關于區(qū)間數(shù)絕對值運算的幾個結果

覃小莉,KHALIL Ahmed,張 琛,李生剛

(1.陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院,陜西 西安 710062;2.成都師范學院 德陽高級中學,四川 德陽 618000;3.隴東學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院,甘肅 慶陽 745000)

1 引言及預備知識

區(qū)間數(shù)的理論和應用在建立區(qū)間值微分方程理論[1], 區(qū)間值最優(yōu)化理論[2]以及模糊值函數(shù)的微分理論[3]中有著重要地位, 所以清楚區(qū)間數(shù)的性質有很重要的意義。 一些學者對區(qū)間數(shù)做了不少的研究, 豐富了區(qū)間數(shù)的理論知識[4-6]。區(qū)間數(shù)理論的基本思想是應用區(qū)間數(shù)變量代替點變量進行計算,所以在應用問題[4-10]中區(qū)間數(shù)經(jīng)常被使用。 文獻[11]研究了區(qū)間數(shù)絕對值的性質, 但是對于區(qū)間數(shù)的四則運算沒有進行仔細的討論。文獻[12-13]研究了區(qū)間數(shù)的特殊值-模糊值相關問題, 但是對于區(qū)間數(shù)的一般值沒有研究。本文借助數(shù)的四則運算和一元運算的一般概念, 討論了區(qū)間數(shù)相關性質并定義一種新的區(qū)間數(shù)絕對值運算。

(1) 加法

(2) 減法

減法也可以定義為

(3) 乘法

乘法也可以定義為

(4) 除法

除法也可以定義為

文獻[11]定義了區(qū)間數(shù)的一種絕對值運算:

該作者證明了這種絕對值運算具有許多良好性質。 本文將定義區(qū)間數(shù)的另一種絕對值運算:

2 主要結果

定理1R上的絕對值運算(|·|和‖·‖)及四則運算有下列性質:

成立；在其余情形,即(ⅴ)～(ⅷ)之一時不等式

成立。

(11) |[a*?b*]c|≤[‖a*?b*‖]c。

(16) [(a*⊙b*)⊕(a*⊙c*)]c=[a*⊙(b*⊕c*)]c。

(17) 當a*,b*,c*同號時, 有a*⊙(b*⊕c*)=(a*⊙b*)⊕(a*⊙c*)。

其余結論顯然成立。

(2) 考慮以下4種情形。

(3) 由(2)和(1)知

(4) 由(1)知，k1k2=0時等式成立。當k1>0且k2>0時，

同理可證當k1<0且k2<0時等式成立。

(7)k1k2=0時,等式顯然成立。設k1k2≠0,分4種情形討論。

即等式是成立的。

即等式是成立的。

若k1>0且k2<0,則

即k1<0且k2>0時等式也是成立的。

若k1>0且k2<0,則

即k1<0且k2>0時等式也是成立的。

(10) 由減法和絕對值的定義可以得到等式

及

(11) 事實上,由定義得

[‖a*?b*‖]c

(16) 由

[(a*⊙b*)⊕(a*⊙c*)]c=

和

[a*⊙(b*⊕c*)]c=

知

[(a*⊙b*)⊕(a*⊙c*)]c=[a*⊙(b*⊕c*)]c

(17) 當a*?0,b*?0,c*?0 時,有

而

即

a*⊙(b*⊕c*)=a*⊙b*⊕a*⊙c*

當a*0,b*0,c*0 時, 有

而

即

a*⊙(b*⊕c*)=a*⊙b*⊕a*⊙c*

注1等式

和