多項式曲面高程擬合方法探討

吳揚(yáng)揚(yáng)

摘要：本文主要介紹了多項式曲面法的基本原理，然后分別采用一次、二次、三次多項式曲面法對具體區(qū)域的高程數(shù)據(jù)進(jìn)行計算，通過對高程擬合的精度進(jìn)行對比和分析，總結(jié)多項式曲面高程擬合方法的應(yīng)用特點。

關(guān)鍵詞：多項式曲面； 高程擬合；精度

GPS高程擬合是大地水準(zhǔn)面精化的主要內(nèi)容，是大地測量學(xué)研究的基本內(nèi)容。GPS高程擬合涉及到三類高程系統(tǒng)，分別為正高系統(tǒng)、正常高系統(tǒng)和大地高系統(tǒng)。正高是以大地準(zhǔn)面為基準(zhǔn)的高程，正常高是以似大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)的高程，大地高是以參考橢球面為基準(zhǔn)的高程[1]。我國通常采用正常高系統(tǒng)。

正常高和大地高之間的差距叫做高程異常。大地高H、正常高h(yuǎn)和高程異常之間的關(guān)系為：

H=h+ε

（1） 本文主要結(jié)合具體算例，分別采用一次、二次、三次多項式曲面法進(jìn)行高程擬合，總結(jié)多項式曲面擬合方法的特點。

1 多項式曲面擬合法

多項式曲面擬合的數(shù)學(xué)模型為：

（2）

式中εi為i點的高程異常值，其坐標(biāo)為（ ）， （ ）為模型參數(shù)。式（2）對應(yīng)的誤差方程為：

（3）

其中 為已知聯(lián)測點i的高程異常值。如果有n個已知點，那么m次多項式可以改寫成矩陣形式：

（4）

其中m，n需滿足條件 ，令 ，在式（3.12）中，

， ，

，根據(jù)最小二乘原理可得：

（5）

根據(jù)式（5）求出模型參數(shù)后即可確定模型式（2），然后根據(jù)式（2）即可求出待求點的高程異常。

有時實際計算中為了保證計算的穩(wěn)定性，我們采用區(qū)域中心點的坐標(biāo)（x0，y0）作為原點，用坐標(biāo)差來代替原始坐標(biāo)參與計算，即將模型表示成（△xi，△yi）的函數(shù)，其中 ， 。

常用的多項式曲面擬合方法有一次曲面擬合（平面擬合）、二次曲面擬合、三次曲面擬合。

2 算例分析

某區(qū)域大約50km2，該區(qū)域聯(lián)測了21個控制點，其正常高和大地高都是通過觀測計算獲得的，那么該區(qū)域的高程異常數(shù)據(jù)可以通過計算獲得。采用多項式曲面擬合法（一次，二次，三次）擬合該區(qū)域的控制點，針對區(qū)域內(nèi)的9個點，10個點，11個點，12個點，13個點作為參加擬合的已知的控制點，其余的點作為檢核點，計算各自的內(nèi)符合精度和外符合精度，因為三次曲面模型的必要條件是10個點，所以三次曲面模型不參與9個點和10個點的擬合，如表1，表2，表3，表4，表5所示。

綜合上述各表可以看出，對于該區(qū)域來說，相比一次曲面擬合法和二次曲面擬合法，多項式三次曲面擬合法的內(nèi)符合精度和外符合精度較高，高程異常的殘差比較小，擬合效果會更好。

3結(jié)束語

已知控制點的個數(shù)的選擇對于擬合精度有著一定的影響，從本文算例各表的比較中可以發(fā)現(xiàn)點數(shù)的不同對內(nèi)符合精度和外符合精度的影響。測區(qū)中聯(lián)測GPS水準(zhǔn)點的點數(shù)，應(yīng)根據(jù)實際測區(qū)的大小，測區(qū)內(nèi)控制點的密度情況而決定，但布設(shè)的點數(shù)不能少于選用計算模型中未知參數(shù)的個數(shù)。多項式曲面高程擬合方法根據(jù)區(qū)域的具體情況選擇適合的次數(shù)，高程擬合的精度可以達(dá)到厘米級。

參考文獻(xiàn)：

[1] 劉大杰，施一民.全球定位系統(tǒng)（GPS）的原理與數(shù)據(jù)處理.上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2006，15～16

[2] 劉誼，汪民主.GPS高程二次曲面擬合及其程序[J].礦山測量，2004，（2）：12～14

[3] 鄭紅曉，雷偉偉.二次曲面擬合法在區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化中的應(yīng)用[J].鐵道勘察，2008，（2）：24～27

（作者簡介：沈陽市勘察測繪研究院有限公司）