二階控制系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)分析

熊藜 宋剛 胡榮瀚 張?jiān)?/p>

摘 要：基于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的響應(yīng)分析，通過在二階系統(tǒng)的反饋回路中加入了一階未知時(shí)間常數(shù)的微分環(huán)節(jié)，通過構(gòu)建傳遞函數(shù)，做出對(duì)典型輸入信號(hào)在不同未知時(shí)間常數(shù)τ=0，0.0125，0.025下的時(shí)間響應(yīng)曲線。通過Matlab編程求出不同阻尼比ζ=0-2下的二階系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)，進(jìn)而反推出貼近最優(yōu)的瞬態(tài)性能的反饋時(shí)間常數(shù)，其值為τ=0.025。最優(yōu)對(duì)二階系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)方法進(jìn)行了分析與描述。

關(guān)鍵詞：時(shí)間響應(yīng);瞬態(tài)性能;反饋時(shí)間常數(shù);穩(wěn)定性判據(jù)

中圖分類號(hào)：TP271+.2 ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ?文章編號(hào)：1671-7988（2019）12-96-03

Abstract： Based on the response analysis of the continuous time system， the first order unknown time constant differential link was added into the feedback loop of the second order system. The transient performance index of the second-order system with different damping ratios was obtained through Matlab programming， and then the feedback time constant close to the optimal transient performance was derived， and its value was. The stability criterion method for optimal second-order systems is analyzed and described.

Keywords： Time response; Transient performance; Feedback time constant; Stability criterion

CLC NO.： TP271+.2 ?Document Code： A ?Article ID： 1671-7988（2019）12-96-03

引言

工程中，大量的控制系統(tǒng)，尤其是機(jī)械系統(tǒng)，都可利用高階微分方程的原理建立起高階系統(tǒng)。對(duì)于這種復(fù)雜的系統(tǒng)，在一定準(zhǔn)確度條件下，可以忽略某些次要因素，將高階系統(tǒng)簡(jiǎn)化為二階或一階系統(tǒng)的串并聯(lián)的組合。這樣便可利用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)以及系統(tǒng)偏差的校正，從而做出對(duì)高階系統(tǒng)的分析與研究。為了更好的了解二階系統(tǒng)的特性，對(duì)其做時(shí)間響應(yīng)分析是重要的解決方法。

本文主要對(duì)二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能作時(shí)域響應(yīng)分析和頻率特性指標(biāo)進(jìn)行分析，從而掌握系統(tǒng)穩(wěn)定性、響應(yīng)快速性、響應(yīng)準(zhǔn)確性三者之間的制約關(guān)系，對(duì)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與分析有重大意義。

1 時(shí)間響應(yīng)及組成

系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)可從兩方面進(jìn)行分類，根據(jù)系統(tǒng)的振動(dòng)性質(zhì)可分為自由響應(yīng)與強(qiáng)迫響應(yīng);按系統(tǒng)振動(dòng)來源可分為零輸入響應(yīng)與零輸入響應(yīng)。

通過圖2可以看出不同的時(shí)間常數(shù)τ對(duì)單位脈沖響應(yīng)以及單位階躍響應(yīng)有著不同的影響。如此一來，這一組時(shí)間常數(shù)更加符合系統(tǒng)的性能指標(biāo)，或者說那組數(shù)據(jù)對(duì)控制系統(tǒng)的三大研究問題，即系統(tǒng)穩(wěn)定性、響應(yīng)快速性、響應(yīng)準(zhǔn)確性的綜合評(píng)價(jià)更高，這就需要考慮二階系統(tǒng)響應(yīng)的性能指標(biāo)，從而對(duì)比做出判斷。

3 二階系統(tǒng)響應(yīng)瞬態(tài)性能指標(biāo)

大多數(shù)情況下，評(píng)價(jià)系統(tǒng)的性能指標(biāo)一般在時(shí)域范圍內(nèi)研究?？紤]到二階欠阻尼系統(tǒng)過渡時(shí)間的較短，產(chǎn)生單位階躍輸入信號(hào)較為容易且與實(shí)際情況下輸入的信號(hào)更加貼近振蕩，同時(shí)系統(tǒng)在對(duì)單位階躍信號(hào)做出的響應(yīng)可以求出任何輸入下的響應(yīng)等優(yōu)點(diǎn)，我們對(duì)其作進(jìn)一步分析。

3.1 上升時(shí)間、峰值時(shí)間與頻率調(diào)整時(shí)間

二階欠阻尼系統(tǒng)中，反映響應(yīng)曲線第一次達(dá)到穩(wěn)定值所需要的時(shí)間即為上升時(shí)間tr;而響應(yīng)曲線第一次達(dá)到峰值的時(shí)間稱為峰值時(shí)間tp。兩者在數(shù)學(xué)關(guān)系上有很大的相似性，當(dāng)阻尼比ξ增大，ωn增大，tr與tp均減小。此外，過渡過程中的x0（t）滿足 或 不等式所需的時(shí)間定義為調(diào)整時(shí)間ts。

3.2 最大超調(diào)量與振蕩次數(shù)

定義最大峰值相對(duì)與穩(wěn)定值的之差的百分量稱為最大調(diào)整量Mp，即 ?？梢姡{(diào)量Mp只與阻尼比ξ有關(guān)，而與固有頻率ωn無關(guān)。由此得出最大超調(diào)量的大小直接可以說明系統(tǒng)的阻尼特性。對(duì)于振蕩次數(shù)N，同樣是隨著阻尼比的增加而減少，其大小也直接反映了系統(tǒng)的阻尼特性。

3.3 不同阻尼比下的時(shí)間響應(yīng)

根據(jù)二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn) ?？芍?，二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)主要由阻尼比與無阻尼固有頻率決定，為了更加直觀的表現(xiàn)出具體響應(yīng)變化，以推出瞬態(tài)系統(tǒng)性能指標(biāo)從而進(jìn)一步確定本文前面討論的最優(yōu)時(shí)間常數(shù)的確定。本文利用Matlab軟件對(duì)典型二階系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)輸入作用下進(jìn)行編程仿真，確定出固有頻率ωn=4，阻尼比ξ=0、0.2，0.4，0.6，0.8，1，2的條件下的響應(yīng)特性曲線如圖3所示：

由圖3可知，當(dāng)阻尼比ξ=0時(shí)，響應(yīng)曲線達(dá)到等幅振蕩。在阻尼比ξ=1和ξ>0時(shí)，二階控制系統(tǒng)的過渡過程具有單調(diào)上升的階段，而過渡過程持續(xù)時(shí)間最短的響應(yīng)曲線為ξ=1，反映了系統(tǒng)響應(yīng)的快速性。但在ξ=0.4～0.8之間的曲線，過渡時(shí)間進(jìn)一步縮短，為了使二階系統(tǒng)處于一個(gè)振蕩適度而持續(xù)時(shí)間更短的過渡過程，我們希望其工作在ξ=0.4～0.8的欠阻尼狀態(tài)下。

在確定理想的阻尼比范圍之后，需要結(jié)合系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)，將上述二階系統(tǒng)中的時(shí)間常數(shù)帶入評(píng)定指標(biāo)中，篩選出更加符合條件的常數(shù)值。

3.4 不同 值的瞬態(tài)性能指標(biāo)

再一次利用Matlab的編程功能，分別求出不同的時(shí)間常數(shù)下的系統(tǒng)瞬態(tài)性能指標(biāo)如下表1所示。

由表1所示，隨著時(shí)間常數(shù)的增加，系統(tǒng)的上升時(shí)間與峰值時(shí)間有所增加，表明了引入速度負(fù)反饋以后，響應(yīng)快速性的性能有所降低;但調(diào)整時(shí)間以及最大超調(diào)量均呈現(xiàn)下降的趨勢(shì)，則說明減少了振蕩次數(shù)與超調(diào)量，相當(dāng)于改善了系統(tǒng)的振蕩性能，間接的反映了系統(tǒng)阻尼比的增加。

若要使得系統(tǒng)滿足最大超調(diào)量Mp<6%的條件，則通過公式 ? 算得阻尼比ξ=0.69。由于系統(tǒng)無阻尼固有頻率ωn=31.62s-1，同時(shí)結(jié)合公式可得出τ=0.0236 s。由此，得出最符合系統(tǒng)綜合瞬態(tài)性能的反饋時(shí)間常數(shù)τ=0.025s。

4 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)的穩(wěn)定性是任何控制系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)揮作用的前提條件，而判定二階控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有特征根均具有負(fù)實(shí)部，或者說系統(tǒng)傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)均位于[s]平面的左半部分。利用Matlab可以對(duì)其作以下方法的檢驗(yàn)。

4.1 系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷方法

方法一：Routh穩(wěn)定判據(jù)，基于方程式根與系數(shù)的關(guān)系建立，通過對(duì)系統(tǒng)特征方程式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，得出全部根具有負(fù)實(shí)部的條件，進(jìn)而進(jìn)行判斷。具體方法是以Routh表中第一列各元符號(hào)的改變次數(shù)與特征方程具有正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)一致。

方法二：Nyquist穩(wěn)定判據(jù)，結(jié)合復(fù)變函數(shù)的輻角原理，其閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程全部具有負(fù)實(shí)部的特征根，即GB（S）在[s]平面的右半部分沒有極點(diǎn)，也即F（s）在[s]平面的右半部分沒有零點(diǎn)。具體方法是G（s）H（s）的Nuquist軌跡逆時(shí)針包圍點(diǎn)（-1，j0）的圈數(shù)N等于G（s）H（s）在[s]平面的右半部分的極點(diǎn)數(shù)P，即N=-P，且F（s）在[s]平面的右半部分無零點(diǎn)，即Z=0。

方法三：Bode穩(wěn)定判據(jù)，將開環(huán)極坐標(biāo)圖轉(zhuǎn)換到開環(huán)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上面，利用對(duì)數(shù)頻率特性判據(jù)判定系統(tǒng)穩(wěn)定性。在Bode圖上面，當(dāng)頻率由0變到 時(shí)，開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為正值的范圍內(nèi)，開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性在-180%線正穿越與負(fù)穿越的次數(shù)之差為怕P/2時(shí)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

此外，還可以利用Matlab中的margin 函數(shù)求出系統(tǒng)的相位裕度、幅值裕度以及相位穿越頻率與幅值穿越頻率來判斷系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。

5 結(jié)束語

為了了解貼近實(shí)際應(yīng)用的高階系統(tǒng)的性能與特性，在控制工程中從典型的二階系統(tǒng)上分析了不同負(fù)反饋的時(shí)間常數(shù) 對(duì)二階系統(tǒng)的綜合性能指標(biāo)的最優(yōu)值。同時(shí)利用了Matlab的編程與繪圖功能，通過函數(shù)的調(diào)用，參數(shù)的輸入，從而做出對(duì)線性二階系統(tǒng)的分析，具有簡(jiǎn)單明了的特點(diǎn)，提高了學(xué)習(xí)效率，對(duì)高階系統(tǒng)的研究有較大的意義。

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