基于最小二乘法多項式擬合三角測量模型研究

盧治功，賀 鵬，職連杰，陳文建

(1.中電科信息產(chǎn)業(yè)有限公司，河南 鄭州450007；2.中國電子科技集團公司 第二十七研究所，河南 鄭州450007；3.南京理工大學 電子工程與光電技術(shù)學院，江蘇 南京 210094)

引言

光學三角測量法是一種古老測量方法。二十世紀六十年代以來，隨著激光技術(shù)和光電探測器件(PSD、CCD)的快速發(fā)展，利用激光器具有光束方向性好、亮度高的特點形成的激光三角測量法快速發(fā)展。它具有非接觸測量、測量范圍大(亞微米～百米量級)、相對測量精度高、結(jié)構(gòu)簡單、環(huán)境適應性強等多種優(yōu)點，被廣泛應用于工業(yè)自動化、航空航天、生物醫(yī)學等國民經(jīng)濟多個領(lǐng)域。

工程應用中雖然激光三角測量的結(jié)構(gòu)參數(shù)是確定的，但是其具體數(shù)值不具備準確度量的可能性,例如物方工作距離a、像方工作距離b、發(fā)射和接收光軸夾角θ，難以找到測量基準和測量方法進行準確測量；另外其理論計算模型也是非線性的。因此激光三角測量傳感器均需要裝配完成后進行模型標定。本文根據(jù)激光三角測量中計算模型的實際需要，研究分析了最小二乘法多項式擬合三角測量計算模型方法，提出了根據(jù)最大相對擬合殘差要求、結(jié)合相關(guān)系數(shù)用于控制擬合多項式階數(shù)的評價方法，并通過實際測量系統(tǒng)的數(shù)據(jù)進行了驗證分析。

1 激光三角測量方法檢測原理及影響因素

1.1 激光三角測量方法檢測原理

激光三角法利用了被測物體表面對激光束的漫反射效應，是最常用的激光測位移的方法之一。圖1分別給出單點式激光三角法斜射結(jié)構(gòu)[2-3][11-13]。

其測量原理是：激光器1發(fā)出光線經(jīng)透鏡2傾斜(或垂直)入射到被測物體表面3形成光斑，物體表面高度變化導致入射光點沿入射光軸移動，光斑透過透鏡4成像在CCD光敏面5上。若光斑點在成像面上的位移為y，像點在被測面的位移Y，則有(1)式所示關(guān)系存在。

(1)

式中：a為激光束光軸和接收透鏡光軸的交點到透鏡前主面的距離；b為接收透鏡后主面到成像面中心點的距離；θ1為激光束光軸和被測面法線的夾角；θ2為成像透鏡光軸和被測面法線的夾角。當θ1=0時，相當于直射式三角測量，關(guān)系式變化為(2)式。

(2)

圖1 激光三角法斜射式結(jié)構(gòu)Fig.1 Laser triangulation oblique structure

在實際應用中，一般采用激光三角法直射結(jié)構(gòu)方案。本文是研究激光三角測量的模型建立方法，用(1)式作為分析的基礎(chǔ)更具有普遍意義。

1.2 影響激光三角測量的主要因素

在實際三角測量系統(tǒng)中，存在許多影響因素，在文獻[1-3][11]中有詳細的分析。首先是成像系統(tǒng)誤差；二是光電傳感器、電路處理誤差；三是數(shù)據(jù)處理誤差；四是溫度、濕度等環(huán)境因素誤差；最后是被測表面引入的誤差。上述影響因素中，最后兩項為外部因素，取決于使用環(huán)境和被測目標。本文主要研究測量模型的內(nèi)在問題，不考慮這兩項。

本文主要研究的是測量過程中的系統(tǒng)誤差消除、討論建立數(shù)據(jù)模型的方法。在激光三角測量中系統(tǒng)誤差的來源包括光學系統(tǒng)引入的誤差、CCD(PSD)定位的非線性[6]、處理電路引入的誤差。

計算(1)式是在理想情況下得到的，上述系統(tǒng)誤差在實際應用中難以度量和消除，只有通過標定的方法才能建立準確的測量模型，消除系統(tǒng)誤差。

1.3 測量數(shù)學模型建立的依據(jù)和方法

三角測量計算公式(1)雖然在實際中不能完全通過各種參數(shù)確定，但是根據(jù)光學成像規(guī)律，在成像范圍內(nèi)物點位移y和像點位移x之間一一對應、無尖角(極限處處存在)、無間斷點，因此一定存在一個光滑、連續(xù)函數(shù)y=f(x)。根據(jù)泰勒定理，任何一個光滑函數(shù)均可以展開為一個無窮多項式：

y=f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a0xn+…

(3)

因此，測量數(shù)學模型可以通過測量一組像點和對應物點的數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，m)，擬合一個n次多項式Pn(x)來逼近f(x)，求得一個近似解析表達式：

y=f(x)≈Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn

(4)

2 最小二乘法擬合多項式的基本原理

在科學實驗中[4]，經(jīng)常從一組實驗數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1，2，…，m)出發(fā)，尋求函數(shù)y=f(x)的一個近似表達式y(tǒng)=p(x)。由于實驗數(shù)據(jù)帶有一定誤差，一般用曲線擬合的方法進行數(shù)據(jù)處理。文獻[8-9][15]對數(shù)據(jù)擬合進行了詳盡的分析。

通常根據(jù)“使偏差平方和最小”的原則來選取擬合曲線y=p(x)，這種方法稱為最小二乘法。用最小二乘法解決實際問題有兩個步驟：第一、根據(jù)所給數(shù)據(jù)點的變化趨勢確定p(x)所具有的形式；第二、按最小二乘法求得最小二乘解。經(jīng)常采用最小二乘曲線擬合y=p(x)具有多項式形式：

pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n

(5)

(6)

3 建立實驗光學系統(tǒng)及數(shù)據(jù)分析

3.1 數(shù)據(jù)計算模型的評價

首先，分析決定系數(shù)r2(相關(guān)系數(shù)r的平方)的計算方法公式(7)。

(7)

決定系數(shù)r2反映了多項式擬合的置信度。本文采用“3σ原則”，即置信度99.74%。

其次，分析相對最大殘差的計算方法。由于測量數(shù)據(jù)帶有一定的誤差，最小二乘擬合得到的是個總體評價，為了控制特殊點存在較大的偏差，引入一個相對最大殘差ε來評價擬合結(jié)果。相對最大殘差計算方法定義如下：

(8)

式中：|ym-y0|為系統(tǒng)的最大測量范圍。

一般的測量儀器給出的指標采用相對誤差的概念，以滿量程的百分比表示。相對最大殘差與其相當，設(shè)計者可以根據(jù)系統(tǒng)測量誤差要求選擇合適的相對最大殘差值控制多項式的階數(shù)，比如選擇0.1%。

3.2 數(shù)據(jù)計算模型的應用

應用上述數(shù)據(jù)模型的建立方法，開發(fā)了兩款激光位移傳感器，并在某工業(yè)生產(chǎn)線上得到了應用。激光位移傳感器采用垂直入射型激光三角測量原理，光學詳細結(jié)構(gòu)及實驗裝置如圖2所示。

具體光學結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)及要求如表1所示。

兩款激光位移傳感器標定用的原始數(shù)據(jù)如表2所示。

運用最小二乘法構(gòu)建正規(guī)方程、擬合多項式、計算擬合結(jié)果，按照定義式，求出決定系數(shù)和相對最大殘差，結(jié)果如表3所示。

圖2 光學結(jié)構(gòu)及實驗裝置圖Fig.2 Optical structure and experimental device diagram

表1 光學結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)

表2 實驗原始數(shù)據(jù)

表3 最終計算結(jié)果

圖3 多項式擬合殘差圖Fig.3 Diagram of polynomial fitting residual

從表3可以看出，基于最小二乘多項式擬合三角測量模型的方法可以很好地擬合測量數(shù)據(jù)，在6階多項式擬合時，決定系數(shù)可以達到100%，最大相對殘差ε可以達到10-7量級。

同時從表3可以看出，只考慮決定系數(shù)滿足“3σ原則”時，線性擬合就可以達到要求，但是最大相對殘差ε只能達到1%；需要3階多項式擬合才能滿足最大相對殘差0.1%的要求。因此采用相對殘差來控制多項式的階數(shù)更具有實際意義。

在兩款激光位移傳感器的原始數(shù)據(jù)中，使用了7組數(shù)據(jù)擬合多項式模型，第4、6兩項數(shù)據(jù)沒有參與擬合運算，用于驗證模型的可靠性。從圖3可以看出30、50 mm處最大誤差0.021 mm，擬合結(jié)果滿足測量精度0.03 mm的要求，設(shè)計達到了預期的測量效果。

4 結(jié)論

本文提出的基于最小二乘多項式擬合三角測量模型的方法在實際數(shù)據(jù)計算中取得了很好的效果，擬合3階多項式就可以達到很高的測量精度，6階多項式甚至可以達到10-7量級的測量精度。本文提出的運用決定系數(shù)、最大相對殘差綜合評價擬合結(jié)果方法來控制擬合多項式的階數(shù)，在滿足設(shè)定測量要求的情況下，有效減少計算量。通過兩款激光位移傳感器的實際應用，證明了本方法具備測量的準確性、實際測量的可行性。