坐標(biāo)系與參數(shù)方程解題策略

秦坤超 第一中學(xué) 河北省衡水市

一、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的互化

對于極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化而言，直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)方程比較容易，只需將公式x=ρcosθ，y=ρsinθ直接代入并化簡即可；而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程則相對困難一些，解此類問題，常用方法有代入法、平方法等，還經(jīng)常會用到同乘(或除以)ρ等技巧.

在將曲線的參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，不僅僅是把其中的參數(shù)消去，還要注意 x、y 的取值范圍，同時(shí)在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價(jià)性.常見的消參數(shù)法有：代入消元(拋物線的參數(shù)方程)、加減消元(直線的參數(shù)方程)、平方后再加減消元(圓、橢圓的參數(shù)方程)等.而對于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，經(jīng)常使用的公式為sin2α＋cos2α＝1.在將曲線的參數(shù)方程化為普通方程的過程中，一定要注意參數(shù)的范圍，確保普通方程與參數(shù)方程等價(jià)，否則很容易因?yàn)楹雎詤?shù)方程中的某些限制條件而失誤.

應(yīng)該注意的是，極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程之間不能直接互化，必須以普通方程為橋梁，即將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程再轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，或?qū)?shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，要注意普通方程與參數(shù)方程的等價(jià)性.

【例1】已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，則曲線C的參數(shù)方程為___________.

【解析】由 ρ＝ 2cos θ知，ρ2 ＝ 2ρcos θ

二、參數(shù)方程的應(yīng)用

三、極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用

求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟為：(1)建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)P(ρ，θ)是曲線上任意一點(diǎn)；(2)由曲線上的點(diǎn)所適合的條件，列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑ρ和極角θ之間的關(guān)系式；(3)將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡，得出曲線的極坐標(biāo)方程.

由直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，其方法就是把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入方程，根據(jù)三角函數(shù)公式整理．

【例3】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x＝-2，圓C2：(x-1)＋(y-2)＝1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

【解析】：(1)因?yàn)?x＝ ρcosθ，y＝ ρsinθ，所以 C1的極坐標(biāo)方程為 ρcosθ＝-2，

C2的極坐標(biāo)方程為 ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ＋ 4 ＝ 0.