(qiáng)信心。在相互交流的過程中，教師做指導(dǎo)性答疑，使學(xué)生形成更加豐富和完善的知識(shí)體系。教師可以利用云班課提供的題庫和自動(dòng)組卷功能，錄入與知識(shí)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的試題組成試題庫，進(jìn)行階段性的測(cè)評(píng)，檢測(cè)階段學(xué)習(xí)情況，同時(shí)，教師要根據(jù)學(xué)生的反饋重新認(rèn)識(shí)課堂，找出問題，及時(shí)總結(jié)，真正實(shí)現(xiàn)以學(xué)生為中心，以學(xué)定教；對(duì)教學(xué)過程中出現(xiàn)的問題進(jìn)行總結(jié)，分析原因，采取合適的手段進(jìn)行修改和完善，為下一輪教學(xué)活動(dòng)積累經(jīng)驗(yàn)。

3 基于移動(dòng)端教學(xué)模式的課堂組織和實(shí)施

離散數(shù)學(xué)是高等學(xué)校網(wǎng)絡(luò)工程專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程。通過本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)掌握現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)和方法，提升創(chuàng)新意識(shí)，鍛煉動(dòng)手能力，通過理論知識(shí)的學(xué)習(xí)，提升解決諸如最優(yōu)環(huán)游、最短路徑、物流配送等實(shí)際問題的能力?；谝苿?dòng)APP 的翻轉(zhuǎn)課堂新模式已經(jīng)在河南理工大學(xué)網(wǎng)絡(luò)工程專業(yè)實(shí)施與應(yīng)用。以二元關(guān)系一章為例進(jìn)行的具體應(yīng)用如下，具體知識(shí)要點(diǎn)與計(jì)算機(jī)課程之間的聯(lián)系如圖2 所示。

圖2 二元關(guān)系知識(shí)要點(diǎn)

3.1 課前階段

教師需要根據(jù)課程內(nèi)容，發(fā)布相關(guān)的電子課件、微課、視頻、教學(xué)案例等學(xué)習(xí)資源，并向?qū)W生發(fā)布學(xué)習(xí)任務(wù)。學(xué)生會(huì)第一時(shí)間在手機(jī)上收到通知。

（1）由于關(guān)系的基本概念是建立在集合的基礎(chǔ)上，而學(xué)生在前面章節(jié)中，對(duì)集合已有了充分的認(rèn)識(shí)，對(duì)二元關(guān)系的基本概念和關(guān)系的運(yùn)算這兩部分知識(shí)，可以通過移動(dòng)平臺(tái)上的資源進(jìn)行自主學(xué)習(xí)。教師要給學(xué)生介紹關(guān)系型數(shù)據(jù)庫的相關(guān)知識(shí)（由于學(xué)生在學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)時(shí)還沒有開設(shè)數(shù)據(jù)庫相關(guān)課程），引入關(guān)系數(shù)據(jù)庫模型作為案例，引導(dǎo)學(xué)生思考關(guān)系模型和關(guān)系數(shù)據(jù)庫之間的關(guān)系、關(guān)系模型和關(guān)系數(shù)據(jù)庫中表之間的關(guān)系。之后，學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單的自我測(cè)試。

（2）由于關(guān)系的性質(zhì)、特殊關(guān)系是本章的重點(diǎn)內(nèi)容，部分知識(shí)較難理解，教師可將每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都錄成簡(jiǎn)短的視頻并配以實(shí)例，如偏序關(guān)系在調(diào)度問題上的應(yīng)用等，以幫助學(xué)生理解。教師根據(jù)學(xué)生自測(cè)分析情況，動(dòng)態(tài)地掌握預(yù)習(xí)效果，對(duì)預(yù)習(xí)效果特別差的學(xué)生可進(jìn)行單獨(dú)在線輔導(dǎo)。

3.2 課上階段

（1）根據(jù)課前自測(cè)結(jié)果，教師對(duì)不易掌握的知識(shí)進(jìn)行歸納和講解。對(duì)重點(diǎn)內(nèi)容，如對(duì)關(guān)系的性質(zhì)、等價(jià)關(guān)系、偏序關(guān)系等內(nèi)容，由于難度較大，自主學(xué)習(xí)效果不會(huì)太理想，課堂上就要進(jìn)行較為詳細(xì)的講解，其中，要注重題型和知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，并對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維進(jìn)行訓(xùn)練。

（2）要留出時(shí)間鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)視頻中的問題進(jìn)行討論。教師可以使用移動(dòng)軟件中的頭腦風(fēng)暴發(fā)起問題，如生活中還存在哪些等價(jià)關(guān)系和偏序關(guān)系，讓學(xué)生暢所欲言，把自己的想法大聲說出來，無需考慮構(gòu)思內(nèi)容的優(yōu)劣，且對(duì)于所有的構(gòu)想，在課堂上不予對(duì)錯(cuò)判斷。通過手機(jī)搖一搖或搶答功能，學(xué)生闡述對(duì)等價(jià)類和商集之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)，進(jìn)行即時(shí)教學(xué)互動(dòng)。通過學(xué)生深層次的思考，訓(xùn)練學(xué)生的開放性思維，增強(qiáng)課堂的趣味性，使學(xué)生理解離散數(shù)學(xué)在后續(xù)專業(yè)課程中的支撐作用。

3.3 課后階段

學(xué)數(shù)學(xué)就要做數(shù)學(xué)，離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也不例外。雖然數(shù)學(xué)題目數(shù)量繁多，但是只要進(jìn)行合理的分類和歸納，掌握重要的做題思路和方法，學(xué)習(xí)起來就會(huì)事半功倍。教師要根據(jù)學(xué)生的掌握程度，布置針對(duì)不同知識(shí)點(diǎn)的課外作業(yè)，使學(xué)生對(duì)不同類型的題目進(jìn)行強(qiáng)化，如關(guān)系閉包一節(jié)中，利用Warshall 算法求傳遞閉包比較難于理解，除了上課重點(diǎn)講解以外，還要求學(xué)生課下分小組上機(jī)編程實(shí)現(xiàn)此算法，增強(qiáng)學(xué)生的實(shí)際動(dòng)手能力；同時(shí)，學(xué)生獨(dú)立完成線上作業(yè)并提交，檢查自己的學(xué)習(xí)效果，對(duì)知識(shí)點(diǎn)薄弱環(huán)節(jié)，教師可通過APP 進(jìn)行答疑解惑，促進(jìn)學(xué)生對(duì)本章知識(shí)的不斷內(nèi)化和吸收。本章結(jié)束時(shí)，教師進(jìn)行階段性測(cè)試，并對(duì)教學(xué)過程中的教學(xué)反饋形成小結(jié)，為下章教學(xué)提供調(diào)整依據(jù)。

4 實(shí)踐效果

采用藍(lán)墨云移動(dòng)學(xué)習(xí)平臺(tái)，學(xué)生的整個(gè)學(xué)習(xí)過程均有數(shù)據(jù)記載，教師根據(jù)學(xué)生各類活動(dòng)取得的經(jīng)驗(yàn)值，按權(quán)重折合成平時(shí)成績(jī)或過程考核成績(jī)，并計(jì)入期末總評(píng)，體現(xiàn)了以人為本的理念，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生成績(jī)的多維度過程性評(píng)價(jià)。移動(dòng)學(xué)習(xí)下試卷成績(jī)和綜合成績(jī)分布見表2。

通過表2 的對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，在使用移動(dòng)學(xué)習(xí)的教學(xué)模式下，低分段學(xué)生人數(shù)明顯下降。主要原因是部分學(xué)生較好地完成了課程任務(wù)，具有較好的動(dòng)手能力，呈現(xiàn)好的激勵(lì)值，分?jǐn)?shù)自然提高。

在試卷難度相當(dāng)?shù)那闆r下，近4 年來在不同教學(xué)模式下學(xué)生綜合成績(jī)分布情況見表3。

從表3 中可以發(fā)現(xiàn)，在使用移動(dòng)學(xué)習(xí)的翻轉(zhuǎn)課堂模式下，優(yōu)秀和良好的學(xué)生比例明顯增加，同時(shí)，不及格率較之前也下降了將近一半，平均分也上升了7～10 分，學(xué)生整體成績(jī)有了較大的提升。移動(dòng)教學(xué)平臺(tái)減輕了教師的授課負(fù)擔(dān)，帶動(dòng)了線上線下的學(xué)習(xí)氣氛，給予學(xué)生更多自主學(xué)習(xí)的可能性。

表2 移動(dòng)學(xué)習(xí)下試卷成績(jī)和綜合成績(jī)分布

表3 歷年綜合成績(jī)分布對(duì)比

5 結(jié) 語

移動(dòng)平臺(tái)的引入為實(shí)現(xiàn)教學(xué)資源的共享提供了保障。平臺(tái)的信息推送功能增強(qiáng)了師生雙邊互動(dòng)，使得教師動(dòng)態(tài)地掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。移動(dòng)軟件的強(qiáng)大功能增添了課堂的趣味性，使原本枯燥和繁雜的數(shù)學(xué)課堂變得生動(dòng)活潑。在該模式下，教學(xué)結(jié)構(gòu)更加豐富，學(xué)生學(xué)習(xí)靈活性更強(qiáng)，教學(xué)效果良好。未來，我們將進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生動(dòng)手編程能力和科學(xué)思維的培養(yǎng)。