一種兩步式相關(guān)極值重力匹配算法

蔡體菁，魏琪鷺，王新宇

(1. 東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 210096；2. 中國電子科技集團公司第二十六研究所，重慶 400060)

0 引言

重力輔助慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(GAINS)使用重力異?；蛑亓μ荻戎底鳛檩o助信息來校正慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(INS)隨時間累積的定位誤差，并補償陀螺儀和加速度的漂移誤差。GAINS具有自主性高，隱蔽性好，定位精度高，抗干擾能力強等優(yōu)點。因此，在海洋和航空航天領(lǐng)域GAINS應(yīng)用較廣[1-2]。

重力匹配算法是GAINS的關(guān)鍵技術(shù)，關(guān)鍵在于結(jié)合重力和INS指示航跡兩方面的信息得到精確的位置結(jié)果。通過比較重力測量值序列和重力異常圖中序列的相似性，得到最優(yōu)匹配結(jié)果。其中針對重力數(shù)據(jù)的處理方法主要有相關(guān)極值分析[3-4]、圖像配準(zhǔn)、擴展卡爾曼濾波[5-7]、粒子濾波[8-10]、地形輪廓匹配(TERCOM)[11-14]、迭代最近等值點(ICCP)[15-17]和直線段匹配[18]等。

本文提出了一種基于相關(guān)極值分析的兩步式重力匹配算法。匹配算法的核心是基于相關(guān)極值算法的差分目標(biāo)函數(shù)。首先通過均方差相關(guān)算法(MSD)快速粗匹配得到剛性變換的目標(biāo)位置，并通過剛性變換將INS軌跡變換到真實軌跡附近；然后精確MSD匹配，通過篩選重力等值點和根據(jù)匹配約束條件搜索匹配線段，依據(jù)貪心算法得到最佳匹配軌跡，即為兩步式匹配算法的最終結(jié)果。

1 基于MSD的差分相關(guān)目標(biāo)函數(shù)模型

常用相關(guān)分析匹配算法包括交叉相關(guān)(COR)算法、平均絕對離差相關(guān)(MAD)算法和均方差相關(guān)(MSD)算法[4,19]。一般MSD算法性能最優(yōu)，因此,重力觀測序列與重力異常圖提取序列間基于MSD構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)J(λk,φk)為

(1)

運載體上測得的重力為地球引力與在慣性系下運載體隨地球自轉(zhuǎn)時產(chǎn)生離心力的合力，受運載體速度及其所在緯度的影響很大，即厄特弗斯效應(yīng)。設(shè)vEi和vNi為i時刻載體的東向和北向速度，φi為載體當(dāng)?shù)鼐暥?，R為地球半徑，載體在該點的厄特弗斯改正計算式為

(2)

由于INS誤差隨時間增加而積累，運載體速度和緯度誤差會隨之增大，重力異常改正結(jié)果的誤差也會隨之增大，最終產(chǎn)生重力匹配的虛假定位。針對減小厄特弗斯效應(yīng)的影響，對式(1)采用差分思想改進，以前、后2個連續(xù)的重力異常測量值之差為新的觀測量[19-20]，可在消除厄特弗斯效應(yīng)影響的同時，消除重力測量系統(tǒng)誤差的影響，該差分匹配目標(biāo)函數(shù)為

(3)

2 快速MSD匹配方法和剛性變換

2.1 快速MSD匹配方法

為了縮小搜索范圍，各INS航跡點的重力等值點搜索區(qū)域由INS漂移范圍(一般由瑞利分布確定)確定。為減少計算量，基于INS漂移范圍，各點均選取相同且合適的固定搜索區(qū)域∑，使真實航跡點包含在∑中。為簡化搜索過程和適用于網(wǎng)格化的重力異常圖，假設(shè)∑是該INS指示位置所在網(wǎng)格上、下、左、右M個網(wǎng)格的范圍內(nèi)，共計S=(2M+1)2個網(wǎng)格區(qū)域。

快速MSD匹配方法以N個重力異常測量點為一組，構(gòu)成一個匹配序列，從第N個點開始匹配。把匹配序列各時刻對應(yīng)的INS指示位置的搜索區(qū)域∑中第i個網(wǎng)格點提取出一條匹配曲線Bi。依據(jù)式(3)可從S條匹配曲線中得到一個最優(yōu)的匹配結(jié)果Bk。由于INS在短時間內(nèi)具有較高的精度，可用Bk近似對應(yīng)的真實軌跡，因此,選取Bk的終點作為一個匹配結(jié)果[21]。

由于一次匹配只比較有限的S個序列的目標(biāo)函數(shù)，該方法可快速得到一個粗略的匹配結(jié)果，但該方法受限于INS誤差累積不能過多，否則在一定時間積累后，INS軌跡和真實軌跡形狀和方向差異過大，會使匹配出現(xiàn)很大誤差。因此，從該方法得到的結(jié)果中提取合理的匹配結(jié)果，可作為接下來精確匹配的基準(zhǔn)位置。

2.2 提取合適匹配點

快速MSD匹配結(jié)果的單點誤差可以分為兩種情況，一種是匹配結(jié)果誤差小于一定值，如在實驗中設(shè)定誤差小于0.05°，另一種是匹配結(jié)果與真實結(jié)果相差遠。考慮到INS在較短時間內(nèi)相對漂移很小，相鄰連續(xù)2個真實位置的間距和角度與相應(yīng)慣性導(dǎo)航輸出點距離和角度應(yīng)該近似相等或相差很小[4]，引入約束條件：

(4)

(5)

式中:(xt,yt)、(xt+1,yt+1)分別為前、后連續(xù)2個相鄰時刻的坐標(biāo)，均在相應(yīng)置信區(qū)間內(nèi)；ε1、ε2為接近于0的誤差；αINS為INS輸出的位移角度；LINS為INS輸出的位移距離。

由于快速MSD匹配方法是粗匹配，故將ε1和ε2約束放寬。當(dāng)遇到不滿足約束條件的匹配點時，將該點記為不滿足點，否則為滿足點，當(dāng)用約束條件判斷下一個點時，不使用它前一個不滿足點，而使用最近的一個滿足點進行判斷。這種方法提取的滿足點是快速MSD匹配的合理匹配結(jié)果。

2.3 剛性變換

利用剛性變換將INS指示航跡變換到真實航跡處，則INS指示航跡形狀與真實航跡形狀相同，故INS相對誤差都保留。

(6)

圖1 一般剛性變換

如圖2所示，將快速MSD匹配方法提取的合格匹配點擬合得到線段l1，相對應(yīng)的INS軌跡點也擬合得到線段l2，可計算出兩條直線的位置和角度關(guān)系，由此確定剛性變化中整體平移(Δx,Δy)和旋轉(zhuǎn)Δθ。然后利用式(6)的剛性變化，將INS軌跡變換到MSD軌跡指示的新待匹配位置，此時該剛性變換后的INS軌跡距離真實軌跡較近，成為新的待匹配軌跡，為下面的精確匹配方法縮小了搜索等值點的范圍，減少了搜索時間。

圖2 基于快速MSD方法的航跡剛性變換

3 精確匹配算法

當(dāng)航行時間較短或初始位置誤差較小時，搜索區(qū)域較小，可較快地通過等值點搜索到合適的匹配線段。而當(dāng)航行時間較長或初始位置誤差較大時，搜索區(qū)域過大，直接通過等值點搜索匹配線段搜索到的等值點過多，匹配耗費時間過長，影響算法效率和實時性。因此，將快速MSD結(jié)果作剛性變換基準(zhǔn)得到的線段作為新的待匹配航跡，根據(jù)之前時刻的位置誤差和INS漂移誤差得到新的置信區(qū)間，然后重新搜索等值點和匹配線段。因為剛性變換產(chǎn)生的新航跡與原始INS指示航跡相同，所以使用新航跡作為等值點匹配方法的被匹配航跡并無影響。同時由于新置信區(qū)間比舊搜索區(qū)域小，搜索到的等值點數(shù)少很多，可避免大量誤匹配等值點和誤匹配等值線段，提高算法效率和實時性。

3.1 搜索等值點

3.2 搜索匹配線段

只對待匹配軌跡的第1個位置的搜索區(qū)域∑2遍歷搜索，搜索重力等值點作為匹配線段搜索起點，其他位置通過搜索線段的方式搜索。由于第2節(jié)中剛性變換縮小了搜索范圍，新搜索區(qū)域∑2遠小于第2節(jié)的搜索區(qū)域∑。

搜索線段的方法是，在已有第L層線段起點Pf的情況下，利用待匹配軌跡對應(yīng)的相鄰點間距離關(guān)系，可得線段的終點Pb，又基于式(4)、(5)，將Pb附近一定范圍內(nèi)的點都視為線段的可能終點。

從多個可能終點中篩選出匹配線段終點的方法是，先檢查各可能終點是否為重力等值點，然后計算線段前、后兩點的重力差分誤差平方值，作為該匹配線段的代價。該差分誤差為式(3)差分誤差平方和的一個組成部分。因此，通過下式設(shè)定的閾值判斷是否保留該可能終點，舍棄差分誤差過大的終點。

(7)

其中閾值δ2由重力傳感器系統(tǒng)誤差和厄特弗斯效應(yīng)決定

3.3 連接等值線段和搜索最小路徑

連接相鄰層間的匹配線段，并基于貪心算法思想，通過記錄和更新當(dāng)前路徑代價和，使每個節(jié)點僅記錄從第一層節(jié)點到該節(jié)點最小路徑中的該節(jié)點前一節(jié)點位置，舍棄其他非最小路徑。

當(dāng)線段連接完成后，在最后一層尋找最小的當(dāng)前路徑代價和，然后利用該節(jié)點存儲的該路徑前一節(jié)點，逐層尋找直到第一層，最后可得精確匹配結(jié)果。

4 兩步式匹配方法效果

將已有重力圖利用克里金插值方法細化為0.001°×0.001°的網(wǎng)格。運動軌跡和INS導(dǎo)航軌跡均由仿真生成。INS參數(shù)設(shè)定為加速度計逐次啟動漂移,即5×10-5g(g=9.780 369 8 m/s2)，激光陀螺隨機漂移為0.01 (°)/h，初始位置誤差大于0.5°，初始角度誤差為5°。運載體航行速度為15 m/s，每120 s選取1個重力采樣點，采集20個采樣點進行匹配，選擇3條航向角ψ分別為0°、90°、-45°，經(jīng)過重力適配區(qū)的真實航跡如圖3～5所示。

圖3 航向角為0°的匹配結(jié)果

圖4 航向角為90°的匹配結(jié)果

圖5 航向角為45°的匹配結(jié)果

快速MSD匹配算法匹配10個點耗時15～20 s，基于快速MSD匹配結(jié)果的剛性變換耗時0.01～0.02 s，且剛性變換結(jié)果的誤差小于0.05°，故在此基礎(chǔ)上，設(shè)定0.1°×0.1°等值點搜索范圍，使用合適的搜索范圍，可在地圖適合匹配的情況下較快地得到精確匹配結(jié)果，匹配結(jié)果如圖6～8和表1所示，可精確到500 m內(nèi)，且比單純快速MSD匹配結(jié)果更優(yōu)。而如果地圖不適合匹配，花費較多時間也能得到理想結(jié)果。

圖6 航向角為0°的單點匹配誤差

圖7 航向角為90°的單點匹配誤差

圖8 航向角為-45°的單點匹配誤差

匹配誤差/m航向角為0°航向角為90°航向角為-45°快速MSD均值926.820 6813.245 9758.311 1MSD284.249 7313.232 9284.628 2兩步式均值324.778 3372.047 6386.564 7MSD258.479 9158.810 5300.422 6

5 結(jié)論

1) 快速MSD法可快速得到匹配結(jié)果，但當(dāng)匹配條件不理想時，如INS軌跡誤差稍大或?qū)Ш浇嵌日`差存在或航行區(qū)域粗糙度不足，快速MSD結(jié)果可能有很大的誤差。

2) 精確匹配算法需選擇一個合理搜索范圍，搜索區(qū)域小時搜索時間短，如果搜索區(qū)域過大，搜索時間爆發(fā)式增長，還可能造成誤匹配的情況。

3) 使用剛性變換將兩種方法結(jié)合在一起，由于剛性變換法保留原始INS軌道的形狀特征，不影響精確匹配的約束條件，匹配結(jié)果的精度無改變。在這種情況下，較小的搜索區(qū)域會減少大量誤匹配的等值點和等值線段。兩步式匹配法可在保證匹配精度的情況下用相對較小的時間完成大范圍搜索，且能適應(yīng)INS初始位置誤差較大和導(dǎo)航角度誤差存在的情況。

4) 實際應(yīng)用中，只有航跡在一個粗糙度足夠的重力適配區(qū)內(nèi)時，才可以使用基于相關(guān)極值的重力匹配算法，否則有可能產(chǎn)生誤匹配的情況。

5) 兩步式算法也存在局限性，此方法更適用于大初始位置誤差的情況，如果已知初始位置誤差較小，直接使用精確匹配算法速度更快，更具實時性。