多樣本尺度參數(shù)的非參數(shù)檢驗(yàn)

唐興蕓 羅明燕

摘?要：當(dāng)總體不是正態(tài)時(shí)，對(duì)它們的尺度參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，通常采用非參數(shù)檢驗(yàn)的方法。本文就多樣本尺度參數(shù)非參數(shù)檢驗(yàn)的不同的方法及其原理進(jìn)行了歸納整理，并通過(guò)實(shí)例對(duì)這些檢驗(yàn)的功效進(jìn)行了比較。

關(guān)鍵詞：位置參數(shù);尺度參數(shù)

尺度參數(shù)主要用來(lái)描述總體概率分布的離散程度，常用的方差，標(biāo)準(zhǔn)差，平均差等都是關(guān)于尺度的參數(shù)。對(duì)于多個(gè)獨(dú)立正態(tài)總體的尺度參數(shù)檢驗(yàn)，常用的有最大F比檢驗(yàn)，最大方差檢驗(yàn)，Bartlett檢驗(yàn)，levene檢驗(yàn)等。然而當(dāng)樣本數(shù)據(jù)不足以支持總體正態(tài)假定時(shí)，對(duì)總體尺度參數(shù)的檢驗(yàn)就需要用非參數(shù)方法來(lái)解決：

設(shè)有?k?（?k?2?）個(gè)獨(dú)立總體?X?i?～?Fx?i-θ?iσ?i?，?i=1，2，…，k?，其中?F·?為連續(xù)性分布函數(shù)。對(duì)這k個(gè)總體進(jìn)行尺度參數(shù)檢驗(yàn)，不妨假定檢驗(yàn)的零假設(shè)?H?0：σ?1=σ?2=…=σ?k?，備擇假設(shè)?H?1：σ?1，σ?2，…，σ?k?不全相等。檢驗(yàn)對(duì)總體的分布類型沒有要求，但檢驗(yàn)前一般需假定總體位置參數(shù)（均值或中位數(shù)）相等，即?θ?1=θ?2=……=θ?。如果不等，則估計(jì)出這?k?個(gè)總體共同中位數(shù)?θ?，將樣本經(jīng)過(guò)平移使位置參數(shù)相等后再進(jìn)行檢驗(yàn)。

1 多總體尺度參數(shù)檢驗(yàn)的非參數(shù)檢驗(yàn)方法

1.1?Ansari-Bradley?檢驗(yàn)

檢驗(yàn)原理：對(duì)位置參數(shù)相同的合樣本編秩，最大和最小的樣本秩為1，第二大和第二小的樣本秩為2，依次進(jìn)行直到每個(gè)觀測(cè)值都有秩。[1]若有來(lái)自?k?個(gè)總體的樣本，總樣本量為?N?N=∑k?i=1n?i?，合樣本中位數(shù)為?N+12?，?X?i1，X?i2，…，X?in?i.表示其中大小為?n?i?的第?i?個(gè)樣本，用?R?ij.表示樣本?X?ij.在合樣本中的秩，若樣本?X?i?的秩和?∑jR?ij.比較小，說(shuō)明其樣本點(diǎn)距最值兩端較近比較分散，否則就會(huì)比較集中。若每組樣本的秩和差別不大，則不拒絕零假設(shè)。令?A-?i=1n?i∑?n?i.j=1N+12?- R?ij-N+12?，則?k?樣本的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量?B=N?3-4N48N-1∑k?i=1n?i?A-?i-N+24.2?。在零假設(shè)下，?B?近似服從自由度為?k-1?的?χ?2?分布，若?B?χ?2?1-αk-1?，則在顯著水平?α?下拒絕零假設(shè)。

1.2?Kruskal-Wallis?檢驗(yàn)

檢驗(yàn)原理：檢驗(yàn)前提總體分布是連續(xù)的，雖然類型未知但分布類型是相似的，。把多個(gè)樣本混合起來(lái)求秩，按不同樣本組分別求秩和。如果有相同的觀測(cè)值時(shí)即出現(xiàn)打結(jié)的情形，則用平均秩法確定秩。[2]設(shè)有k個(gè)總體，n個(gè)樣本，每組樣本數(shù)?n?1，n?2，…，n?k?，即?n=n?1+n?2+…+n?k?，?R?ij.為樣本?X?ij.的秩，?i=1，2，…，k?，?j=1，2，…，n?i?，則第i組的樣本的平均秩?R-?i=R?in?i?，?R?i=∑?n?i.j=1R?ij，?i=1，2，…，k?合樣本秩的平均值為?R-=n+12，?在零假設(shè)成立的條件下，每組樣本的秩均值應(yīng)該與合樣本的秩均值很接近，即?ER-?i=n+12?，如果相差很遠(yuǎn)，則可以拒絕零假設(shè)。當(dāng)SSB的值太大就拒絕零假設(shè)，檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量?H=SSBMST=12nn+1∑k?i=1R?2?1n?i-3n+1?，其中?SSB=∑k?i=1n?i?R-?i-R-.2?為各處理間平方和，?SST=∑k?i=1∑?n?i.j=1.R?ij-R-.2?為合樣本各秩的總平方，其總均方為?MST=SSTn-1?。在零假設(shè)下?H?服從自由度為?k-1?的?χ?2?分布，拒絕域?H?χ?2?k-11-α?。

1.3?Fligner-Killeen?檢驗(yàn)

檢驗(yàn)原理：假定有?k?個(gè)來(lái)自不同總體的樣本，它們的位置參數(shù)相同，因?yàn)榫哂写蟮某叨葏?shù)的總體，其樣本值一般會(huì)傾向于遠(yuǎn)離這?k?個(gè)總體共同中位數(shù)?θ?。[3]由此角度出發(fā)，將樣本值到共同的中位數(shù)的距離?V?ij=X?ij-θ?進(jìn)行排序，其中?X?i1，X?i2，…，X?in?i.表示大小為?n?i?的第?i?個(gè)樣本，?i=1，2，…，k，j=1，2，…，n?i?。再用?R?′?ij.表示在合樣本中的?V?ij.秩，?K=12NN+1∑k?i=1n?i?R-?′?i-N+12.2?作為檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量，這里?R- ′?i=1n?i∑?n?i.j=1R?′?ij.。在零假設(shè)下，統(tǒng)計(jì)量?K?有?Kruskal-Wallis?分布，對(duì)于太大的?K?，應(yīng)拒絕零假設(shè)。[4]

1.4 平方秩檢驗(yàn)

檢驗(yàn)原理：平方秩檢驗(yàn)無(wú)需考慮總體的位置參數(shù)，把每個(gè)總體的樣本與其平均數(shù)計(jì)算絕對(duì)離差后混合排序編秩，總體?X?i?的平方秩的和?T?x=∑m?i=1R?xi.2?越小，則說(shuō)明樣本離中心越接近，分散程度越低。[4]具體做法如下：設(shè)有個(gè)?k?總體的樣本，樣本總?cè)萘繛?N?，記?X-?i=1n?i∑?n?ijX?ij.為各總體樣本的均值，于是所有樣本的?N?個(gè)絕對(duì)離差?X?ij-X- i?，?i=1，2，…，k，j=1，2，…，n?i?混合排序得到?N?個(gè)秩，不妨用?R?ij.表示這些秩的平方，?T?i=∑?n?i.j=1R?ij.

i=1，2，…，k?，表示相對(duì)于第?i?個(gè)總體樣本的平方秩的和。在零假設(shè)下，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量?T=N?- 1∑k?i=1T?2?i/n?i-?∑k?i=1T?i.2/N∑k?i=1∑?n?i.j=1R?2?ij-?∑k?i=1T?i.2/N?，漸進(jìn)服從自由度為?k-1?的?χ?2?分布。

2 尺度參數(shù)非參數(shù)檢驗(yàn)方法的實(shí)例分析

三個(gè)單位的管理人員年度管理表現(xiàn)評(píng)分如下：

在顯著水平?0.05?下，這三個(gè)單位的管理表現(xiàn)評(píng)分的方差有無(wú)顯著差異？

采用四種方法，借助于軟件SPSS24對(duì)此三樣本的尺度參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果如下表所示：

通過(guò)這四種檢驗(yàn)方法得出的?P?值都明顯大于?0.05?，表明這四種方法對(duì)本例數(shù)據(jù)檢驗(yàn)結(jié)論一致：在顯著水平?α?下不能拒絕零假設(shè)，即三個(gè)單位的管理表現(xiàn)評(píng)分的方差無(wú)顯著差異。

從檢驗(yàn)原理上來(lái)看，Ansari-Bradley檢驗(yàn)性，Kruskal-Wallis檢驗(yàn)，平方秩檢驗(yàn)都是漸進(jìn)服從?χ?2?分布。由于檢驗(yàn)過(guò)程中都使用到了Wlicoxon秩和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，所以Fligner-Killeen檢驗(yàn)和平方秩檢驗(yàn)，二者檢驗(yàn)結(jié)果比較相近。然而當(dāng)大樣本時(shí)，有研究表明這四個(gè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量都漸進(jìn)正態(tài)分布，所以它們的檢驗(yàn)結(jié)果大致相同。[5]

參考文獻(xiàn)：

[1]吳喜之，趙博娟.非參數(shù)統(tǒng)計(jì)（第三版）[M].北京：中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，2012-11，第三版.

[2]薛留根.應(yīng)用非參數(shù)統(tǒng)計(jì)[M].北京：科學(xué)出版社，2013-7，第一版.

[3]王靜龍，梁小筠.非參數(shù)統(tǒng)計(jì)分析[M].北京：高等教育出版社，2006-4，第一版.

[4]王星，褚挺進(jìn).非參數(shù)統(tǒng)計(jì)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2014-9，第二版.

[5]陳希孺，方兆本，李國(guó)英，陶波.非參數(shù)統(tǒng)計(jì)[M].北京：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2012-4，第一版.