捆綁法在高中數(shù)學(xué)排列組合中的應(yīng)用

摘要：排列組合作為高中數(shù)學(xué)課程體系中的重要構(gòu)成部分，由于題型較為特殊，學(xué)生解題時(shí)往往感到無從下手，存在諸多疑惑，還容易出現(xiàn)重復(fù)與遺漏現(xiàn)象，很難求出正確答案，極易影響到學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與自信，面對這一現(xiàn)狀，教師可指導(dǎo)他們應(yīng)用捆綁法解決排列組合問題，使其學(xué)會(huì)處理這類試題.本文據(jù)此展開分析與探究，并分享一些捆綁法的具體應(yīng)用實(shí)例.

關(guān)鍵詞：捆綁法;高中數(shù)學(xué);排列組合

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0039-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：張飛飛（1986.2-），男，安徽省濉溪人，本科，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

捆綁法指的是在處理排列組合題目時(shí)，解決某些元素相鄰問題常用的一種解題方法，需把相鄰元素捆綁起來看成一個(gè)整體，再與其它元素一起排列，不過要注意捆綁元素的內(nèi)部排列.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生采用捆綁法分析與解答排列組合問題，將要求在一起的元素捆綁成一個(gè)大元素，使其從大元素著手，最終輔助他們簡潔、高效地解決問題.

例1如果有A，B，C，D，E五個(gè)人排隊(duì)，要求A與B兩個(gè)人一定要站在相鄰的位置，那么一共有多少種排隊(duì)方法？

解析在本道題目中，學(xué)生通過閱讀題干內(nèi)容提取關(guān)鍵信息后，發(fā)現(xiàn)是要求A與B兩個(gè)人一定要排在相鄰的位置，這表明A與B不能隨意同其他人進(jìn)行排列，此時(shí)他們可以使用捆綁法，把A，B兩人捆綁在一起看成一個(gè)整體，也就是把A與B先當(dāng)作一個(gè)人，對B，C，D，E四個(gè)人進(jìn)行排列，能夠得到A44=24種排列方法.然后對A與B進(jìn)行內(nèi)部排列，有兩種排列方法，即為A在B的前面，或者B在A的前面，所以最后的結(jié)果是24×2=48，也就是說一共有48種排隊(duì)方法.

例2一共有8本不一樣的教科書，其中英語書有2本，語文書有3本，另外三本是其它教科書，把這8本書排成一排放在書架上面，如果讓3本語文書剛好排在一起，2本英語書也剛好排在一起，那么一共有多少種排列方法？

解析學(xué)生閱讀完題干信息以后，由于題目中明確指出要把3本語文書、2本英語書均排在一起，同樣要用到捆綁法，先把3本語文書看成一個(gè)整體，捆綁起來當(dāng)作是1本書，再把2本英語書也捆綁在一起，看成一個(gè)整體，當(dāng)作一本書來看待.這樣一來同剩余的其它科目3本書放在一起，一共當(dāng)作5本書進(jìn)行排列，其中語文書、英語書各一本，其它書3本，那么這5本書一共有A55種排列方法，也就是120種排列方法，之后，3本語文書內(nèi)部可以隨機(jī)調(diào)整順序，得到A33=6種排列方法，而2本英語書內(nèi)部也可以調(diào)整排列順序，即為A22=2種排列方法，那么最后的排列方法一共為120×6×2=1440種.

例3現(xiàn)在要將4個(gè)不同的小球放在3個(gè)不一樣的盒子里面，要求每個(gè)盒子最少要放一個(gè)小球，那么一共有多少種放法？

解析學(xué)生先認(rèn)真閱讀題目內(nèi)容，找出其中的已知條件與題設(shè)要求，他們結(jié)合題意可以知道，要把4個(gè)不一樣的小球放入到3個(gè)不一樣的盒子里面，且每個(gè)盒子都不能是空的，至少要放入1個(gè)小球，這就表明某個(gè)盒子當(dāng)中一定要放入2個(gè)小球，剩下的兩個(gè)盒子里面分別放入1個(gè)小球，而且小球與盒子均是各不相同的，明顯是一個(gè)排列組合問題.這時(shí)學(xué)生可以應(yīng)用捆綁法處理這一問題，先把2個(gè)小球捆綁在一起看成是一個(gè)整體，再將其同剩下的2個(gè)小球進(jìn)行全排列，且分別放入到對應(yīng)的盒子當(dāng)中，根據(jù)題意分2步進(jìn)行分析：①把4個(gè)小球分成3組，其中一組2個(gè)，剩余2組各1個(gè);再把這3組小球全排列，對應(yīng)3個(gè)盒子，分別求出每一步的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.具體解答方法如下：

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行：先把4個(gè)小球分成3組，其中一組2個(gè)，剩余2組各1個(gè)，分組方法有C42=6種;

再把這3組小球全部排列，對應(yīng)3個(gè)盒子，有A33=6種;

最后根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得所有的不同方法共有6×6=36種放法.

例4某市舉辦經(jīng)濟(jì)建設(shè)成果展覽會(huì)，計(jì)劃在7月上旬組織5個(gè)單位參觀，但是由于1個(gè)單位的人數(shù)比較多，需要連續(xù)參觀展覽2天，其他4個(gè)單位則只需參觀展覽1天即可，如果每天最多只能安排1個(gè)單位來參觀展覽，那么參觀的時(shí)間安排一共能有（）種.

A.630B.700C.15120D.16800

解析學(xué)生讀完題目內(nèi)容以后要注意發(fā)掘其中的隱含信息，即為題目中表明是在7月上旬組織參觀展覽，那么就要明確7月上旬一共有10天，6天安排參觀，4天不安排.因此，學(xué)生可以把連續(xù)參觀2天的單位捆綁在一起，看成一個(gè)整體，由于原題目中指出要在9天中選出5天參觀展覽，且安排5個(gè)單位.具體解答方法如下：

把那個(gè)人數(shù)較多的單位也看成只參觀一天，這樣要去掉的參觀時(shí)間是（2-1）=1天，這時(shí)用來參觀的時(shí)間是10-1=9天，現(xiàn)在可以計(jì)算第一個(gè)單位，是9天中的某一天進(jìn)行參觀，第一個(gè)單位有9種可能，第二個(gè)單位只有9-1=8種參觀的可能，以此類推，第三個(gè)單位是7種，第四個(gè)單位是6種，第五個(gè)單位是5種，由于這五個(gè)單位有先后順序，所以計(jì)算方法是A59=9×8×7×6×5=15120種，即正確答案是C選項(xiàng).

例5現(xiàn)在有5個(gè)身高不一樣的同學(xué)站成一排照相，其中身高最高的那位同學(xué)需站在5個(gè)人的中間，其余同學(xué)按照身高向兩側(cè)遞減，則一共有（）種排列方法.

A.4B.6C.12D.24

解析本道題目很明顯是在考查排列組合問題，學(xué)生通過認(rèn)真審題，根據(jù)題干中給出的已知信息來分析題意，因?yàn)樯砀咦罡叩耐瑢W(xué)只有一種站法，就是站在5個(gè)人的正中間位置，可以將其捆綁在固定位置.在一邊站好兩位同學(xué)以后，另外一邊必定也是一高一矮的兩位同學(xué)，也就是說兩邊的高矮順序也只能存在1種排列方式，由于高矮已經(jīng)定好，剩余的4位同學(xué)里面先挑出2位排左邊，則另外2位就排在右邊.所以說選定一邊兩人的種類數(shù)也就是總的排列方式，故不同的排法種數(shù)有C24=6種，由此得出正確答案是選項(xiàng)B.936B45BE-0483-448F-ADEB-57F9034D0057

例6某班級舉辦制作彩帶的活動(dòng)，其中有一位同學(xué)說選擇8種不一樣的顏色當(dāng)作自己制作彩帶的材料，在這樣的顏色排列過程中，需要先把紅色、藍(lán)色與黃色三種顏色的彩帶放到一起，剩余的其它顏色則可以隨機(jī)擺放，那么一共有多少種顏色的排列方式？

解析學(xué)生通過閱讀題干信息，發(fā)現(xiàn)制作彩帶時(shí)，要把紅色、藍(lán)色與黃色三種顏色的彩帶相鄰排列，這就可以用到捆綁法，先將這三種顏色的彩帶捆綁到一起，看成一個(gè)整體的大元素，再同剩余的其它5種顏色進(jìn)行正常的排列，這樣能夠得到A66種排列方式，計(jì)算以后是720種.然后根據(jù)題意能夠知道只是要求紅色、藍(lán)色與黃色三種顏色的彩帶排列在一起即可，并沒有明確要求三者的具體順序，所以這三種顏色的彩帶在內(nèi)部有A33種排列方式，即為6種，那么總的排列方式是720×6=4320種.

例7現(xiàn)在要求7個(gè)人排成一隊(duì)，其中甲與乙一定相鄰，丙與丁也一定相鄰，那么一共有多少種排隊(duì)方法？

解析學(xué)生讀完題目內(nèi)容以后，能夠輕松判斷這是一道典型的捆綁類試題，因?yàn)轭}目中明確要求甲與乙、丙與丁要站在一起，所以他們可以使用捆綁法，把甲與乙捆綁在一起看成一個(gè)整體，丙與丁作同樣處理，這樣就把本道題目簡化成5個(gè)人的排隊(duì)問題.具體解題方法如下：

先利用捆綁法，將甲與乙、丙與丁均當(dāng)作一個(gè)整體，同剩余的三個(gè)人進(jìn)行排隊(duì)，即為一共是5個(gè)元素在隨機(jī)排隊(duì)，可列出式子A55，計(jì)算以后得到120種情況，而捆綁元素的內(nèi)部也能夠進(jìn)行自由排列，甲與乙有兩種不同的排列方式，也就是A22=2種情況，丙和丁的情況一樣，也有2種排列方式，所以最后總的排隊(duì)方法是120×2×2=480種.

總的來說，在高中數(shù)學(xué)排列組合解題教學(xué)中，捆綁法有著相當(dāng)廣泛的運(yùn)用，教師需利用好平常的解題訓(xùn)練契機(jī)，為學(xué)生提供更多應(yīng)用捆綁法解決排列組合問題的機(jī)會(huì)，使其通過加強(qiáng)專題訓(xùn)練熟練掌握捆綁法的技巧與規(guī)律，學(xué)會(huì)把能看作一個(gè)整體的元素捆綁成一個(gè)大元素，再進(jìn)行排列組合，由此逐步提升他們的數(shù)學(xué)解題水平，為將來的高考做好充足準(zhǔn)備.

參考文獻(xiàn)：

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[責(zé)任編輯：李璟]936B45BE-0483-448F-ADEB-57F9034D0057