基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的三角函數(shù)教學(xué)研究

馮幸利

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括以下幾個方面：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析。中學(xué)階段是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個重要時期，而三角函數(shù)就是一個很好的載體，本文將以三角函數(shù)為例對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)進(jìn)行闡述。

就高中三角函數(shù)這一內(nèi)容來說，是對初中所學(xué)銳角三角函數(shù)的繼續(xù)，是在高中階段系統(tǒng)學(xué)習(xí)的又一個基本初等函數(shù)，它既是對函數(shù)定義的進(jìn)一步理解，又是對函數(shù)的周期性及函數(shù)思想的進(jìn)一步深化，同時也是高考中重要的考核內(nèi)容。教學(xué)中，如何引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律并進(jìn)行歸納，逐步掌握形與數(shù)的結(jié)合，熟練應(yīng)用數(shù)學(xué)術(shù)語、數(shù)學(xué)符號進(jìn)行運算，養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的方法解決問題的良好習(xí)慣和品質(zhì)顯得尤為重要。三角函數(shù)這一內(nèi)容，很大一部分學(xué)生認(rèn)為難：概念理解難、公式記不住、形與數(shù)結(jié)合不起來、運算無法下手等等。在教學(xué)過程中，通過對學(xué)生情況的長期分析，發(fā)現(xiàn)問題主要集中在以下幾個方面：

1.抽象問題具體化

三角函數(shù)是非常典型的周期函數(shù)，學(xué)生對“周期”一詞理解不夠深刻。這時候我列舉古今中外大量實例，比如，我們學(xué)校每學(xué)期有二十周左右上課時間，為什么我們的課表上只有禮拜一到禮拜六？今天是你的生日，三百六十五天后又是你的生日。四季更替，六十年一甲子，時鐘轉(zhuǎn)動，日出日落等等實例，引導(dǎo)學(xué)生理解：一組事件或現(xiàn)象按同樣順序重復(fù)出現(xiàn)，叫周期現(xiàn)象，其連續(xù)兩次所經(jīng)過的時間叫周期。再如，《角的概念的推廣》，同學(xué)們認(rèn)為初中角已經(jīng)講得很完善了，現(xiàn)在講是不是重復(fù)？我們可以用大家已知的旋轉(zhuǎn)定義法，把圓規(guī)始邊固定終邊轉(zhuǎn)動（可以讓學(xué)生動手），這一過程中可以設(shè)問：如果剎車失靈會怎樣？顯然汽車旋轉(zhuǎn)會超過360度。那么再問：能超多少呢？同學(xué)們自然會想到既然能超，那么超多少就無法控制了。這樣，角自然就在同學(xué)們心中推廣到無限大。連續(xù)問：剛才我們是順時針轉(zhuǎn)動，那么自然逆時針也可以轉(zhuǎn)動呀！如何區(qū)分？（引入負(fù)角）很順利地就把角的范圍推廣到實數(shù)。再說明此時正負(fù)其實只表方向。

還有弧度制，同學(xué)們不理解“弧度”是咋樣來的，為什么能作為單位去度量，弧度制有什么好處？我們可以利用同心圓，利用相似知識，讓學(xué)生看清楚想明白無論大圓、小圓，只要它的弧長等于自己的半徑，那么它所對的圓心角就是不變的，也只有不變的東西才能作為單位去度量別人。那么引入弧度制以后，角的大小就可以用實數(shù)來表示。

2.形與數(shù)的結(jié)合

形數(shù)結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想，在學(xué)習(xí)過程中不少學(xué)生對此領(lǐng)悟不深導(dǎo)致不能很好應(yīng)用。第一，在三角函數(shù)教學(xué)過程中我們要貫穿這種思想，比如，在介紹任意角的三角函數(shù)時，我們緊密結(jié)合圖形（圖略）讓學(xué)生看清楚點M（x，y），OM=r（r>0），那么依據(jù)相似原理，任意角的三角函數(shù)值與點M的位置無關(guān)。第二，就此我們可以讓學(xué)生自己說出各象限角的三角函數(shù)值的正負(fù)特點。第三，對于三角函數(shù)圖像，我們最好不要用ppt或投影儀直接給出，最好用傳統(tǒng)的平移三角函數(shù)線或其他方式，用描點連線法逐步畫出。在此過程中，隨著老師的操作和講解，學(xué)生也可以有一個思考和模仿過程，這樣可以加深學(xué)生的印象，體會操作流程，同時起到培養(yǎng)學(xué)生動手能力的作用。

3.熟練運算

數(shù)學(xué)中的熟練運算建立在具有良好計算習(xí)慣和對公式的準(zhǔn)確記憶基礎(chǔ)上。平時大家常說“背公式”，好像公式都要死記硬背。其實數(shù)學(xué)公式光靠死記硬背是不行的。在介紹完有關(guān)概念后，對于公式（大部分）的得出數(shù)學(xué)老師要給出板書推導(dǎo)，讓學(xué)生不僅知其然更知其所以然。比如誘導(dǎo)公式，我們要通過“形”，讓學(xué)生理解π+a，π-a與a的關(guān)系，自然就理解了它們與三角函數(shù)值之間的關(guān)系，也就是所謂的“函數(shù)名不變，符號看象限”。也只有公式記憶深刻學(xué)生才可能熟練運算。

4.充分想象

關(guān)于這一點，在求三角函數(shù)最值、周期、單調(diào)區(qū)間時表現(xiàn)最明顯。例如，求y=Asin（ωx+[?]） 單調(diào)區(qū)間時，不少學(xué)生提出y=sinx中的x與y=Asin（ωx+[?]）中的x不是同一個嗎？為什么范圍不一樣？這里要告訴學(xué)生都寫x是函數(shù)自變量的習(xí)慣寫法，其實ωx+[?]整體上相當(dāng)于y=sinx中的x，顯然它們的范圍是不同的。

總之，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個長期的過程，我們只有在日常教學(xué)過程中依據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)律和學(xué)生實際情況適時調(diào)整方法，才能逐步培養(yǎng)好學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，才能使學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維方式，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)和在實踐中應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法解決問題打好基礎(chǔ)。

作者單位 ?陜西省榆林市第十二中學(xué)