加速度法與大剛度法探究分析

韓靜濤

摘 要：隨著高速鐵路橋梁占客運(yùn)專線比例的增加，地震發(fā)生時列車過橋概率隨之變大；而大跨度斜拉橋近年來在我國得到迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，其抗震性能一直受到工程界的普遍關(guān)注。本文采用大型有限元軟件ANSYS，運(yùn)用APDL語言進(jìn)行編程，建立框架模型，根據(jù)加速度法和大剛度法的機(jī)理，對比是否存在差異。

關(guān)鍵詞：大剛度法；加速度法；行波效應(yīng)

1. 大剛度法現(xiàn)狀

現(xiàn)如今，大跨度橋梁結(jié)構(gòu)在地震作用下的響應(yīng)分析方法種類很多，主要包括確定性的和非確定性的兩部分，其中在確定性和非確定性響應(yīng)分析的基礎(chǔ)上，又可以分為時程分析法和頻域分析法及相應(yīng)的簡化方法，除此之外還有一些近似分析方法。采用不同的分析方法，其地震波輸入方式也就不同。而時程分析法是一種重要的分析方法，它是通過直接動力分析可得到結(jié)構(gòu)隨時間的相應(yīng)變化，能夠真實地反應(yīng)結(jié)構(gòu)地震隨時間相應(yīng)變化的全過程。本章將著重研究斜拉橋一致激勵和多點(diǎn)激勵非線性地震反應(yīng)時程分析。此外，大剛度法的求解精度和適用性問題也存在一些爭議，例如 Chen J T ， Hong H-K 等[1]基于瑞利阻尼的 Bernoulli-Euler 梁遭受支座非一致擾動的動力學(xué)模型，給出了大剛度法與傳統(tǒng)方法結(jié)果的對比，從它給出的結(jié)果可以看出，大剛度法與理論值存在一定的偏差。即便如此，董益亮等[2]仍通過大剛度法在結(jié)構(gòu)分析中仍取得了一些研究成果。

2.運(yùn)動方程建立

2.1 一致激勵運(yùn)動方程（加速度法）

在地震作用下，多自由度體系一般運(yùn)動微分方程為[3]：

（2-1）

在一致激勵作用下，橋梁結(jié)構(gòu)各點(diǎn)輸入同相位的同一加速度時程，可以用以下式子來表示：

（2-2）

采用式（2-2）求解時成為加速度法，即一致激勵，在有限元軟件ANSYS中，通過ACEL命令就可以實現(xiàn)加速度一致激勵，可適用于線性分析和非線性分析。

2.2 多點(diǎn)激勵運(yùn)動方程（大剛度法）

在多點(diǎn)激勵作用下，橋梁結(jié)構(gòu)除了受到地震動引起的慣性力外，還包括各支撐相對位移在結(jié)構(gòu)構(gòu)件間產(chǎn)生的內(nèi)力——擬靜力。擬靜力是一種隨時間變化，卻能使結(jié)構(gòu)保持平衡的靜內(nèi)力。基于此，1969年 Dibaj 和 Penzien[4]在分析土壩地震反應(yīng)時，將結(jié)構(gòu)反應(yīng)的總位移分解為擬靜力位移和動力相對位移兩部分，推導(dǎo)出了多點(diǎn)激勵作用下結(jié)構(gòu)的運(yùn)動方程。其基本求解思路是：先用靜力法求得結(jié)構(gòu)擬靜力位移，然后將擬靜力位移回代入原方程以求出結(jié)構(gòu)動力相對位移，最后求出結(jié)構(gòu)的總位移[5]。

如圖2-2所示，采用大剛度法求解結(jié)構(gòu)的非一致地震響應(yīng)時，首先需釋放沿地震波輸入方向的約束自由度，并在該自由度方向增設(shè)不動點(diǎn)（如圖2-1中的1和2），不動點(diǎn)只與原支座節(jié)點(diǎn)發(fā)生聯(lián)系，在各不動點(diǎn)與原支座節(jié)點(diǎn)之間增設(shè)聯(lián)系剛度K（此剛度為大剛度，一般為全橋剛度的106左右為宜）。通過在原支撐節(jié)點(diǎn)1和2上沿地震波輸入方向分別施加等效節(jié)點(diǎn)荷載 P1=Kx1和 P2=Kx2 來模擬地震地面運(yùn)動，其結(jié)構(gòu)非一致地震響應(yīng)的運(yùn)動方程可表達(dá)為：

（2-3）

將式（2-3）第二行展開得：

（2-4）

兩邊同時乘以 可得：

（2-5）

將阻尼矩陣通過Rayleigh阻尼模型替換，同時由于K0的值遠(yuǎn)大于其它項，則公式（2-5）可以簡化為：

（2-6）

而本文采用大剛度法求解時，采用自編程序，忽略了支撐點(diǎn)處的大剛度項，消除采用大剛度法時Rayleigh阻尼模型所帶來的附加阻尼，此時

Cbb=αMbb+βKbb （2-7）

由于K0的值遠(yuǎn)大于Mbb和Kbb，將式（2-7）帶入式（2-6），此時可得：

xb （t）≈xg （t） （2-8）

因此可以看出，本文自編程序可確保輸入地震動位移的精度。采用大剛度法求解時只需輸入地震動位移時程，即可求出橋梁所需位置的響應(yīng)。本文所涉及的大剛度法中，大剛度的取值為全橋剛度值擴(kuò)大10的6次方倍。

大剛度法在考慮行波效應(yīng)與否的情況下，對于橋梁結(jié)構(gòu)來說，主要存在的差異表現(xiàn)在哪些方面，需要通過一系列求解數(shù)據(jù)來分析得到，本節(jié)將選用 El-centro 波作為地震波激勵源，該地震波是世界上第一條成功記錄全過程數(shù)據(jù)的地震波，最大加速度超過300Gal的強(qiáng)震記錄，其加速度、速度以及位移時程如圖2-8～2-10所示。為探討大剛度法考慮行波效應(yīng)與未考慮行波效應(yīng)所存在的問題，建立多自由度框架模型如圖2-12和2-13所示，每個節(jié)點(diǎn)質(zhì)量為40kg，框架長400m，100m，剛度k=3×104N/m ，采用 Rayleigh 阻尼模型確定系統(tǒng)的阻尼矩陣，結(jié)構(gòu)阻尼比為0.05。

本文采用自編程序求解，在相同地震作用下，對比大剛度法在是否考慮行波效應(yīng)的工況下，可能直接導(dǎo)致計算得到的多自由度框架體系的節(jié)點(diǎn)位移、速度和加速度出現(xiàn)差異。支座部分仍按上文所述，在三向地震作用下，取消三向約束，以大剛度（大剛度為原結(jié)構(gòu)剛度的10的6次方倍）彈簧取代，框架長400m，所選的臺站 Array #9 的 El-centro 波的剪切波速為213.44m/sec，時域積分步長為0.01sec，考慮行波效應(yīng)的時差t為1.874sec，地震記錄點(diǎn)位差為188個。

在輸入如圖2-10的地震波位移時程，在大剛度法模型中，考慮兩種工況：工況一，未考慮行波效應(yīng)，圖中表示為case1，工況二，考慮行波效應(yīng)，圖中表示為case2，兩者之間的差值表示為error，求解得到節(jié)點(diǎn)2，節(jié)點(diǎn)4的位移、速度、加速度的時程對比曲線，如圖2-13～2-18所示。

3. 結(jié)論

從圖中可以看出，大剛度法行波效應(yīng)在多自由度框架體系的邊部節(jié)點(diǎn)2處y、z方向的位移、速度、加速度響應(yīng)呈現(xiàn)出一定的滯后效應(yīng)，但是并不明顯，但在x方向的變化差異較大，這表明行波效應(yīng)對于大跨度結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)確實存在著不可忽視的影響。而在跨中節(jié)點(diǎn)4處，兩種工況下，位移、速度、加速度相應(yīng)位置的值變化差異都很大，但是，圖形的走勢基本相同，這表明行波效應(yīng)對于大跨度結(jié)構(gòu)跨中區(qū)域來說，相當(dāng)于延長了結(jié)構(gòu)某些相應(yīng)的周期。

4. 參考文獻(xiàn)

[1] Chen J T， Hong H-K， Yeh C S. Integral representations and regularizations foe a divergent series solution of a beam subjected to support motions[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics， 1996， 25（9）： 909-925.

[2] 董益亮， 郭鋼， 徐宗俊. 道路激勵作用下的汽車后橋動力響應(yīng)分析[J]. 汽車工程， 2002， 24（4）： 339-343.

[3] 范立礎(chǔ). 橋梁抗震[M]. 上海： 同濟(jì)大學(xué)出版社， 1997.

[4] Dibaj M， Penzien J. Response of earth dams to traveling seismic waves[J]. J. Soil Mech. & Found. Div， 1969.

[5] 雷虎軍. 非一致地震激勵下列車—軌道—橋梁耦合振動及行車安全性研究[D]. 四川： 西南交通大學(xué)博士學(xué)位論文， 2010.

基金項目：江蘇省揚(yáng)州大學(xué)研究生科研與實踐創(chuàng)新計劃項目（XSJCX17_024）