多環(huán)鏈的Hosoya多項(xiàng)式

馬麗 蘇苗苗 苗蕓

摘要：本文主要給出三種特殊的螺旋六角鏈和三種特殊的多聯(lián)苯鏈的Hosoya多項(xiàng)式的遞推公式，解析表達(dá)式以及與其相關(guān)的拓?fù)渲笜?biāo)的結(jié)果.

關(guān)鍵詞：Hosoya 多項(xiàng)式；螺旋六角鏈；多聯(lián)苯鏈

1 緒論

1988年，Hosoya在其開創(chuàng)性論文[1]中首次提及到一個(gè)圖的Hosoya多項(xiàng)式，也被稱作“Wiener多項(xiàng)式”。之后，漸漸地得到了許多研究者的大量關(guān)注。當(dāng)然某些研究者，如Sagan，Yeh和Zhang[2]繼續(xù)以原來的名字稱呼它，但后來提出的名字“Wiener多項(xiàng)式”被現(xiàn)在的絕大多數(shù)的研究者所使用。1998年，E.Estrada等人研究了Hosoya多項(xiàng)式在化學(xué)中的應(yīng)用，體現(xiàn)出Hosoya多項(xiàng)式的主要優(yōu)點(diǎn)是它包含了有關(guān)圖形不變距離的豐富的信息。例如，如果知道一個(gè)圖的Hosoya多項(xiàng)式，便可直接確定一個(gè)圖的Wiener指標(biāo)，也就是Hosoya多項(xiàng)式在點(diǎn)x=1的一階導(dǎo)數(shù)的取值。相繼地，便可得到圖G的HyperWiener指標(biāo)WW（G）等于x倍的Hosoya多項(xiàng)式對變量x求二階導(dǎo)數(shù)后在x=1點(diǎn)取值的二的階乘分之一，而圖G的TratchStankevitchZefirov 指標(biāo)TSZ（G）恰等于x2倍的Hosoya多項(xiàng)式對變量x求三階導(dǎo)數(shù)后在x=1點(diǎn)取值的三的階乘分之一。與迄今為止所提出的有關(guān)距離的拓?fù)渲笜?biāo)相比，Hosoya多項(xiàng)式包含著有關(guān)圖的距離的更豐富的信息。因此，Hosoya多項(xiàng)式和它的一些推導(dǎo)性質(zhì)在QSPR和QSAR的研究領(lǐng)域中扮演著重要的角色，有著豐富的理論研究和計(jì)算方面的成果。

近年來，已有許多各類化學(xué)圖的Hosoya 多項(xiàng)式的重要結(jié)果，如2001年，Dragan 計(jì)算了復(fù)合圖的Hosoya 多項(xiàng)式；2008年，S.Xu 和H.Zhang 分別給出了六角鏈和苯環(huán)鏈的Hosoya 多項(xiàng)式；2014年，E.Deutsch等人給出了distanceregular圖的Hosoya 多項(xiàng)式；2016年，S.Xu 刻畫了隨機(jī)六角連的Hosoya 多項(xiàng)式。對于其他圖類的Hosoya多項(xiàng)式相關(guān)結(jié)果，讀者可以閱讀文獻(xiàn)。這里我們用了不同于文章的方法考慮了三種特殊螺旋六角鏈和三種特殊多聯(lián)苯鏈的Hosoya 多項(xiàng)式，隨后又給出了與其相關(guān)的其他指標(biāo)的確切表達(dá)式。

2 主要結(jié)果

2.1 預(yù)備知識

本文中我們僅考慮簡單的、連通的、有限的圖。V（G）是圖G的點(diǎn)集，E（G）是圖G的邊集，dG（u，v）代表點(diǎn)集V（G）中兩個(gè)不同點(diǎn)u和v的最短距離，dG（u）代表點(diǎn)u在圖G中的度。

定義2.1.1 螺環(huán)化合物是有機(jī)化學(xué)中一類重要的環(huán)烷烴，它僅有六元環(huán)（六邊形）組成.若每兩個(gè)六元環(huán)（六邊形）僅有唯一的點(diǎn)使其連接在一起，則我們稱為螺旋六角鏈。一個(gè)包含n個(gè)六邊形的螺旋六角鏈可以看作一個(gè)螺旋六角鏈SPCn。

定義2.1.2 多聯(lián)苯的分子圖把其稱為多聯(lián)苯系統(tǒng)。如果多聯(lián)苯系統(tǒng)的任意一點(diǎn)都在六元環(huán)（六邊形）上且每個(gè)六元環(huán)（六邊形）縮成一個(gè)點(diǎn)所得到的圖是一條路，則我們稱為多聯(lián)苯鏈。一個(gè)包含n個(gè)六邊形的多聯(lián)苯鏈可以看作一個(gè)多聯(lián)苯鏈PPCn。

定義2.1.3 在多環(huán)鏈中的六邊形的個(gè)數(shù)稱為該鏈的長度。

定義2.1.4 圖G的Hosoya多項(xiàng)式為H（G）=∑u，vV（G）xdG（u，v）。

定義2.1.5 圖G的Wiener指標(biāo)為

W（G）=12∑nr=1d（vrG）=ddxH（G，x）x=1，

其中d（vrG）是圖G中點(diǎn)vr的Wiener數(shù)，即d（vrG）=∑ns=1d（vr，vs）。

定義2.1.6 圖G的HyperWiener指標(biāo)為

WW（G）=12W（G）+12∑u，vV（G）d2（u，v）=12！d2dx2xH（G，x）|x=1。

定義2.1.7 圖G的TratchStankevitchZefirov指標(biāo)為

TSZ（G）=13！d3dx3x2H（G，x）x=1。

2.2 特殊螺旋六角鏈的Hosoya多項(xiàng)式

這部分我們將會給出三種特殊螺旋六角鏈On，Mn，Pn的Hosoya多項(xiàng)式以及一些簡單的結(jié)論。

我們用Rn表示所有長度為n的螺旋六角鏈。設(shè)G（n）=B1B2…Bn∈R（n），其中Bk是G（n）中第k個(gè)六邊形，并且設(shè)ck是Bk和Bk+1的螺旋連接點(diǎn)，k=1，2，…，n-1。然而長度為n-1的序列（c1，c2，…，cn-1）被稱為G（n）的螺旋點(diǎn)序列。若螺旋連接點(diǎn)ci和螺旋連接點(diǎn)ci+1的距離分別為1，2和3（i=1，2，…，n-1），則分別稱G（n）為螺旋ortho鏈，螺旋meta鏈，螺旋para鏈（如圖1所示）。所以依次用On，Mn，Pn分別表示長度為n的螺旋ortho鏈，螺旋meta鏈，螺旋para鏈。

若u是G（n）的一個(gè)點(diǎn)，那么我們設(shè)H（G（n），u）：=∑v∈V（G（n））xdG（n）（u，v）。

引理2.2.1 如果n1，那么有

H（On，cn）=（1+x+2x2+x3）-（2+2x+x2）xn+11-x；

H（Mn，cn）=（1+2x+x2+x3）-（2+2x+x2）x2n+11-x2；

H（Pn，cn）=（1+2x+2x2）-（2+2x+x2）x3n+11-x3。

證明：如果n=1，結(jié)論顯然成立。

如果n2，以螺旋鄰六角鏈On為例，根據(jù)Hosoya 多項(xiàng)式的定義我們可以得到

H（On，cn）=∑v∈V（On-1）xd（v，cn-1）+∑v∈V（Bn＼cn-1）xd（v，cn-1）

=xH（On-1，cn-1）+（1+x+2x2+x3）；

類似地，我們得出

H（Mn，cn）=x2H（Mn-1，cn-1）+（1+2x+x2+x3）；

H（Pn，cn）=x3H（Pn-1，cn-1）+（1+2x+2x2）。

由上述公式迭代遞推，我們有

H（On，cn）=x（n-1）H（O1，c1）+（1+x+x2+…+xn-2）（1+x+2x2+x3）；

H（Mn，cn）=x2（n-1）H（M1，c1）+（1+x2+x4+…+x2（n-2））（1+2x+x2+x3）；

H（Pn，cn）=x3（n-1）H（P1，c1）+（1+x3+x6+…+x3（n-2））（1+2x+x2）。

注意到H（O1，c1）=H（M1，c1）=H（P1，c1）=1+2x+2x2+x3。

因此，把其代入上述公式可得最終結(jié)果，即

H（On，cn）=（1+x+2x2+x3）-（2+2x+x2）xn+11-x；

H（Mn，cn）=（1+2x+x2+x3）-（2+2x+x2）x2n+11-x2；

H（Pn，cn）=（1+2x+2x2）-（2+2x+x2）x3n+11-x3。

注意到H（O1）=H（M1）=H（P1）=6+6x+6x2+3x3。下面我們將分別給出計(jì)算On，Mn，Pn（n2）的Hosoya多項(xiàng)式的公式。

定理2.2.2 如果n2，那么有

H（On）=6+6x+6x2+3x3+（n-1）（5+x+4x2+5x3+5x4+4x5+x6）1-x-（2+2x+x2）2（1-xn-1）x3（1-x）2；

H（Mn）=6+6x+6x2+3x3+（n-1）（5+6x+5x2+5x3+2x4+x5+x6）1-x2-（2+2x+x2）2（1-x2（n-1））x4（1-x2）2；

H（Pn）=6+6x+6x2+3x3+（n-1）（5+6x+10x2+6x3+2x4-2x5-2x6）1-x3-（2+2x+x2）2（1-x3（n-1））x5（1-x3）2。

證明：以螺旋間六角鏈M（n）為例，我們得到

H（Mn）=

H（Mn-1）+∑u∈V（Mn-1），v∈V（Bn）＼cn-1xd（u，v）+∑u，vV（Bn）＼cn-1xd（u，v）=

H（Mn-1）+∑u∈V（Mn-1）（2xd（u，cn-1）+1+2xd（u，cn-1）+2+xd（u，cn-1）+3）+∑u，vV（Bn）＼cn-1xd（u，v）=

H（Mn-1）+H（Mn-1，cn-1）（2x+2x2+x3）+（5+4x+4x2+2x3），

由上述公式迭代遞推，我們有

H（Mn）=H（M1）+∑nk=2H（Mk-1，cn-1）（2x+2x2+x3）+（n-1）（2x3+4x2+4x+5），

根據(jù)引理2.2.1，我們得到

H（Mk-1，ck-1）=（1+2x+x2+x3）-（2+2x+x2）x2k-11-x2。

把其代入上述公式可得

H（Mn）=（6+6x+6x2+3x3）+（2x+2x2+x3）（n-1）（1+2x+x2+x3）1-x2-（2x+2x2+x3）（2+2x+x2）（x3+x5+x7+…+x2n-1）1-x2+（n-1）（5+4x+4x2+2x3），

重新整理，得出H（Mn）的最終結(jié)論，即

H（Mn）=6+6x+6x2+3x3+（n-1）（5+6x+5x2+5x3+2x4+x5+x6）1-x2-（2+2x+x2）2（1-x2（n-1））x4（1-x2）2。

類似地，我們可以得到H（On）和H（Pn）的最終結(jié)果。

根據(jù)定義2.1.52.1.6及以上定理，通過Matlab軟件進(jìn)行詳細(xì)計(jì)算可以得到以下推論。

推論2.2.3 螺旋ortho鏈On，螺旋meta鏈Mn和螺旋para鏈Pn的Wiener指標(biāo)是

W（On）=256n3+652n2-293n；

W（Mn）=253n3+20n2-43n；

W（Pn）=252n3+152n2+7n。

推論2.2.4 螺旋ortho鏈On，螺旋meta鏈Mn和螺旋para鏈Pn的HyperWiener指標(biāo)是

WW（On）=2524n4+15512n3+154724n2-43712n；

WW（Mn）=256n4+352n3+1736n2-172n；

WW（Pn）=758n4+554n3+298n2+614n。

推論2.2.5 螺旋ortho鏈On，螺旋meta鏈Mn和螺旋para鏈Pn的TSZ指標(biāo)是

TSZ（On）=524n5+154n4+67924n3+4474n2-84n；

TSZ（Mn）=53n5+656n4+863n3+2356n2-613n；

TSZ（Pn）=458n5+15n4+27724n3+2n2+1556n。

2.3 特殊多聯(lián)苯鏈的Hosoya多項(xiàng)式

這部分我們將會給出三種特殊多聯(lián)苯鏈O′n，M′n，P′n的Hosoya多項(xiàng)式以及一些簡單的結(jié)論。

我們用R′n表示所有長度為n的多聯(lián)苯鏈。設(shè)G′（n）=B′1B′2…B′n∈R′（n），其中B′k是G′（n）中第k個(gè)六邊形，并且設(shè)c′k是B′k和B′k+1的多聯(lián)苯連接點(diǎn)，k=1，2，…，n-1。然而長度為n-1的序列（c′1，c′2，…，c′n-1）被稱為G′（n）的多聯(lián)苯點(diǎn)序列。若多聯(lián)苯連接點(diǎn)c′i和螺旋連接點(diǎn)c′i+1的距離分別為1，2和3（i=1，2，…，n-1），則分別稱G′（n）為多聯(lián)苯ortho鏈，多聯(lián)苯meta鏈，多聯(lián)苯para鏈（如圖2所示）。所以依次用O′n，M′n，P′n分別表示長度為n的多聯(lián)苯ortho鏈，多聯(lián)苯meta鏈，多聯(lián)苯para鏈。

若u是G′（n）的一個(gè)點(diǎn)，那么我們設(shè)H（G′（n），u）：=∑v∈V（G′（n））xdG′（n）（u，v）。

引理2.3.1 如果n1，那么有

H（O′n，c′n）=（1+2x+2x2+x3）（1-x2n）1-x2；

H（M′n，c′n）=（1+2x+2x2+x3）（1-x3n）1-x3；

H（P′n，c′n）=（1+2x+2x2+x3）（1-x4n）1-x4。

證明：如果n=1，結(jié)論顯然成立。

如果n2，以多聯(lián)苯鏈鄰六角鏈O·′n為例，根據(jù)Hosoya多項(xiàng)式的定義我們可以得到

H（O′n，c′n）=∑v∈V（O′n-1）xd（v，c′n）+∑v∈V（Bn）xd（v，c′n）=x2H（O′n-1，c′n-1）+（1+2x+2x2+x3）；

類似地，我們得出

H（M′n，c′n）=x3H（M′n-1，c′n-1）+（1+2x+2x2+x3）；

H（P′n，c′n）=x4H（P′n-1，c′n-1）+（1+2x+2x2+x3）。

由上述公式迭代遞推，我們有

H（O′n，c′n）=x2（n-1）H（O′1，c′1）+（1+x2+x4+…+x2n-2）（1+2x+2x2+x3）；

H（M′n，c′n）=x3（n-1）H（M′1，c′1）+（1+x3+x6+…+x3（n-2））（1+2x+2x2+x3）；

H（P′n，c′n）=x4（n-1）H（P′1，c′1）+（1+x4+x8+…+x4（n-2））（1+2x+2x2+x3）。

注意到H（O′1，c′1）=H（M′1，c′1）=H（P′1，c′1）=1+2x+2x2+x3。

因此，把其代入上述公式可得最終結(jié)果，即

H（O′n，c′n）=（1+2x+2x2+x3）（1-x2n）1-x2；

H（M′n，c′n）=（1+2x+2x2+x3）（1-x3n）1-x3；

H（P′n，c′n）=（1+2x+2x2+x3）（1-x4n）1-x4。

注意到H（O'1）=H（M'1）=H（P'1）=6+6x+6x2+3x3.下面我們將分別給出計(jì)算O'n，M'n，P'n（n2）的Hosoya多項(xiàng)式的公式。

定理2.3.2 如果n2，那么

H（O'n）=6+6x+6x2+3x3n+（n-1）x（1+2x+2x2+x3）21-x2-（1+2x+2x2+x3）2（1-x2（n-1））x31-x22；

H（M'n）=6+6x+6x2+3x3n+（n-1）x（1+2x+2x2+x3）21-x3-（1+2x+2x2+x3）2（1-x3（n-1））x41-x32；H（P'n）=6+6x+6x2+3x3n+（n-1）x（1+2x+2x2+x3）21-x4-（1+2x+2x2+x3）2（1-x4（n-1））x51-x42。

證明：以多聯(lián)苯間六角鏈為例，我們得到

H（O'n）

=H（O'n-1）+∑u∈V（O'n-1），v∈V（Bn）xd（u，v）+∑{u，v}∈V（Bn）xd（u，v）

=H（O'n-1）+∑u∈V（O'n-1）（xd（u，c'n-1）+1）+2xd（u，c'n-1）+2）+2xd（u，c'n-1）+3）+xd（u，c'n-1）+4）+∑{u，v}V（Bn）xd（u，v）

=H（O'n-1）+H（O'n-1，c'n-1）（x+2x2+2x3+x4）+（6+6x+6x2+3x3），

由上述公式迭代遞推，我們有

H（O'n）=H（O'1）+∑nk=2H（O'k-1，ck-1）（x+2x2+2x3+x4）+（n-1）（3x3+6x2+6x+6），

根據(jù)引理2.3.1，我們得到

H（O'k-1，c'k-1）=（1+2x+2x2+x3）（1-x2（k-1））1-x2。

把其代入上述公式可得

H（O'n）=（6+6x+6x2+3x3）+（x+2x2+2x3+x4）（1+2x+2x2+x3）（n-1）1-x2

-（x+2x2+2x3+x4）（x2+x4+x6+...+x2（n-1））1-x2+（n-1）（6+6x+6x2+3x3）

=（6+6x+6x2+3x3）n+（x+2x2+2x3+x4）（1+2x+2x2+x3）（n-1）1-x2[（n-1）-x2（1-x2（n-1））1-x2]，

重新整理，得出H（O'n）的最終結(jié)論，即

H（O'n）=（6+6x+6x2+3x3）n+（n-1）x（1+2x+2x2+x3）21-x2-（1+2x+2x2+x3）2（1-x2（n-1））x3（1-x2）2。

類似的，我們可以得到H（M'n）和H（P'n）的最終結(jié)果。

根據(jù)定義2.1.52.1.6及以上定理，通過Matlab軟件進(jìn)行詳細(xì)計(jì)算可以得到以下推論。

推論2.3.3 多聯(lián)苯ortho鏈O'n，多聯(lián)苯meta鏈M'n和多聯(lián)苯para鏈P'n的Wiener指標(biāo)是

W（O'n）=12n3+36n2-21n；

W（M'n）=18n3+18n2-9n；

W（P'n）=24n3+3n。

推論2.3.4 多聯(lián)苯ortho鏈O'n，多聯(lián)苯meta鏈M'n和多聯(lián)苯para鏈P'n的Hyper-Wiener指標(biāo)是

WW（O'n）=6n4+30n3+1292n2-1172n；

WW（M'n）=272n4+27n3+21n2-392n；

WW（P'n）=24n4+12n3-152n2+272n。

推論2.3.5 多聯(lián)苯ortho鏈O'n，多聯(lián)苯meta鏈M'n和多聯(lián)苯para鏈P'n的TSZ指標(biāo)是

TSZ（O'n）=125n5+18n4+59n3+2072n2-122910n；

TSZ（M'n）=8110n5+27n4+36n3+24n2-35110n；

TSZ（P'n）=965n5+24n4-2n3-152n2+26310n。

參考文獻(xiàn)：

[1]H.Hosoya，On some counting polynomials in chemmistry.Discrete Appl.Math.19（13）（1988）239257.

[2]B.E.Sagan，Y.N.Yeh，P.Zhang，The Wiener polynomial of a graph.Int.J.Quant.Chem.60（5）（1996）959969.