基于（r，Q）策略的易腐品M/M/1/N排隊(duì)庫存系統(tǒng)

張鶴

摘 要：基于（r，Q）訂貨策略研究了易腐品的M/M/1/N庫存模型。假設(shè)顧客的達(dá)到時(shí)間間隔，服務(wù)時(shí)間，易腐品壽命，進(jìn)貨時(shí)間都服從指數(shù)分布，首先，利用擬生滅過程理論得到了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)平衡條件，然后利用矩陣幾何解得到了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率，從而得到了一些系統(tǒng)的性能指標(biāo)，最后，利用系統(tǒng)的性能指標(biāo)得到成本函數(shù)，再利用遺傳算法求解了模型的最優(yōu)庫存策略。

關(guān)鍵詞：易腐品；（r，Q）策略；擬生滅過程；矩陣幾何解；遺傳算法

中圖分類號：TB 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A doi：10.19311/j.cnki.16723198.2019.33.103

1 引言

易腐性產(chǎn)品是指那些必須在有限時(shí)間內(nèi)售出，否則將發(fā)生變質(zhì)、損壞、揮發(fā)、過期且必須進(jìn)行清倉處理的商品，其顯著特點(diǎn)是在儲存和流通的過程中其數(shù)量會因?yàn)樽冑|(zhì)、揮發(fā)、失效等而逐漸減少。如生鮮食品，水果，蔬菜，牛奶，鮮花，藥品等，存儲過程中隨存儲時(shí)間的增加，商品會因?yàn)榘l(fā)生腐爛、變質(zhì)等原因使得數(shù)量減少。目前我國的易腐性產(chǎn)品在流通過程中造成的各種損失非常大，每年易腐產(chǎn)品造成的各種損耗之和高達(dá)千億。所以對易腐品庫存系統(tǒng)的分析是很重要的，易腐品的庫存問題也引起了廣大學(xué)者的關(guān)注。

Schwarz等研究了分別基于隨機(jī)訂購策略，（r，Q）策略，（s，S）策略，等待空間有限或無限的排隊(duì)庫存系統(tǒng)，給出了每個(gè)系統(tǒng)的平穩(wěn)分布。Sivakumar研究了基于（s，S）策略的顧客源有限的易腐品庫存系統(tǒng)，在穩(wěn)態(tài)情況下，給出了庫存水平和需求量的聯(lián)合概率分布。推導(dǎo)了各種系統(tǒng)性能指標(biāo)，并用數(shù)值方法對結(jié)果進(jìn)行了說明。Manuel等研究了基于（s，S）策略的等待空間有限的兩類顧客的易腐品庫存系統(tǒng)，給出了系統(tǒng)的各種性能指標(biāo)以及成本函數(shù)并求解。Ravichandran研究了基于（s，S）策略具有馬爾可夫需求，Erlangian壽命和損失銷售的連續(xù)盤點(diǎn)易腐庫存系統(tǒng)，給出了系統(tǒng)的性能指標(biāo)以及成本函數(shù)。Mohamed 等基于（r，Q）策略研究了具有不耐煩顧客的易腐庫存系統(tǒng)的服務(wù)率最優(yōu)控制問題，利用線性規(guī)劃算法對平穩(wěn)最優(yōu)策略進(jìn)行了計(jì)算，并給出了數(shù)值算例。Perry和Stadje基于（S-1，S）策略研究了具有有限等待空間的延期銷售的易腐品庫存系統(tǒng)，給出了成本函數(shù)并求解。Melikov和Shahmaliyev研究了基于（S-1，S）策略等待空間有限的延期銷售的易腐品庫存系統(tǒng)，給出了系統(tǒng)的性能指標(biāo)以及數(shù)值結(jié)果，解決了成本最小的優(yōu)化問題。

上述文獻(xiàn)多是基于（s，S）策略或是（S-1，S）策略進(jìn)行研究，本文基于（r，Q）訂貨策略研究了易腐品的M/M/1/N庫存模型。第二節(jié)給出了模型的描述，第三節(jié)求解了系統(tǒng)的平衡條件，第四節(jié)利用擬生滅過程求出了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率向量，第五節(jié)給出了系統(tǒng)的性能指標(biāo)，第六節(jié)利用遺傳算法求解出成本函數(shù)的最優(yōu)解，第七節(jié)給出了結(jié)論。

2 模型描述

模型的基本假設(shè)如下：

顧客需求的到達(dá)時(shí)間間隔服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，顧客到達(dá)后按到達(dá)先后順序形成一個(gè)隊(duì)列，并且等待空間是有限的，若系統(tǒng)中有N個(gè)顧客，其他顧客將不會進(jìn)入隊(duì)列。每位顧客的需求量為一個(gè)單位的庫存。

系統(tǒng)中只有一個(gè)服務(wù)員，采用先到先服務(wù)的服務(wù)規(guī)則。服務(wù)需要一定的時(shí)間，服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布。商品的壽命服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布，商品變質(zhì)后不能出售，庫存數(shù)量相應(yīng)減少。

系統(tǒng)采用（r，Q）進(jìn)貨策略，即當(dāng)系統(tǒng)的庫存水平下降到安全水平r時(shí)，系統(tǒng)立即向供貨商發(fā)出訂貨請求，每次訂貨量為Q，進(jìn)貨時(shí)間服從參數(shù)為β的指數(shù)分布。

系統(tǒng)是延期銷售的，即當(dāng)庫存為零時(shí)，允許顧客可以進(jìn)入系統(tǒng)進(jìn)行等待。需求到達(dá)，服務(wù)過程和進(jìn)貨過程是相互獨(dú)立的。

3 系統(tǒng)平衡條件

3.1 狀態(tài)過程

我們規(guī)定系統(tǒng)的狀態(tài)過程為{X（t），Y（t）；t0}，其中X（t）表示t時(shí)刻系統(tǒng)中的顧客數(shù)量，Y（t）表示t時(shí)刻的庫存數(shù)量。

狀態(tài)空間為：

Ω=i，j，0

3.2 系統(tǒng)平衡條件

根據(jù)擬生滅過程定義可知過程{X（t），Y（t）；t≥0}是擬生滅過程，令F=B+C+D，有

所以，公式（1）就是系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)平衡的充分必要條件。πDα表示系統(tǒng)中顧客的到達(dá)率，πCα表示系統(tǒng)庫存不為零時(shí)的服務(wù)率，即當(dāng)系統(tǒng)的到達(dá)率小于服務(wù)率時(shí)系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)平衡。

4 矩陣幾何解

定義穩(wěn)態(tài)概率為：

第三步：由公式（2）和方程組（3）可得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率向量。

5 穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)

5.1 平均等待隊(duì)長

Elq=∑N-1i=1∑r+Qj=0iPi+1，j

=∑N-1i=1iPi+1e2

=P0RI-RN-1I-R-2-N-1RN-1I-R-1e2

5.2 平均庫存

Ei=∑Ni=0∑r+Qj=0jPi，j=∑Ni=0Pie3=P0（I-RN+1）I-R-1e3

其中e3=0，1，…，r+QT

5.3 平均訂貨率

Ep=∑Ni=0∑rj=0βjPi，j=∑Ni=0βPie4=βP0（I-RN+1）I-R-1e4

其中e4=（a，b）T，a是r+1維的行向量，所有元素都是1，b是Q維行向量，所有元素都是0。

5.4 平均庫存損失率

Er=∑Ni=0∑r+Qj=0θjPi，j=∑Ni=0θPie3=θP0（I-RN+1）I-R-1e3

（5）顧客平均損失率

Eli=λ∑r+Qj=0P（N，j）=λPNe2=λP0RNe2

6 成本分析

系統(tǒng)的成本假設(shè)主要由顧客平均等待成本，庫存保管成本，每次訂貨成本，產(chǎn)品腐壞成本和顧客損失成本組成。假設(shè)每位顧客平均等待成本是C1，單位時(shí)間單位庫存的保管成本是C2，單位時(shí)間每次訂貨成本是C3，單位時(shí)間產(chǎn)品腐壞成本是C4，單位時(shí)間顧客損失成本C5。所以系統(tǒng)的成本函數(shù)是：

Cr，Q=C1El+C2Ei+C3Ep+C4Er+C5Eli

遺傳算法是模擬達(dá)爾文生物進(jìn)化理論中自然選擇和遺傳機(jī)制的計(jì)算模型，是一種通過模擬自然進(jìn)化過程來尋找最優(yōu)解的方法。本文采用[13]中的遺傳算法來進(jìn)行最優(yōu)解的搜索，具體步驟如下：

第一步：初始化：設(shè)置進(jìn)化代數(shù)計(jì)數(shù)器t=0，設(shè)置最大進(jìn)化代數(shù)T，隨機(jī)生成M個(gè)個(gè)體作為初始群體P（0）。

第二步：個(gè)體評價(jià)：計(jì)算群體P（t）中各個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度。

第三步：選擇運(yùn)算：將選擇算子作用于群體。選擇的目的是把優(yōu)化的個(gè)體直接遺傳到下一代或通過配對交叉產(chǎn)生新的個(gè)體再遺傳到下一代。

第四步：交叉運(yùn)算：將交叉算子作用于群體。判斷個(gè)體的有效性，如果是有效個(gè)體，則保留；如果是無效個(gè)體，則隨機(jī)生成一個(gè)交叉位置進(jìn)行交叉，直至有效。

第五步：變異運(yùn)算：將變異算子作用于群體。判斷個(gè)體的有效性，如果是有效個(gè)體，則保留；如果是無效個(gè)體，則隨機(jī)生成一個(gè)交叉位置進(jìn)行交叉，直至有效。

第六步：對新種群適應(yīng)度評價(jià)，找到最好的染色體，將它與上一次進(jìn)化中最好的染色體比較，記錄每一代進(jìn)化中最好的適應(yīng)變和平均適應(yīng)度。

第七步：終止條件判斷：如果滿足算法終止的條件，輸出當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體，算法結(jié)束；如果不滿足算法終止的條件，轉(zhuǎn)到第三步。

本文研究了λ，μ，θ，β對最優(yōu)策略和最優(yōu)成本的影響，令C1=2，C2=5，C3=20，C4=50，C5=15，N=50。

其中參數(shù)設(shè)置為λ=2，μ=5，θ=0.1，由表4可知，隨著β的增大，最優(yōu)成本逐漸增大，最小庫存無明顯改變，訂貨量都逐漸減小。

7 結(jié)論

本文基于（r，Q）訂貨策略研究了易腐品的M/M/1/N庫存模型。根據(jù)系統(tǒng)符合擬生滅過程得到了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)平衡條件，采用矩陣幾何解方法得到了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率，從而得到了一些系統(tǒng)的性能指標(biāo)，最后，利用系統(tǒng)的性能指標(biāo)得到成本函數(shù)，再利用遺傳算法求解了模型的最優(yōu)庫存策略，研究了系統(tǒng)各個(gè)參數(shù)對成本，最低庫存以及訂貨量的影響。

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