數(shù)學(xué)建模融入經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)中的案例及分析

崔石買

摘 要：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)是財(cái)經(jīng)類專業(yè)的關(guān)鍵的基礎(chǔ)課程之一，是高校財(cái)經(jīng)類專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程，在培養(yǎng)高素質(zhì)的復(fù)合型人才中具有無法忽視的基礎(chǔ)作用。在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)課程中，如何引入數(shù)學(xué)模型進(jìn)行教學(xué)？本文結(jié)合經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，主要介紹經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中幾個(gè)經(jīng)典的應(yīng)用于財(cái)經(jīng)類專業(yè)的數(shù)學(xué)建模案例，將數(shù)學(xué)融入經(jīng)濟(jì)學(xué)課程中。

關(guān)鍵字：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；案例；微積分

一、引言

數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)全球化以及當(dāng)今世界科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展進(jìn)程中發(fā)揮了至關(guān)重要的作用，經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展的一個(gè)重要特點(diǎn)是定量思維和定量化的不斷加強(qiáng)?？梢哉f當(dāng)今世界的每一項(xiàng)經(jīng)濟(jì)方面的研究與決策都離不開數(shù)學(xué)的運(yùn)用，故數(shù)學(xué)在近十年來已然成為經(jīng)管專業(yè)的重要基礎(chǔ)學(xué)科之一。

二、數(shù)學(xué)建模融入經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中的典型案例

（一）廣告投放越多越好嗎？

廣告是通過各種媒介向消費(fèi)者推銷商品或者承包生活服務(wù)以使客戶更加了解和信任商品或服務(wù)以最終達(dá)到擴(kuò)大銷售目的的一種銷售產(chǎn)品形式。

商業(yè)廣告十分發(fā)達(dá)，在日常生活工作中隨處可見商業(yè)廣告的蹤跡。那么，廣告投放量越多越好嗎？廣告效益與廣告投入成正比嗎？下面我們主要通過微分方程建模來簡單解釋和分析如何才能使廣告收益最大化：

首先我們假設(shè) 表示消費(fèi)者對(duì)某商品的購買量， 表示消費(fèi)者對(duì)該商品的最高需求水平， 表示對(duì)企業(yè)對(duì)該商品投放的廣告量， 表示廣告量的最高投放限制。商品的需求發(fā)展速度 受當(dāng)前消費(fèi)者對(duì)該商品的需求量 與實(shí)際的商品需求發(fā)展?jié)摿?影響；同時(shí)也受廣告投放量 的影響， 不超過 時(shí)，廣告能促進(jìn)消費(fèi)，當(dāng) 超過 ，消費(fèi)者往往會(huì)出現(xiàn)逆反心理，甚至?xí)聹y(cè)該商品是否有質(zhì)量問題等而影響消費(fèi)者對(duì)某商品的購買量 。廣告的投入速度 受消費(fèi)者對(duì)該商品需求量的影響，于是有下面的廣告投入與商品銷售量的微分方程模型： （1.1）

其中 ，k，r是正常數(shù)，μ表示商品的實(shí)際購買水平對(duì)該商品的購買速度增長潛力的影響系數(shù)，k表示廣告投入量對(duì)商品的購買速度的影響系數(shù)，r表示商品的實(shí)際購買水平對(duì)單位時(shí)間內(nèi)的廣告量的影響系數(shù)。

系統(tǒng)（1.1）有兩個(gè)奇點(diǎn)是 和 。

對(duì)于奇點(diǎn)p點(diǎn)，（1.1）的線性近似系統(tǒng)的特征方程為： ，即 +μλ+κγ=0，

當(dāng) 時(shí)，P是穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)；當(dāng) 時(shí)，P點(diǎn)是穩(wěn)定的焦點(diǎn)。

對(duì)于Q點(diǎn)，（1.1）的線性近似系統(tǒng)的系數(shù)矩陣為

特征方程為

這就表示廣告投入并非越多越好，在日常商業(yè)活動(dòng)中需要去仔細(xì)考慮 點(diǎn)，使廣告投放效益最大化。

（二）商品定價(jià)越高越好嗎？

眾所周知，商品的定價(jià)關(guān)乎著銷售企業(yè)的經(jīng)營收入，因此對(duì)于企業(yè)而言商品定價(jià)是至關(guān)重要的一個(gè)經(jīng)濟(jì)決策。那么商品定價(jià)為多少才合適呢，既不會(huì)過高影響消費(fèi)者經(jīng)濟(jì)利益又不會(huì)損失企業(yè)效益，并使企業(yè)達(dá)到利益最大化呢？下面我們通過經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的思維來解釋分析商品價(jià)格與企業(yè)收益之間的關(guān)系，進(jìn)而找到最合理的定價(jià)。這里我們將會(huì)用到微積分中的微分學(xué)。

我們假設(shè)某商品的需求函數(shù)用D=D 表示，且可微。 為價(jià)格p的相對(duì)變量， 為需求D的相對(duì)變量，則稱

為該商品的需求價(jià)格彈性，簡稱需求彈性1，記為 。

需求彈性 表示消費(fèi)者對(duì)該商品的需求量D對(duì)商品價(jià)格p的變動(dòng)的反應(yīng)程度。由于需求函數(shù)是價(jià)格的減函數(shù)，故需求彈性為負(fù)值。當(dāng)商品價(jià)格上漲（或下跌）1%時(shí)，其需求量將減少（或增加）約 。

在商品經(jīng)濟(jì)中，商品銷售者關(guān)心的是提高價(jià)格 或降低價(jià)格 對(duì)銷售商品總收益的影響。設(shè)銷售總收益 則當(dāng) 很小時(shí)，有： ，于是有：

由此可知：

當(dāng) （富有彈性）時(shí)，降低價(jià)格可使銷售總收益增加，也就是常說的薄利多銷多收益，一般適用于一些為非必需品的且容易找到替換物的商品，這些商品價(jià)格變化時(shí)，引起的需求量變化較大，如果價(jià)格變動(dòng)為1%，那么需求變動(dòng)將超出1%，也就是價(jià)格對(duì)需求的影響非常明顯。

當(dāng) （缺乏彈性）時(shí)，提高價(jià)格可使銷售總收益增加，一般適用于社會(huì)必需品，如糧食等，價(jià)格波動(dòng)對(duì)需求影響較小，價(jià)格變動(dòng)1%，需求變動(dòng)小于1%。

當(dāng) （單位彈性）時(shí)，提高價(jià)格或降低價(jià)格對(duì)銷售總收益沒有明顯的影響。

通過上面的分析，讓學(xué)生充分了解微分學(xué)的廣泛應(yīng)用，讓學(xué)生更好地掌握了經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)，也為他們后續(xù)的專業(yè)課學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，提供了有利的保障。

三、結(jié)束語

以上是經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)建模思想的幾個(gè)典型教學(xué)案例，可能還存在需要補(bǔ)充和改進(jìn)完善的地方。同時(shí)從這些案例可以發(fā)現(xiàn)，將數(shù)學(xué)建模的思想融進(jìn)到經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)中，不僅可以提高學(xué)習(xí)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的興趣，還可以較大程度地激發(fā)學(xué)生的潛能。

參考文獻(xiàn)：

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