有多少錯可以重來

文 吳秀蘭

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)形結(jié)合是一種典型的幾何直觀方法。下面以數(shù)軸或絕對值為背景，對同學(xué)們出現(xiàn)的一些錯誤進行剖析。

例1利用數(shù)軸可以解決生活中的實際問題：小英媽媽開車從家出發(fā)，向西開了500m，到健身館游泳，然后向西開了400m到超市買菜，又向東開了1km到小英學(xué)校接她放學(xué)。（1）請以小英家為原點，以向東方向為正方向，用1個單位長度表示100m，畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上標(biāo)出健身館、超市、學(xué)校、小英家。（2）小英家距超市多遠？小英媽媽共行駛了多少m？

【錯解】在第（2）問，有不少同學(xué)計算小英媽媽行駛的路程為：-500+（-400）+1000=100m。

【錯解分析】本題要注意條件，題中的單位有m、km，首先要統(tǒng)一單位；這里向東為正，向西為負(fù)，所以“+”“-”只表示方向。一些同學(xué)在做題過程中，忘了路程不能為負(fù)數(shù)這一事實。小英媽媽行駛的路程應(yīng)該是所有路程的和。

【正解】（1）規(guī)定小英家為原點，向東的方向為正，向西為負(fù)，一個單位長度表示100m，畫出數(shù)軸如圖1。

圖1

（2）由圖可知：小英家距超市900m。根據(jù)絕對值的意義，列出算式小英媽媽共行駛了1900m。

變式1某出租車從停車場出發(fā)，沿著東西向的大街行駛。到晚上6時，出租車一天行駛記錄如下（向東記為正，向西記為負(fù)，單位：km）：+10、-3、+4、+2、+8、+5、-2、-8、+12、-5、-7。（1）到晚上6時，出租車在什么位置？（2）若汽車每km耗0.2L油，則從停車場出發(fā)到晚上6時，出租車共耗油多少L？

參考答案：（1）出租車在停車場東面16km處；（2）出租車耗油13.2L。

例2|4-1|表示4與1差的絕對值，也可以理解為4與1兩個數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離；|4+1|可以看作表示4與-1的差的絕對值，也可以理解為4與-1兩個數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點間的距離。請根據(jù)以上表述，計算：利用數(shù)軸找出所有符合條件的整數(shù)x，使得，則x=_____。（4）利用數(shù)軸找出所有符合條件的整數(shù)x，使得這樣的整數(shù)x是_____。

【錯解】（1）（2）較基礎(chǔ)，正確率較高。（3）中，一些同學(xué)只得出x=2，漏解x=-8。（4）中，同學(xué)們的錯誤也是漏解，大多數(shù)同學(xué)會寫出x=0、-3、2。

【錯解分析】（3）中，同學(xué)們習(xí)慣于2+3=5，而忽略絕對值的概念。實際去掉絕對值符號，得x+3=±5。（4）有一定的難度，同學(xué)們會湊答案，而不會去畫數(shù)軸，利用絕對值的幾何意義解決。

【正解】（1）5；（2）7。

圖2

圖3

變式2已知，x是整數(shù)，則滿足該等式的x的值是_______。

【錯解】x是4、-5。

【錯解分析】設(shè)在數(shù)軸上，-3對應(yīng)的點為A，2對應(yīng)的點為B，x對應(yīng)的點為D。一些同學(xué)沒有正確理解題意，誤認(rèn)為AB+BD=7，或者AB+AD=7，導(dǎo)致錯解。

【正解】我們在數(shù)軸上把A、B兩點標(biāo)出來，然后分情況討論x。

（1）當(dāng)D點在線段AB內(nèi)部，即-3≤x≤2時，如圖4，AD+DB=5，不合題意，舍去。

圖4

（2）當(dāng)D點在B點右側(cè)，即x＞2時，如圖5。因為AD+BD=7，即AB+2BD=7，又AB=5，所以BD=1。此時x=3。

圖5

（3）當(dāng)D點在A點左側(cè)，即x＜-3時，如圖6。因為AD+BD=7，即AB+2AD=7，又AB=5，所以AD=1。此時x=-4。

圖6

綜上，x的值是3、-4。