復(fù)雜加載狀態(tài)下的剪切本構(gòu)關(guān)系

崔 崧, 呂 嫣, 李惠玲,3

(1. 沈陽師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 沈陽 110034; 2. 沈陽師范大學(xué) 遼寧省射線儀器儀表工程技術(shù)研究中心, 沈陽 110034; 3. 電子科技大學(xué) 物理學(xué)院, 成都 611731)

0 引 言

脆性材料在受到外載荷作用時表現(xiàn)出的復(fù)雜力學(xué)行為問題,可以用損傷力學(xué)理論來研究和解決,材料宏觀的力學(xué)響應(yīng)必然與其內(nèi)部的微缺陷的存在狀態(tài)和演化方式有關(guān),所以損傷力學(xué)的研究方法有宏觀[1-4]和細觀[5-8]之分,而將宏觀與細觀方法相結(jié)合的嘗試是許多學(xué)者的研究方向。

裂紋面在受到壓剪載荷作用時,上下裂紋面之間可能發(fā)生摩擦滑動[9-11],對材料的剪切性能造成較大的影響,而是否發(fā)生滑動,取決于裂紋面間的最大摩擦力和裂紋面間的正應(yīng)力。研究脆性材料在復(fù)雜應(yīng)力條件下的剪切行為,分析裂紋面間的最大摩擦力和正應(yīng)力是問題的關(guān)鍵。

1 裂紋張開時的剪切本構(gòu)關(guān)系

考慮一個遠端僅受均勻剪力q作用的無限大薄板,如圖1所示,薄板中央有一長為2a的裂隙。建立一個坐標(biāo)系o-xy,原點在裂紋中點處,x軸沿裂紋方向。從薄板上截取一個代表性單元,裂隙位于單元中央,單元寬度和高度分別為2l和2h,如圖2所示。

圖1 遠端受均勻剪切載荷的薄板Fig.1 Plate under remote shear

圖2 中心含裂紋的單元體Fig.2 Element with crack in the center

此平面應(yīng)力問題的薄板上各點的位移可利用式[12]

(1)

求出,其中,u和v分別為沿x、y軸方向的位移分量,E和μ分別為材料的楊氏模量和泊松比。

在圖1的加載條件下,裂紋為張開狀態(tài),式(1)中的復(fù)變函數(shù)表達式分別為

(2)

利用式(1)和(2),可以求出單元體邊界y=h上的位移u(x,h)和x=l上的位移v(l,y),由式

可求出2個邊界處的平均位移,進一步得到代表性單元的總體剪應(yīng)變

還可求出單元體在裂紋面所在截面y=0上的位移u(x,0)和x=0截面上的位移v(0,y),并得到平均位移

代表性單元的基體剪應(yīng)變?yōu)?/p>

τ12=G(1-ω12)γ12

圖隨a/l變化的關(guān)系曲線

圖4 ω12隨a/l變化的關(guān)系曲線Fig.4 ω12-a/l relation cueve

2 雙軸壓力下的剪切本構(gòu)關(guān)系

假設(shè)圖1中的無限大薄板遠端受均勻剪力為q3,除此之外,遠端在沿x、y軸方向分別承受均布壓力q1和q2,如圖5所示,按照與前面同樣的方式從薄板中截取一代表性單元,如圖2所示。

圖5 遠端受復(fù)雜載荷的薄板Fig.5 Plate under remote complex loads

(3)

由式(3)和式(1),按照上一節(jié)所用的平均化方法,可分別得到代表性單元的總體剪應(yīng)變和基體剪應(yīng)變?yōu)?/p>

(4)

圖6 q1變化對曲線的影響Fig.6 Influence of q1 on relation cueve

圖7 q2變化對曲線的影響Fig.7 Influence of q2 on relation cueve

3 結(jié) 論

利用彈性力學(xué)理論中的復(fù)變函數(shù)解法,分析了復(fù)雜載荷作用下的研究對象的位移場,并根據(jù)平均化等方法,得到了對應(yīng)的代表性單元的剪切損傷本構(gòu)關(guān)系,計算結(jié)果表明,裂紋面間正應(yīng)力和摩擦力對剪切本構(gòu)關(guān)系、剪切損傷變量有著一定程度的影響。該方法雖然研究的是一個代表性單元,但是結(jié)論可推廣用于分析脆性材料和結(jié)構(gòu)內(nèi)部含任意分布裂紋情況下的剪切損傷本構(gòu)關(guān)系。