基于實(shí)功法的結(jié)構(gòu)剛度效率分析

羅若帆，王仕成，陳奇納，歐陽(yáng)志勇

（1、嘉應(yīng)學(xué)院土木工程學(xué)院 廣東梅州514015；2、廣東省建筑設(shè)計(jì)研究院 廣州510010；3、悉地國(guó)際設(shè)計(jì)顧問(wèn)（深圳）有限公司 深圳518048）

高層建筑結(jié)構(gòu)方案的優(yōu)化對(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)至關(guān)重要，對(duì)于高層及超高層結(jié)構(gòu)，剛度控制尤為重要，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)人員能否快速準(zhǔn)確調(diào)整結(jié)構(gòu)剛度，決定了結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)全過(guò)程的效率。有學(xué)者運(yùn)用能量法中的單位載荷法對(duì)控制點(diǎn)位移進(jìn)行調(diào)整［1-2］，但實(shí)際工程更側(cè)重結(jié)構(gòu)整體剛度的控制，實(shí)踐表明該方法對(duì)結(jié)構(gòu)剛度調(diào)整效率不高。文章通過(guò)簡(jiǎn)單算例，驗(yàn)證了SAP2000 軟件虛功圖的工作原理，并根據(jù)應(yīng)變能和卡氏定理的關(guān)系［3］，對(duì)比驗(yàn)證了軟件的輸出結(jié)果，推導(dǎo)展示了結(jié)構(gòu)應(yīng)變能與剛度的關(guān)系，以此為基礎(chǔ)對(duì)結(jié)構(gòu)剛度進(jìn)行調(diào)整，并采用該方法對(duì)一超高層結(jié)構(gòu)進(jìn)行截面調(diào)整，結(jié)果表明該方法對(duì)快速準(zhǔn)確調(diào)整結(jié)構(gòu)剛度具有較高的效率。

1 實(shí)功法在桁架模型中的應(yīng)用

1.1 桁架模型的建立

為驗(yàn)證實(shí)功法在軟件中應(yīng)用的可行性，在SAP2000 中建立簡(jiǎn)單二維桁架模型，設(shè)置所有桿件截面均采用φ100×6的鋼管，材料均為Q345，不考慮結(jié)構(gòu)自重，荷載工況僅考慮指定水平荷載，結(jié)構(gòu)布置及荷載分布如圖1 所示。

圖1 結(jié)構(gòu)布置Fig.1 Layout of the Structure

1.2 實(shí)功法的應(yīng)用

基于“虛功原理”的虛功法僅考慮單位荷載作用位置為位移監(jiān)測(cè)點(diǎn)，所有的調(diào)整均直接作用于該點(diǎn)。實(shí)際工程上更側(cè)重結(jié)構(gòu)整體剛度的控制，如滿足層間位移角限值、結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)風(fēng)振加速度限值等。因此采用另一種基于能量法的分析方法，即以外力功與結(jié)構(gòu)所有構(gòu)件應(yīng)變能之和相等的實(shí)功法，該方法計(jì)算位移的能力不如虛功法靈活全面，但根據(jù)其計(jì)算原理，可高效運(yùn)用于調(diào)整結(jié)構(gòu)剛度。

已知外力所做的功，可表達(dá)為：

式中：Fi為作用點(diǎn)外力；△i為作用點(diǎn)位移。

應(yīng)變能是結(jié)構(gòu)變形過(guò)程中貯存在結(jié)構(gòu)內(nèi)部的勢(shì)能，可分為構(gòu)件應(yīng)變能和結(jié)構(gòu)應(yīng)變能，結(jié)構(gòu)應(yīng)變能等于所有構(gòu)件應(yīng)變能之和，根據(jù)卡氏定理［4］，桿件應(yīng)變能計(jì)算公式如下：

桁架只考慮軸力，式⑵可簡(jiǎn)化為：

桁架中各桿截面面積和軸力沿桿長(zhǎng)為常數(shù)，式⑶可簡(jiǎn)化為：

式中：vεi為桿件應(yīng)變能；Ni為實(shí)際荷載下桿件內(nèi)力。

根據(jù)能量守恒定律，桿件應(yīng)變能等于外力功：

結(jié)構(gòu)外力做功等于結(jié)構(gòu)所有桿件應(yīng)變能之和：

結(jié)構(gòu)剛度與變形關(guān)系可定義為：

根據(jù)式⑴、式⑹和式⑺可得到結(jié)構(gòu)剛度與應(yīng)變能之間的關(guān)系：

由式⑻可知，結(jié)構(gòu)剛度與桿件應(yīng)變能之和成反比，由式⑶可知，應(yīng)變能無(wú)負(fù)功，因此增大桿件截面，應(yīng)變能總和將減小，結(jié)構(gòu)剛度增加，而增大應(yīng)變能較大的桿件截面，對(duì)該桿件的應(yīng)變能減小較多，而內(nèi)力重分布幅度較小，對(duì)其他桿件影響較小，因此對(duì)提高結(jié)構(gòu)剛度有更好的效果。由于該方法在軟件中的應(yīng)用未見(jiàn)文獻(xiàn)報(bào)道，故采用SAP2000 軟件中輸出虛功圖的功能，通過(guò)該桁架算例，對(duì)該功能計(jì)算結(jié)果與手算進(jìn)行完整的全過(guò)程對(duì)比?；趯?shí)功法，將實(shí)際狀態(tài)和虛擬狀態(tài)均設(shè)置為采用實(shí)際荷載分布，如圖2 所示。

圖2 荷載布置Fig.2 Load Distribution

由于SAP2000 輸出虛功圖數(shù)值為單位體積下的，即為：

桿件應(yīng)變能除以體積V 為應(yīng)變能密度，由式⑷除以V 可得：

為驗(yàn)證數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，對(duì)該桁架模型所有桿件進(jìn)行手算應(yīng)變能密度，并與軟件數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，軸力圖及軟件輸出虛功圖如圖3 所示，桿件按照輸出虛功值的大小編號(hào)，由于10 號(hào)桿軸力為0，故不計(jì)算。計(jì)算對(duì)比結(jié)果如表1 所示。

圖3 桿件軸力及輸出虛功值Fig.3 Axial Force of Members and Virtual Work Value

表1 公式計(jì)算值與軟件輸出值Tab.1 Formula Value and Software Value

從表1 數(shù)值對(duì)比結(jié)果可知，軟件輸出虛功圖數(shù)值為應(yīng)變能密度的2 倍，即無(wú)論實(shí)際工況與虛擬工況如何設(shè)置，其值均由式⑾計(jì)算：

該數(shù)值雖然與應(yīng)變能密度存在2 倍的關(guān)系，但仍可反映應(yīng)變能密度，根據(jù)式⑻，可知其與剛度之間的關(guān)系，顯然通過(guò)增大應(yīng)變能密度最大的桿件，對(duì)結(jié)構(gòu)剛度的提高效率最高，為了更直觀地觀察桿件間的應(yīng)變能大小關(guān)系，通過(guò)軟件輸出虛功相對(duì)值，如圖4 所示。該數(shù)值為桿件虛功值除以虛功值最大的桿件的值，再乘以放大系數(shù)100 后的結(jié)果，按式⑿計(jì)算：

圖4 應(yīng)變能密度相對(duì)值Fig.4 Relative Value of Strain Energy Density

表2 調(diào)整各桿件截面的計(jì)算結(jié)果Tab.2 The Calculation Results after Adjusting the Cross Section of Each Member

根據(jù)調(diào)整結(jié)果可以看出，調(diào)整應(yīng)變能密度大的桿件，減小桿件應(yīng)變能密度和效率更高，由于外力做功等于桿件應(yīng)變能之和，在外力恒定的情況下，總體位移將減小，桿件應(yīng)變能之和減小的幅度大，則總體位移減小較多，而增大桿件應(yīng)變能密度小的桿件，效率則較低。由于外力做功與應(yīng)變能直接相關(guān)，由式⑽可知應(yīng)變能密度與應(yīng)變能的關(guān)系，由于2 號(hào)桿的長(zhǎng)度比1 號(hào)桿長(zhǎng)，因此雖然1 號(hào)桿應(yīng)變能密度較大，但其應(yīng)變能較2 號(hào)桿略小，實(shí)際工程中大部分構(gòu)件均為豎直方向，長(zhǎng)度相同，且尺寸不會(huì)相差太大，因此采用更直觀的應(yīng)變能密度相對(duì)值來(lái)調(diào)整桿件效率更高。

2 實(shí)功法在工程中的應(yīng)用

在實(shí)際工程中，結(jié)構(gòu)受力復(fù)雜，任何構(gòu)件均承受軸力、彎矩、剪力、扭矩等作用，人工計(jì)算難度較大，因此可采用已在桁架模型中驗(yàn)證的方法，對(duì)工程模型進(jìn)行調(diào)整。

2.1 工程概況

建筑為L(zhǎng)OFT 公寓，結(jié)構(gòu)體系為剪力墻結(jié)構(gòu)，層數(shù)為35 層，層高為4.5 m，結(jié)構(gòu)總高度157.5 m，抗震設(shè)防烈度為7 度（0.10 g），地震分組為第一組，場(chǎng)地類別為Ⅱ類，基本風(fēng)壓為0.55 kN/m2，地面粗糙度類別為C 類，體型系數(shù)為1.40。層間位移角限值為1/766（該工程執(zhí)行《高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程（廣東省標(biāo)準(zhǔn)）：DBJ 15-92-2013》［5］）。圖5 為原結(jié)構(gòu)布置圖（結(jié)構(gòu)布置完全對(duì)稱，因此取原結(jié)構(gòu)平面圖的一半示意），最大層間位移角為1/643（27 層，Y 向風(fēng)荷載工況），Y 向第1 周期為3.88 s。

圖5 首層應(yīng)變能密度相對(duì)值Fig.5 Relative Value of Strain Energy Density in the First Layer （kN，mm）

2.2 剛度調(diào)整

根據(jù)全樓應(yīng)變能密度分布可以看出，全樓底部約1/4 高度范圍內(nèi)應(yīng)變能密度較大，越往上應(yīng)變能密度越小，因此可主要調(diào)整下部標(biāo)準(zhǔn)層截面，根據(jù)平面圖應(yīng)變能密度相對(duì)值（見(jiàn)圖5），外圍墻翼緣應(yīng)變能密度值較大，內(nèi)部剪力墻及梁數(shù)值較小，因此直接調(diào)整外圍翼緣截面。由于需要控制剛度的方向?yàn)閅 方向，翼緣厚度為截面計(jì)算高度h，因此增大翼緣厚度對(duì)提高慣性矩I 更有效。截面調(diào)整情況如圖6 所示（填充部分為增加的截面）。經(jīng)過(guò)微小的調(diào)整，周期為3.49 s，最大層間位移角降低為1/767，滿足規(guī)范限值的要求。

圖6 結(jié)構(gòu)平面圖Fig.6 Structure Plan

3 結(jié)論

采用實(shí)功法可計(jì)算出結(jié)構(gòu)應(yīng)變能，并推導(dǎo)出應(yīng)變能與剛度之間的關(guān)系，根據(jù)應(yīng)變能密度的大小關(guān)系，可快速高效調(diào)整剛度。工程中結(jié)構(gòu)構(gòu)件應(yīng)變能由彎矩、剪力和軸力等貢獻(xiàn)，由簡(jiǎn)單桁架模型推導(dǎo)并驗(yàn)證的結(jié)論，可直接在工程結(jié)構(gòu)中應(yīng)用，根據(jù)應(yīng)變能密度及大小關(guān)系調(diào)整截面尺寸，可高效地調(diào)整結(jié)構(gòu)剛度。