例談極坐標(biāo)與參數(shù)方程巧解方法

閻芳

摘 要：《極坐標(biāo)與參數(shù)方程》在高考題中屬選考的重要內(nèi)容，大部分學(xué)校都選做這部分內(nèi)容，此部分內(nèi)容與圓錐曲線有很多交集，是對解析幾何的完善。

關(guān)鍵詞：極坐標(biāo)方程 參數(shù)方程 普通方程 幾何意義

極坐標(biāo)與參數(shù)方程在高考文科數(shù)學(xué)中屬中檔答題，是解析幾何、平面向量、三角函數(shù)等內(nèi)容的綜合應(yīng)用，它體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的完美對應(yīng)關(guān)系。本文參照近幾年高考文科數(shù)學(xué)中的高頻題型，例談三種巧解方法。

坐標(biāo)系與參數(shù)方程在高考題中一般設(shè)計(jì)兩個小問。

一、第（1）問：極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、參數(shù)方程與普通方程的互化。

將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)可以把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為常用形式，二者的互化前提是：①極點(diǎn)與原點(diǎn)重合②極軸與X軸正方向重合③取相同的單位長度。④ ， ，ρ2=x2+y2.

參數(shù)方程化為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用方法有：代入消參法、加減消參法、恒等式消參法?；胀ǚ匠虨閰?shù)方程的基本思路是引入?yún)?shù)，一般地常選用的參數(shù)有角、有向線段的數(shù)量、斜率、某一點(diǎn)的橫坐標(biāo)（縱坐標(biāo)）。

二、第（2）問：距離、面積、最值、斜率、坐標(biāo)、代數(shù)式的值等。

（一）巧用參數(shù)方程表示曲線上的點(diǎn)。

在最新的2019全國I卷以及2017全國I卷都出現(xiàn)了曲線上的點(diǎn)到直線距離的最值問題.，通常采用參數(shù)方程來表示曲線上的點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題.結(jié)合輔助角公式及點(diǎn)到直線距離公式求解，注意角度的取值范圍。

（2019全國I卷）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為 .

（1）求C和l的直角坐標(biāo)方程；（2）求C上的點(diǎn)到l距離的最小值.

（1）由 得： ，又

整理可得 的直角坐標(biāo)方程為：

又 ， 的直角坐標(biāo)方程為：

（2）設(shè) 上點(diǎn)的坐標(biāo)為：

則 上的點(diǎn)到直線 的距離

當(dāng) 時， 取最小值，則

（二）巧用參數(shù)方程中t的幾何意義

參數(shù)t的幾何意義的運(yùn)用，從直線的參數(shù)方程（標(biāo)準(zhǔn)形式）入手，保留參數(shù)t進(jìn)行運(yùn)算，使用此方法，需要掌握以下結(jié)論：

1、過點(diǎn)P ，傾斜角為 的直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為

（t為參數(shù)），常見方程 （t為參數(shù)）

若 ，則該方程為標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程；

若 ，化為標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程 （t為參數(shù)）

2、過點(diǎn)P的直線與曲線相交，交點(diǎn)為A，B，對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2.

（1）弦長|AB|=

（2）弦AB的中點(diǎn)?t1+t2=0；（3）|PA||PB|=|t1t2|.

例、設(shè)直線 經(jīng)過點(diǎn) ，傾斜角 . （1）寫出直線 的參數(shù)方程；

（2）設(shè)直線 與圓 相交于兩點(diǎn)A，B.求P到A、B距離的和與積.

解：（Ⅰ）依題意得 ：直線 的參數(shù)方程為 ①

（Ⅱ）由①代入圓的方程 得

由 的幾何意義 ，因?yàn)辄c(diǎn)P在圓內(nèi)，這個方程必有兩個實(shí)根，

所以

（三）巧用極坐標(biāo)方程求解

一般地，都是將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成熟悉的直角坐標(biāo)形式再求解，但在某些題中用極坐標(biāo)方程進(jìn)行解答會使問題更簡單。

（2016全國Ⅱ卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為

（1）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程。

（2）直線 的參數(shù)方程是 （t為參數(shù)）， 與C交于A，B兩點(diǎn)，

|AB|= ，求 的斜率。

解析：（I）由 可得 的極坐標(biāo)方程

（II）在（I）中建立的極坐標(biāo)系中，直線 的極坐標(biāo)方程為

由 所對應(yīng)的極徑分別為 將 的極坐標(biāo)方程代入 的極坐標(biāo)方程得

于是

由 得 ，所以 的斜率為 或 .

坐標(biāo)系是解析幾何的基礎(chǔ)，是聯(lián)系幾何和代數(shù)的橋梁，坐標(biāo)系的思想是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最重要的思想之一，在不同的坐標(biāo)系中同一幾何圖形可以有不同的表示形式，這使解決問題的方法有了更多的選擇