等比數(shù)列的前n項(xiàng)和教學(xué)案例

李升陽

一、設(shè)計(jì)背景

1.設(shè)計(jì)思想：《新課程改革綱要》提出，要“改變課程實(shí)施過于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)、死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、樂于探究、勤于動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理信息能力、獲取新知識(shí)的能力、分析和解決問題的能力以及交流合作的能力”。對(duì)于這一目標(biāo)本人認(rèn)為，更加注重培養(yǎng)學(xué)生作為學(xué)習(xí)主體的能動(dòng)性、獨(dú)立性、創(chuàng)造性、發(fā)展性。心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，9-22歲的學(xué)生正處于創(chuàng)新思維的培養(yǎng)期，高中生正好處于這一關(guān)鍵年齡段，作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)因勢(shì)利導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。利用問題探究式的方法對(duì)新課加以鞏固理解。在生生、師生交流的過程中，體現(xiàn)對(duì)弱勢(shì)學(xué)生更多的關(guān)心。

2.教材分析：在《數(shù)列》本章中，《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》是一節(jié)重要的基礎(chǔ)內(nèi)容，從知識(shí)體系來看，它不僅是《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》與《等比數(shù)列》的順延，而且還為后續(xù)深入學(xué)習(xí)提供了知識(shí)基礎(chǔ)。錯(cuò)位相減法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是求解一類混合數(shù)列前n項(xiàng)和的重要方法。因此，本節(jié)具有承上啟下的作用。從知識(shí)結(jié)構(gòu)和人文價(jià)值來看，等比數(shù)列與等差數(shù)列是平行結(jié)構(gòu)關(guān)系，兩者之間存在著一定聯(lián)系，可以進(jìn)行類比，拓展學(xué)生發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的能力。等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的探究與推導(dǎo)需要學(xué)生觀察、分析、歸納、猜想，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和探索精神，是增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)能力的良好載體。從知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值來看，它是從大量現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)問題中抽象出來的一個(gè)模型，前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程中蘊(yùn)涵了基本的數(shù)學(xué)思想方法，如分類討論、錯(cuò)位相減等在數(shù)列求和問題中時(shí)常出現(xiàn)。等比數(shù)列的前n項(xiàng)和在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，如儲(chǔ)蓄、分期付款的有關(guān)計(jì)算等，而且公式推導(dǎo)過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、教學(xué)目標(biāo)

依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平和年齡特點(diǎn)，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：

1.知識(shí)與技能：理解等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法；掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式并能運(yùn)用公式解決一些簡(jiǎn)單問題.

2.過程與方法：通過公式的推導(dǎo)過程，提高學(xué)生的建模意識(shí)及探究問題、分析與解決問題的能力，體會(huì)公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想，優(yōu)化思維品質(zhì).

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過經(jīng)歷對(duì)公式的探索，激發(fā)學(xué)生的求知欲，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試、勇于探索、敢于創(chuàng)新，磨煉思維品質(zhì)，從中獲得成功的體驗(yàn)，感受思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對(duì)稱美、形式的簡(jiǎn)潔美、數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美.

三、教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)問題情景

引例：“一個(gè)窮人到富人那里去借錢，原以為富人不愿意，哪知富人一口答應(yīng)了下來，但提出了如下條件：在30天中，富人第一天借給窮人1萬元，第二天借給窮人2萬元，以后每天所借的錢數(shù)都比上一天多1萬；但借錢第一天，窮人還1分錢，第二天還2分錢，以后每天所還的錢數(shù)都是上一天的兩倍，30天后互不相欠。窮人聽后覺得挺劃算，本想定下來，但又想到此富人是吝嗇出了名的，怕上當(dāng)受騙，所以很為難。請(qǐng)?jiān)谧耐瑢W(xué)思考討論一下，窮人能否向富人借錢？

[設(shè)計(jì)一個(gè)學(xué)生比較感興趣的實(shí)際問題，吸引學(xué)生注意力，使其馬上進(jìn)入到研究者的角色中來！啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度觀察問題，分析問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，然后解決問題。]

2.師生互動(dòng)，探究問題

根據(jù)前面所學(xué)知識(shí)請(qǐng)同學(xué)們回答：窮人向富人借了多少錢？

學(xué)生回答： （萬元）

提出問題1：窮人應(yīng)向富人還多少錢？

引導(dǎo)學(xué)生寫出窮人應(yīng)向富人還的錢數(shù)：

提出問題2： 究竟等于多少呢？

有些學(xué)生回答用計(jì)算器來求。（老師肯定學(xué)生的做法，但學(xué)生發(fā)現(xiàn)比較難求）

提出問題3：同學(xué)們，我們來分析一下這個(gè)和式有什么特征。（學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，后一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的2倍）

提出問題4：如果我們把每一項(xiàng)都乘以2，就變成了它的后一項(xiàng)，那么我們?nèi)粼诖说仁絻蛇呁艘?，得到另一式：

[利用幻燈片展示]

……………（1）

若用公比2乘以上面等式的兩邊，得到

………………（2）.

比較（1）（2）兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？（學(xué)生經(jīng)過比較發(fā)現(xiàn)：（1）、（2）兩式有許多相同的項(xiàng)）

提出問題5：將兩式相減，相同的項(xiàng)就消去了，得到什么呢？（學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)： ，通過計(jì)算器求得 （萬元）>465（萬元），窮人吃大虧了）

[這五個(gè)問題的設(shè)計(jì)意圖：層層深入，剖析了錯(cuò)位相減法中減的妙用，使學(xué)生容易接受為什么要錯(cuò)位相減。經(jīng)過繁難的計(jì)算之苦后，突然發(fā)現(xiàn)上述解法，也讓學(xué)生感到這種方法的神奇]

這時(shí)，老師向同學(xué)們介紹錯(cuò)位相減法，并提出問題6：同學(xué)們反思一下我們錯(cuò)位相減法求此題的過程，為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？

[這個(gè)問題的設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生對(duì)錯(cuò)位相減法有一個(gè)深刻的認(rèn)識(shí)，也為探究等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)做好鋪墊]

3.類比聯(lián)想，解決問題

提出問題7：

學(xué)生開展合作學(xué)習(xí)，討論交流，老師巡視課堂，發(fā)現(xiàn)有典型解法的，叫同學(xué)板書在黑板上。

[設(shè)計(jì)意圖：從特殊到一般，從模仿到創(chuàng)新，有利于學(xué)生的知識(shí)遷移和能力提高，讓學(xué)生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗(yàn)]

4.分析比較，開拓思維

將不同的方法進(jìn)行分析評(píng)價(jià)。根據(jù)學(xué)生的認(rèn)識(shí)狀況，可能有如下幾種方法：

[利用幻燈片展示]

學(xué)生A：

（1）-（2）有

[大部分學(xué)生是上面的的推導(dǎo)方法，還有各別學(xué)生用了下面的方法]

學(xué)生B：

學(xué)生C：

即

。

5.歸納提煉，構(gòu)建新知

提出問題8：由 得Sn=a，對(duì)不對(duì)？這里的 能不能等于1？等比數(shù)列中的公比能不能為1？ 為1時(shí)是什么數(shù)列？此時(shí) ？

【設(shè)計(jì)意圖：通過反問精講，一方面使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，增強(qiáng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性】

提出問題9：

學(xué)生歸納出：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：

[“特例→類比→猜想”是一種常用的科學(xué)的研究思路]

教師讓學(xué)生進(jìn)行各種嘗試，探尋公式的推導(dǎo)的方法，同時(shí)抓住機(jī)會(huì)或創(chuàng)設(shè)問題情景，調(diào)動(dòng)了學(xué)生參與問題討論的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，發(fā)揮了組織者、推進(jìn)者和指導(dǎo)者的作用，而學(xué)生卻是實(shí)實(shí)在在的主體活動(dòng)者，成為發(fā)現(xiàn)者、創(chuàng)造者，讓學(xué)生享受成功的喜悅！]

四、案例反思：

本案例立足課本，著力挖掘，設(shè)計(jì)合理，層次分明，充分體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、概括和探究能力，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)理論聯(lián)系實(shí)際、循序漸進(jìn)和因材施教的教學(xué)原則。通過問題情境的創(chuàng)設(shè)，激發(fā)興趣，使學(xué)生在問題解決的探索過程中，由學(xué)會(huì)走向會(huì)學(xué)，由被動(dòng)答題走向主動(dòng)探究。在教學(xué)思想上既注重知識(shí)形成過程的教學(xué)，還特別突出學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，探究能力的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，體驗(yàn)求知的樂趣。